基于數學核心素養的問題探究活動及教學思考

候懷有 張恩軍

【摘要】從一道數學問題說起，通過問題解答以及變式探究，設計豐富多彩的數學探究活動，激發學生的學習興趣，培養學生的數學核心素養，最后提出幾點自己的教學思考與同仁商榷.

【關鍵詞】數學核心素養;問題探究活動;包書問題

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：探索在不同的情境中從數學的角度發現和提出問題，綜合運用數學和其他學科的知識從不同的角度尋求分析問題和解決問題的方法，能運用幾何直觀、邏輯推理等方法解決問題，形成模型觀念和數據觀念.關注社會生活中與數學相關的信息，主動參與數學活動；在解決數學問題的過程中，能夠克服困難，樹立學好數學的信心，感受數學在實際生活中的應用，體會數學的價值，欣賞并嘗試創造數學美；養成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑的學習習慣[1].

數學與實際生活聯系密切，許多數學知識來源于生活，在進行日常教學時，尤其有關數學知識的應用時，要主動選取貼近生活、學生熟悉的數學情境，設計豐富多彩的數學探究活動，引導學生從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法，激發學生的學習興趣，培養學生的數學核心素養.本文就一節數學活動課的教學設計以及教學思考與同仁商榷.

1問題提出

如圖1（1）的矩形包書紙示意圖中，虛線是折痕，陰影是裁剪掉的部分，四角均為大小相同的正方形，正方形的邊長為折疊進去的寬度．

（1）如圖1（2），數學課本長為26cm，寬為18.5cm，厚為1cm．小明用一張面積為1260cm2的矩形紙包好了這本書，展開后如圖1（1）所示，求折疊進去的寬度；

（2）現有一本長為19cm，寬為16cm，厚為6cm的字典．你能用一張41cm×26cm的矩形紙，按圖1（1）所示的方法包好這本字典，并使折疊進去的寬度不小于3cm嗎？請說明理由．

設計意圖?每學期開學時，只要課本發下來，學生做的第一件事常常就是給新書包上書皮.包書皮是一種富有趣味的動手操作活動，是數學活動課的良好素材.本題以包書皮為背景，以“這張矩形紙能不能包好這本書”為思維的契入點，立刻將學生帶入實際生活中，深刻感受實際生活與數學的密切聯系.

2背景搜索

實際生活中的包裝隨處可見，五花八門，其中的設計學問很大.有些外包裝看上去很美觀，讓人感覺氣勢恢宏，但實際上容量卻很小，如某些飲料瓶、糖果包裝的設計；有些外包裝要求外觀小巧，而容量要盡可能地大，如保鮮盒的生產等.包書問題雖然簡單，操作容易，但也是包裝設計中的一種，每個學生都是非常熟悉的.

為了包好每本書，需要講究方法，認真操作.先將選好的圖案估量著放在封面的正中，然后把紙對折，將書夾在中間，在四周輕壓一下，壓出書的大概樣子，再沿著剛剛壓出的痕跡將紙仔細折好.如果折疊過去的寬度較寬，可將多余的紙邊裁掉.最后將書的封面和封底折進去，再用硬物壓上一段時間使其更加平整.這樣一本嶄新的書就包好了.我們常見的包書方式一般有兩種，一種是形如某些較厚的字典，沿書的長分別折進去，展開后如圖2所示；另一種是常見的書，沿書的長和寬分別折進去，展開后如圖3所示（虛線是折痕，折進去的長度不一定相等）.

設計意圖?通過對包書皮的背景搜索，使學生了解包書皮實際上就是包裝設計，進一步體會包裝設計在實際生活中的廣泛應用，并通過包書皮的具體操作喚起對這一活動的美好記憶，激發學生學習數學的興趣，調動學生學習數學的積極性.

3問題解答與延伸

矩形包書紙的面積大于書平展后的面積，就能包書嗎？

顯然，要矩形包書紙能包書，它的面積一定要大于書平展后的面積；但矩形包書紙的面積大于書平展后的面積，也不一定能包書.如一張10cm×140cm矩形包書紙就不能包一本平展后為30cm×40cm的書.那么，矩形包書紙的長和寬分別滿足什么條件才能包書呢？理論上，“矩形包書紙的長＞書的寬×2+書的厚，且矩形包書紙的寬＞書的長”就能包書.可見，包書中蘊涵了很多數學知識.

3.1包書問題中的代數式

問題1?一本精裝版《成語大詞典》長、寬、厚如圖4所示（單位：cm），如果按圖2的包書方式，將封面和封底各折進去3cm，試用含a、b、c的代數式分別表示《成語大詞典》封皮的長與寬.

解?封皮長（2b+c+6）cm，封皮寬acm.

設計意圖?在初中數學中，“數與式”是“數與代數”領域的重要基礎內容，它包括有理數、實數、代數式、整式、分式等.這部分內容知識點多，技能性強，難度一般不大，而利用包書皮的設計，學習回顧相關代數式的知識，對滲透學生的“數感”和“符號感”是非常直觀、有效的，有利于培養學生的運算能力、應用意識等核心數學素養.

3.2包書問題中的方程

問題2?“問題提出”中的第（1）問

解?設折疊進去的寬度為xcm，根據題意，得（26+2x）（18.5×2+1+2x）=1260，化簡，整理得x2+32x-68=0，解得x1=2，x2=-34（不合題意，舍去），所以，折進去的寬度為2cm．

解答本題需要將實際問題轉化為一個方程模型，需要學生將平面示意圖與立體圖形結合，通過觀察分析、思考，建立一元二次方程模型.方程是初中數學的核心內容之一，用方程解決實際問題，需要把實際問題轉化為數學問題，同時得出解后又要回到實際向題中檢驗其解是否合理.在初中數學中，很多代數問題、幾何圖形問題，只要是求未知量數值，一般都要借助于方程.

設計意圖 通過問題的第（1）問，使學生經歷觀察、分析、轉化、建模等思維過程，鞏固學生綜合運用一元二次方程，以及靈活運用轉化與化歸、方程等數學思想解決實際問題的能力，培養學生的運算能力、模型觀念、幾何直觀等數學核心素養.

3.3包書問題中的不等式（組）

問題3?“問題提出”中的第（2）問.

解?【方法1】分兩種情況：

①當字典的長與矩形的寬方向一致時，若要包好這本字典，所需矩形紙的寬為19+3×2=25＜26，長為16×2+3×2+6=44＞41.所以不能包好這本字典.

②當字典的長與矩形紙的長一致時，因為44＞26，所以不能包好這本字典.綜上，所給的矩形紙不能包好這本字典．

【方法2】設折疊進去的寬度為xcm.分兩種情況：

①當字典的長與矩形紙的寬方向一致時，根據題意，得19+2x≤26，16×2+6+2x≤41，解得x≤1.5.所以，不能包好這本字典.②當字典的長與矩形紙的長方向一致時，根據題意，得19+2x≤41，16×2+6+2x≤26，解得x≤-6.所以，不能包好這本字典.

綜上，所給矩形紙不能包好這本字典.

本題需要學生對信息作出判斷，理解按圖1（1）的包書方式需滿足“矩形包書紙的長＞書的寬+書的厚+折進去的長度×2，矩形包書紙的寬＞的長+折進去的長度×2”的不等關系.生活中存在大量不等關系，不等式是刻畫現實世界的一種數學模型.本題的設計有效復習了不等式（組）的應用.此外，問題的解決中又涉及分類討論的數學方法，有利于培養學生思維的完備性.

設計意圖?問題的第（2）問，需要學生經歷閱讀、分析、判斷、建模、計算等數學思維活動，鍛煉學生運用一元一次不等式（組）知識以及分類討論的數學思想解決實際問題的能力，培養學生的抽象能力、運算能力、模型觀念以及應用意識等數學核心素養.

3.4包書問題中的相似

問題4現有1張一角污損的矩形包書紙，如圖5，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，AF=16cm.使用沒有污損的部分按圖3方式包一本長為19cm，寬16cm，厚為6cm的字典.試畫出一種合適的剪裁法，并寫出剪裁后矩形的長和寬.

為了使剪裁后的矩形盡可能大，也能夠包書，那么矩形的一個頂點落在EF上是較好的剪裁方法.如圖6（1），點P1為線段EF上一點，過點P1作P1H⊥CD，則需要P1H＞（16×2+6）cm，即P1H＞38cm；如圖6（2），點P2為線段EF上的一點，過點P2作P2G⊥BC，則需要P2G＞19cm；顯然落在EF上的點P一定在線段P1P2之間（如圖6（3））.

問題4要求寫出剪裁后矩形的長和寬，就是要分別寫出PG，PH的長，即分別求出PM，PN的長.如果PH的長設為40cm，則PM=10cm，由△EPM∽△EFA，得PMFA=EMEA，則1016= 12-PN12，所以PN=4.5cm，所以PG=22.5cm＞19cm，符合題意要求，因此剪裁后矩形的長為40cm，寬為22.5cm.

兩個三角形相似，由對應邊構成的比例等式，使其成為初中數學中有關線段長度計算的重要途徑和工具.通過包書這個載體，利用三角形的相似，解決了預設問題，又讓學生感受了數學的應用價值.

設計意圖?設計的問題情境可以讓學生更加關注數學探究活動，在觀察、操作、分析、比較、判斷、計算中體驗數學探究活動的樂趣，鍛煉運用相似三角形解決實際問題的能力，培養抽象能力、幾何直觀、推理能力、運算能力等數學核心素養.

3.5包書問題中的函數

問題5?針對問題4，是否存在剪裁后面積最大的矩形也能包這本書，并說明理由.

由問題4知存在剪裁后的矩形能夠包書.但要解決面積最大的矩形是否能包這本書問題，答案好像是“當然可以”的.事實果真如此嗎？

設PM=x，由△EPM∽△EFA，得PMFA=EMEA，則x16=12-PN12，所以PN=12-34x，所以S矩形PGCH=（50-x）（30-12+34x）=-34x2+392x+900=-34（x-13）2+30934，當x=13時，S最大，此時PG=27.5cm＞19cm，但PH=37cm＜38cm，所以不存在剪裁后面積最大的矩形也能包這本書.

函數是表示數量之間關系以及變化規律的數學模型.問題5通過包書這個載體，將與運動相關的幾何圖形問題與二次函數問題結合，體現了函數是聯系數學與實際問題的紐帶和橋梁.

設計意圖?新課程理念要求在實際問題中追求最優化思想，要求學生經歷思考、分析、建模，判斷等思維過程，利用二次函數模型解決問題，做出最恰當的判斷，培養學生抽象能力、運算能力、推理能力、應用意識和模型觀念等數學核心素養.

4教學思考

4.1對已有教學素材的利用

教學素材是知識的載體.初中生的生活經驗和知識背景已比較豐富，相對小學生，他們更關心周圍的人和事，更關注用數學知識解決問題.因此選擇符合初中生生理、心理特點的教學素材對教育工作者，尤其對一線的教師來說任重道遠.而對已有的教學素材，需要教師引導學生分析、整合、拓展、創新素材，從而發展學生解決問題的能力.

包書問題只是學生應用數學知識解決問題的一個例子.通過“包書問題→數與式”“包書問題→方程”“包書問題→不等式（組）”“包書問題→相似”“包書問題→函數”等形式，將相關知識進行串聯，讓學生經歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的基本過程，體驗數學知識之間的內在聯系，初步形成對數學整體性的認識.

4.2對特定問題變式的思考

變式教學主要是指對特定內容進行變通推廣，讓學生能從不同角度、不同層次，重新認識已有問題.變式要循序漸進，要符合學生的已有認知規律.只有這樣，才能調動學生學習的積極性，提高學生參與、創新和解決問題的能力.

包書問題中，原情境要求學生利用方程、不等式組解決問題，而問題的延伸則需要學生從數與式、方程、不等式（組）、相似、函數等立體化的交叉網絡提高學生提出問題、分析問題、解決問題的能力.學生需要動腦思考解決問題的思路，動手探究解決問題的策略，動口敘述解決問題的方法.如解決問題3還有沒有其他方法？問題4怎樣敘述更有條理？問題4僅憑直觀想象是否正確等等.通過這些變式問題獲得一些研究問題的方法和經驗，發展思維能力，加深對相關數學知識的理解.

4.3對數學活動課中“活動”的認識

數學活動的教學也是數學思維的教學.數學活動課包含學生動手實踐、合作交流等形式的活動，這些活動更注重學生的數學思維，讓學生在活動過程中多動腦筋，勤于思考，從中悟出規律與道理.包書是一種常見的勞動，它是一種技能，它的教學價值不僅僅在于保護圖書這一淺顯的功能，更重要的是通過包裝文化體現數學應用的價值.通過對包書的認識，把課堂所學知識運用到實踐中，使理論聯系實際，發展數學應用能力，使學生的數學素養得到全面的提高.

包書問題可延伸至包裝、設計等問題，能給師生帶來更多的思考與探究的空間.數學與現實生活是密切相關的，因此，有價值的數學更多地體現在學生用數學的眼光和思維去觀察、認識日常生活現象，去解決生活中的問題，獲得并提高適應生活的能力.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準：2022年版[M]．北京：北京師范大學出版社，2022：15.

作者簡介侯懷有（1973—），男，山東陵縣人，教育碩士，中學高級教師;主要從事數學教育教學研究.

張恩軍（1975—），男，山東陵縣人，中學高級教師;主要從事教育教學研究.