一題多想，提升初中學生探究問題的能力

摘要：在初中數學教學中，教師不僅要教授學生各種數學知識和解題方法，還應該注重培養學生探究問題的能力.在實施過程中，教師可以啟發學生進行一題多想的探究.本文中結合具體實例，展示了在解決一個問題時可引導學生從“是否可以增加條件、解法或結論”三個方面展開一題多想，以此拓寬學生問題解決的思路和方法.

關鍵詞：一題多想；初中數學；探究問題

一題多想，其實就是讓學生想出更多的問題，進而促進他們思維的發展.一題多想的主角是學生，他們究竟能想出什么樣的問題，教師并沒有增設任何限制，而是借助一題多想促使學生深度思考，使他們得到個性化發展.因此，教學中教師要關注一題多想，通過對一題多想的探究和研討，學生的思維能夠得到訓練，在保持思維連貫性的同時，也能提高他們的創新能力與遷移能力.總之，一題多想要成為初中數學課堂教學的常態，教師不但要關注一題有幾種方法，同時還要引導學生關注相關類型的題目.換言之，學生要從實踐層面進行歸因剖析，進而在一題多想中深刻理解問題的本質，提升探究能力和解決問題的能力.

1 想一想題目的條件能不能增減

在數學探究中，學生應當關注題目的條件，并從中挖掘出隱藏的信息，以求得最終的結論.通常情況下，學生會全面利用題目中的條件，從而得出結論.然而，教師卻很少引導學生猜想“如果增加一個條件，或減少一個條件，會產生怎樣的結果”.事實上，學生在解題時就需要進行這種思考，以加深對相關概念的理解.通過提出猜想、假設增多或減少條件的可能性，學生能夠在實踐中發現新的思路和解法，進一步提升解題能力.例如，當學生解決一個幾何問題時，可以猜測增加一個條件可能會導致結果的變化.這樣的猜測可以促使他們重新審視問題，從而獲得更深刻的理解和解決問題的方法［1］.

例如，筆者先是設置如下題目：如圖1所示，將ABCD的邊BA延長到點E，使AE=AB，連接EC，交AD于點F，連接AC，ED，求證：四邊形ACDE是平行四邊形.

學生從ABCD中AB=CD且AB∥CD的條件出發，再加上AE=AB這一條件，進而得出AE=CD，AE∥CD，最終推得四邊形ACDE是平行四邊形.本題運用的是平行四邊形的判定定理，學生只要證明AE=CD，AE∥CD，結論就顯而易見了.學生做完題目之后，教師指導他們再思考“假如要證明平行四邊形ACDE是矩形要增加哪些條件呢？”也就是說，讓他們想一想能不能改變題目的條件.學生反過來思考，從ACDE是矩形出發，得出AD=EC，AF=EF，進而也得出∠EAF=∠AEF，顯然這些結論都是建立在∠AFC=2∠B的基礎上的.學生從改變條件出發，想到矩形的相關判定，他們的思維也就得到了發散.

因此，教師在教學中應鼓勵學生進行猜想和探究，引導他們思考“如果增加一個條件會怎么樣”或“如果減少一個條件會有什么變化”.這種探究不僅能提高學生的解題能力，還能培養他們的創造力和思維能力.通過這樣的方式，學生能夠更加全面地理解數學知識，更加獨立地解決問題.

2 想一想題目的結論能不能改變

在學習數學時，學生容易陷入定向思維，即認為題目的結論是固定的.教師可以引導學生去拓展思維，讓他們想一想在原有題目的基礎上是否可以發現其他的結論.這種引導能夠進一步培養學生的探究能力，激發他們思維的持續性.引導學生尋找題目存在的其他結論，可以讓學生拓寬思維，改變對數學問題的單一看法.這樣的討論能夠激發學生的創造力，培養他們發散思維的能力.

如圖2所示，在△ABC中，∠ACB=90 °，CD⊥AB，D為垂足，E為AC的中點，連接ED并延長交CB的延長線于點F，求證：△CDF∽△DBF.

由CD⊥AB于點D，得出∠BCD=∠A；再由E是AC的中點，得出AE=ED=EC，進而推得∠A=∠EDA=∠FDB，則∠FDB=∠FCD，再加上∠F=∠F這一條件，即可證明△CDF∽△DBF.筆者問有沒有發現其他結論時，因為有相似三角形的證明做鋪墊，學生發現DF∶CF=BF∶DF.

本來可以直接在題目中呈現學生發現的結論，讓他們直接證明就可以了，但是筆者沒有這樣做，而是創設更多激發學生思維的機會.當學生秉持再“想一想”的理念，進入到題目的探究中，他們學習的目的就不只是為了解決問題，而是為了發現更多的問題.當學生證明完結論之后，他們會去想有沒有其他相關的結論，能不能利用這個結論進行再創造.一題多想讓學生一直行走在創新的路上.

3 想一想題目的解法能不能增加

解題能力是數學學習的重要能力，通過解題，學生的推理能力、判斷能力和分析能力等都可以得到發展.然而，目前教師評估學生解題能力的方式比較單一，主要關注學生是否做對題目.實際上，教師可以引導學生多想一想是否存在其他解法，從而進一步拓展學生解題思路，促進其解題能力的發展.

教師可以鼓勵學生在解題過程中思考是否存在其他解法和方法.它們可以是基于不同的思路、不同的數學概念或不同的解決策略.通過這種思考，學生可以發現問題的多樣性和靈活性，并且能夠培養解決問題的創新能力.

筆者設置如下題目：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.首先教師讓學生以數形結合的方式將這道題重新展示出來.學生這樣寫：如圖3所示，在△ABC中，AD=BD=CD，證明△ABC是直角三角形.

學生是這樣證明的：因為AD=CD，CD=BD，所以∠1=∠A，∠2=∠B.又因為在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠A+∠B+∠1+∠2=180°，即2（∠A+∠B）=180°，所以∠A+∠B=90°，于是∠ACB=90°，故△ABC是直角三角形.

筆者追問“這道題運用的知識點是什么？”學生結合圖形回答；再追問有沒有別的方法，并提醒他們可利用等腰三角形的“三線合一”的性質加以證明.

于是學生得到了如下證明方法：如圖4所示，延長AC至點E，使CE=AC，連接BE.從AD=BD這一條件出發，得出CD是△ABE的中位線，進而可推出CD=12BE；再運用條件CD=12AB，得出AB=BE，所以BC⊥AC.最終證明了△ABC是直角三角形.

接著，學生竟然問老師有沒有更多的證法.教師給他們充分合作與思考的時間.學生結合最近學過的相似三角形的知識，思考能不能構造出一個與既定圖形相似的三角形.

于是，學生又得到了另外一種證明方法：如圖5所示，過點D作DE⊥BC交BC于點E，因為CD=BD，所以BE=12BC，則BEBC=BDAB=12.又∠B是公共角，所以△BDE∽△BAC，則∠ACB=∠DEB=90°，所以△ABC是直角三角形.一題多想在這個環節展現為一題多解，學生思維的火花隨著教師的引領汩汩而來［2］.

二十世紀三十年代陶行知先生在《創造力宣言》中提出，要重視發展創新教育，即要培養學生的創造能力.在數學教學中，提出一題多想的根本目的就是為了提升學生的創造力.一題多想就是讓學生不要滿足于現狀，不要滿足于已經獲得的答案，而是要不斷地創新，發現新的問題、新的解題思路等.教師在教學中要為學生的一題多想營造良好的氛圍，要為他們的“想”鼓勁，要給他們的“想”以正面的評價，要從他們的“想”中獲得教學的靈感.一題多想不但利于學生，也便于教師教學反思.

參考文獻：

［1］王世強.初中數學課堂“一題多解”教學的實踐研究［J］.理科考試研究，2020（14）：25.26.

［2］黃躍惠.一題多解與一題多變在初中數學教學中的運用［J］.試題與研究，2019（28）：145.