指向初高銜接的初中函數(shù)解題教學(xué)實(shí)踐與思考

毛巾鈞 陳秋曉

【摘要】函數(shù)作為初中和高中的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容之一，具備一定的延續(xù)性、階段性和差異性.學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)關(guān)注小初高銜接和教學(xué)內(nèi)容的整體把握，而目前初中函數(shù)解題教學(xué)的內(nèi)容和難度的把握存在一定的爭(zhēng)議.以2023年無(wú)錫市中考試題第28題的解析（宏觀、中觀、微觀點(diǎn)評(píng)分析）為例，提出指向初高銜接的初中函數(shù)解題教學(xué)應(yīng)從以下4個(gè)方面展開(kāi)：1.加強(qiáng)作圖能力的培養(yǎng)，發(fā)展空間觀念；2.注重幾何圖形的構(gòu)造，發(fā)展幾何直觀；3.關(guān)注核心知識(shí)的關(guān)聯(lián)，發(fā)展推理能力；4.巧用解析幾何的方法，發(fā)展運(yùn)算能力，從而促進(jìn)思維品質(zhì)的提升，落實(shí)核心素養(yǎng)的培育，形成初高有效且高效的銜接.

【關(guān)鍵詞】初高銜接；初中函數(shù)；解題教學(xué)

1問(wèn)題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容由數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域組成，其中初中階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域包括“數(shù)與式”“方程與不等式”和“函數(shù)”三個(gè)主題[1].“函數(shù)”作為初中階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域最高層次的學(xué)習(xí)內(nèi)容，主要研究變量之間的關(guān)系，探索事物變化的規(guī)律，借助“數(shù)與式”這一基本的代數(shù)語(yǔ)言，可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)方程和不等式，函數(shù)可謂是數(shù)與式、方程與不等式的進(jìn)階.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出，高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與探究活動(dòng)四條主線[2]，函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容之一.因此，從初中與高中的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，函數(shù)作為課程標(biāo)準(zhǔn)中的主要且重要的主題內(nèi)容，有效并高效地銜接顯得尤為重要.

初中函數(shù)作為解析幾何的初步，是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，既有其初中特征又要銜接高中能力的要求，因而在核心素養(yǎng)的培育目標(biāo)下，解題教學(xué)中如何選擇恰當(dāng)?shù)倪m宜初中學(xué)生理解和掌握的方法十分重要.目前在一線教學(xué)中存在超前教學(xué)、要求拔高、結(jié)論強(qiáng)記等現(xiàn)象，如何把握函數(shù)解題教學(xué)的尺度，如何做好有效的初高銜接是諸多一線教師的困惑所在.筆者認(rèn)為，初中函數(shù)相比高中函數(shù)而言，形更重于數(shù)，初中函數(shù)教學(xué)應(yīng)著力發(fā)展數(shù)形結(jié)合、以數(shù)輔形的能力，研究函數(shù)中的圖形變化問(wèn)題更重于研究函數(shù)本身.筆者以2023年無(wú)錫中考試題壓軸題（第28題）的解析為例，展開(kāi)指向初高銜接的函數(shù)解題教學(xué)的實(shí)踐與思考.

2原題再現(xiàn)一題多法

原題再現(xiàn)（2023江蘇無(wú)錫中考題第28題）已知二次函數(shù)y=22（x2+bx+c）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，2）和點(diǎn)C（-1，2）.

（1）請(qǐng)直接寫出b，c的值；

（2）直線BC交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E是二次函數(shù)y=22（x2+bx+c）圖象上位于直線AB下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線AB的垂線，垂足為F.

①求EF的最大值；

②若△AEF中有一個(gè)內(nèi)角是∠ABC的兩倍，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).

試題分析此題為2023年無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)試題第28題，為壓軸題，根據(jù)無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)歷年真題分析，二次函數(shù)題的位置一向位于解答題的最后兩題之一，考查綜合運(yùn)用代數(shù)函數(shù)知識(shí)、幾何圖形知識(shí)等解決問(wèn)題的能力.與以往略有不同之處在于本題條件中未給出示意圖形，即要求學(xué)生根據(jù)條件自行畫圖，一定程度上加大了此題的分析和解題難度，也拉長(zhǎng)了本題的解題時(shí)間，且同時(shí)考查學(xué)生的審題能力、幾何分析、幾何作圖能力.此題第（1）題較為基礎(chǔ)，易得b=-3，c=-2，以下就第（2）題的第①問(wèn)展開(kāi)一題多法和點(diǎn)評(píng)分析.至于第（2）題的第②問(wèn)，根據(jù)本文需要，不作具體分析，留待后續(xù)再展開(kāi)研究.

一題多法

解法1如圖1，作EM∥y軸交AB于點(diǎn)M，易證△ABD∽△MEF，

由相似的性質(zhì)可得EF=63ME，

由待定系數(shù)法求出直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=22x-2，

根據(jù)點(diǎn)E在拋物線上，可設(shè)點(diǎn)E（t，22t2-322t-2），

則點(diǎn)M（t，22t-2），得EM=-22t2+22t，

運(yùn)用求二次函數(shù)最值的方法（配方法或頂點(diǎn)公式），

當(dāng)t=2時(shí)，EM最大值=22，則EF最大值=433.

解法2如圖2，作EM∥y軸交AB于點(diǎn)M，連接AE，BE，

由S△ABE=12AB·EF=12ME·xB-xA，得EF=63ME，

根據(jù)解法1，先求ME最大值，再得EF最大值=433.[TS（1][JZ][HTK]圖2圖3[TS）]

解法3如圖3，作ET∥AB，根據(jù)解法1可得，

直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=22x-2.

根據(jù)ET∥AB，可設(shè)直線ET對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=22x+n.

由EF最大時(shí)，可得此時(shí)直線ET與拋物線有唯一公共點(diǎn)，

因而y=22（x2-3x-2），y=22x+n，有唯一解，即消去y后得關(guān)于x的一元二次方程：22（x2-3x-2）=22x+n有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以根的判別式為0，得n=-32，

則ET對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=22x-32，根據(jù)高中解析幾何知識(shí)——平行線間的距離公式，可得-32+2222+12，求出此時(shí)EF=433.

解法4如圖4，由解法1可得，

直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=22x-2，

設(shè)E（t，22t2-322t-2），根據(jù)高中解析幾何知識(shí)——點(diǎn)到直線的距離公式，可得

EF=22t-（22t2-322t-2）-2222+12，運(yùn)用配方法或頂點(diǎn)公式，求得EF最大值=433.

解法5如圖4，根據(jù)解法1設(shè)點(diǎn)E（t，22t2-322t-2），根據(jù)高中解析幾何知識(shí)——若兩條直線互相垂直，則兩條直線斜率乘積為-1，表示出直線EF對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（含字母參數(shù)t），由直線EF和直線AB的的函數(shù)表達(dá)式，求出交點(diǎn)F的坐標(biāo)（含字母參數(shù)t），再運(yùn)用高中解析幾何知識(shí)——兩點(diǎn)間距離公式，表示EF，再用配方法或頂點(diǎn)公式，求出EF的最大值.（簡(jiǎn)要說(shuō)明：此法運(yùn)算量太大，對(duì)含字母參數(shù)的運(yùn)算要求非常高，因篇幅有限，故在此簡(jiǎn)要表示解題思路，確有同學(xué)采取此法，但能順利做完且做對(duì)者少之甚少.）

點(diǎn)評(píng)分析

1.宏觀分析——站高位，厘思路

初中階段線段的最值問(wèn)題求解通常分為兩種：

第一種：一定一動(dòng)（即線段的兩個(gè)端點(diǎn)為一定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)）.常規(guī)解法：尋找動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（初中階段通常為直線或圓?。?，利用基本事實(shí)（兩點(diǎn)之間線段最短）或基本結(jié)論（垂線段最短）尋找特殊位置后進(jìn)行求解，以形定數(shù)，俗稱“幾何法”.

第二種：兩動(dòng)（即線段的兩個(gè)端點(diǎn)都為動(dòng)點(diǎn)）.常規(guī)解法：尋找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，如果可以轉(zhuǎn)化為第一種（一定一動(dòng)），則用第一種方法求解；如果無(wú)法轉(zhuǎn)化，則利用平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)（含字母參數(shù)），根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度（含字母參數(shù)），通過(guò)代數(shù)計(jì)算的方法求最值，以算定形，俗稱“代數(shù)法”.

2.中觀評(píng)析——辨方法，明得失

解法1和解法2是初中二次函數(shù)中求解線段最值的兩種常規(guī)解法.解法1采用平面直角坐標(biāo)系中常規(guī)的線段問(wèn)題的求解方法——化斜為直，將線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之差，利用三角形相似得到EF和EM的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用常規(guī)的配方法或頂點(diǎn)公式求出最值.解法2與解法1的相通之處在于化斜為直，即將線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系，不同之處在于利用三角形的等面積法得到EF和EM的數(shù)量關(guān)系.解法1和解法2，均借助幾何圖形的特殊性（三角形相似、三角形的等面積法等），采用化斜為直這一常規(guī)的解題方法，將線段長(zhǎng)度表示為坐標(biāo)之差，然后運(yùn)用二次函數(shù)的最值求解方法進(jìn)行求解，從形入手將非常規(guī)轉(zhuǎn)化為常規(guī)，結(jié)合函數(shù)中點(diǎn)的坐標(biāo)的表示，容易求解.

解法3、解法4和解法5均涉及高中解析幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)（平行線間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間距離公式、互相垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù)等），此法均需設(shè)字母參數(shù)，利用相關(guān)公式直接表示線段，雖思維含量不高，看似不難，但運(yùn)算量很大，尤其解法5對(duì)含字母參數(shù)的運(yùn)算要求非常高.其中解法3，涉及直線與拋物線相切（有唯一公共點(diǎn)），借助一元二次方程的根的情況進(jìn)行求解，對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解要求很高.此外，這3種解法均涉及高中解析幾何的一些公式，部分同學(xué)對(duì)公式一知半解或者生搬硬套公式，因?qū)讲粔蚶斫饣蛘呶催_(dá)高階思維層次，所以公式運(yùn)用不熟練或有錯(cuò)誤，加上含參字母的運(yùn)算要求又很高，因而采用這3種解法的完成率和正確率都較低.

3.微觀解析——晰本質(zhì)，掌核心

回顧本題條件和問(wèn)題，明晰本質(zhì)為首要.求線段的最值為初中函數(shù)教學(xué)中常見(jiàn)的一種類型，此題的線段兩個(gè)端點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，主動(dòng)點(diǎn)為在部分拋物線（二次函數(shù)圖象上位于直線AB下方）上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)E，從動(dòng)點(diǎn)為由點(diǎn)E向直線AB作垂線而得的垂足F，其運(yùn)動(dòng)軌跡為直線AB上的部分線段.對(duì)于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段的最值的求解，常用的方法為“代數(shù)法”，即設(shè)字母參數(shù)表示線段長(zhǎng)度，構(gòu)建線段長(zhǎng)度的函數(shù)模型，通過(guò)求解函數(shù)的最值解決線段長(zhǎng)度的最值.

然而，本題的難點(diǎn)在于易設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)，卻難以表示點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而難以用字母參數(shù)表示線段EF的長(zhǎng)度.“直接”困難，則想“間接”，因而初中數(shù)學(xué)中強(qiáng)調(diào)的“轉(zhuǎn)化”思想體現(xiàn)在此尤為恰當(dāng).解法1和解法2均將線段EF轉(zhuǎn)化為線段EM，通過(guò)相似三角形或等面積法建立EF和EM的數(shù)量關(guān)系，而線段EM的長(zhǎng)度較易用字母參數(shù)表示，因EM∥y軸，EM的長(zhǎng)度可直接表示為兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差，容易構(gòu)建關(guān)于字母參數(shù)的函數(shù)模型得以解決.初中函數(shù)的教學(xué)，圖形的研究為重點(diǎn)也為核心，研究圖形的性質(zhì)勝于單純研究圖形上的點(diǎn)，因而代數(shù)解析法僅為輔助，以形助數(shù)，以直觀想象輔助圖形整體性質(zhì)的研究當(dāng)為初中函數(shù)解題策略的大方向.從本質(zhì)和核心來(lái)看，解法3、解法4和解法5均為純粹解析幾何的方法，較難體現(xiàn)初中函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)，更偏重高中函數(shù)教學(xué)的意味，從適宜初中學(xué)生的理解來(lái)說(shuō)，值得斟酌與商榷.

3函數(shù)解題教學(xué)實(shí)踐與思考

函數(shù)作為初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中三大主題之一，更是“數(shù)與式”“方程與不等式”這兩個(gè)主題的綜合運(yùn)用，既是重要內(nèi)容，也是重要方法，還是重要思想，作為工具、模型均可在數(shù)學(xué)內(nèi)部和數(shù)學(xué)外部展開(kāi)應(yīng)用.初中階段主要研究三類函數(shù)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，研究路徑為“概念——圖象——性質(zhì)——應(yīng)用”，其教學(xué)的類比性和可遷移性體現(xiàn)明顯，尤其關(guān)注以函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，與初中函數(shù)的“變量”定義法不謀而合，主要體現(xiàn)變量之間的變化關(guān)系，以圖象直觀呈現(xiàn)，研究圖象得到性質(zhì)是初中函數(shù)研究的主要方法.高中階段主要研究四類函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，高中平面解析幾何還重點(diǎn)研究圓錐曲線（直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的方程與軌跡問(wèn)題等，均以解析法為重點(diǎn)，與高中函數(shù)的“映射”定義法彼此呼應(yīng)，主要從函數(shù)表達(dá)式的角度，輔以圖形直觀呈現(xiàn)，研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性和最值等），強(qiáng)調(diào)以算定形，即代數(shù)法為甚.明晰初高中函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)區(qū)分和不同要求，在初中函數(shù)解題教學(xué)中，基于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，指向初高銜接的初中函數(shù)解題教學(xué)中應(yīng)關(guān)注以下幾個(gè)方面.

3.1應(yīng)加強(qiáng)作圖能力的培養(yǎng)——發(fā)展空間觀念

初中函數(shù)的研究以形為重，以變化關(guān)系研究函數(shù)的本質(zhì)，以函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，因而在函數(shù)解題教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)幾何作圖（畫圖）的能力培養(yǎng)，從函數(shù)圖象的示意圖到函數(shù)圖象背景下幾何圖形的繪制和勾勒，充分體現(xiàn)初中階段“三會(huì)”核心素養(yǎng)中“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”，體現(xiàn)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一的“空間觀念”.正如上述問(wèn)題的條件中未給出示意圖，這就要求學(xué)生要根據(jù)題目條件自行畫圖分析，正確的作圖是分析的前提.在學(xué)生作答中出現(xiàn)審題有誤、作圖有誤的情況（將線段EF⊥直線AB誤認(rèn)為線段EF⊥x軸）占比較大，也充分說(shuō)明學(xué)生的空間觀念意識(shí)較弱，未能正確認(rèn)識(shí)圖形，未能清晰明確圖形之間的位置關(guān)系，這也將會(huì)直接影響高中函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí).未有正確形，難有精準(zhǔn)數(shù)，從空間意識(shí)到空間觀念，從圖形的直觀呈現(xiàn)到代數(shù)的精準(zhǔn)研究，作圖、讀圖、識(shí)圖是關(guān)鍵的第一步，有助于提高初高銜接的有效性.

3.2應(yīng)注重幾何圖形的構(gòu)造——發(fā)展幾何直觀

初中函數(shù)雖為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的三大內(nèi)容之一，但其研究重在圖象和性質(zhì)，尤其對(duì)圖象的研究為重中之重.在函數(shù)圖象背景下，涉及函數(shù)圖象上的若干點(diǎn)，形成一些基本的幾何圖形（線段、三角形、四邊形等），函數(shù)問(wèn)題的考查多以綜合運(yùn)用代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力，因而恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造幾何重點(diǎn)圖形是解決初中函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵.比如上述問(wèn)題中構(gòu)造相似三角形、構(gòu)造平行線、利用三角形的鉛垂高及水平寬計(jì)算面積等，以三角形這一基本圖形的研究為重（三角形的研究是初中階段幾何圖形的基礎(chǔ)也是核心），通過(guò)幾何直觀，將線段合理轉(zhuǎn)化，化斜為直，以間接代直接，以直觀代抽象，逐步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，即“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”，從而指向高中函數(shù)學(xué)習(xí)中以形輔數(shù)這一基本研究方法的習(xí)得，形成初高銜接的自然過(guò)渡和高效轉(zhuǎn)化.

3.3應(yīng)關(guān)注核心知識(shí)的關(guān)聯(lián)——發(fā)展推理能力

初中階段的幾何教學(xué)，重在邏輯推理.2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)提出要加強(qiáng)代數(shù)推理，因而代數(shù)和幾何均講究嚴(yán)密的思考和有條理的表達(dá)，從而培養(yǎng)學(xué)生初步形成邏輯表達(dá)和交流的習(xí)慣.初中的解題教學(xué)，應(yīng)引導(dǎo)關(guān)注核心知識(shí)的彼此關(guān)聯(lián)，形成推理過(guò)程中的有效聯(lián)想和問(wèn)題聚焦.上述問(wèn)題的解決中主要運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)或等面積法實(shí)現(xiàn)線段“化斜為直”的轉(zhuǎn)化，此為初中階段研究線段問(wèn)題的核心知識(shí)內(nèi)容之一，即研究線段長(zhǎng)度有4種常用方法：構(gòu)造相似三角形、等面積法計(jì)算、運(yùn)用銳角三角函數(shù)或勾股定理計(jì)算.關(guān)注核心知識(shí)的關(guān)聯(lián)，助推推理能力的提升，即“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”，從而指向數(shù)學(xué)高階思維的形成，指向數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，指向初高銜接思維水平的進(jìn)階.

3.4應(yīng)巧用解析幾何的方法——發(fā)展運(yùn)算能力

初中函數(shù)作為解析幾何的初步，具備一定的運(yùn)算要求.2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)運(yùn)算能力的內(nèi)涵解釋中有“能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展”.高中解析幾何多以算定形，運(yùn)算確實(shí)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本功之一.初中階段函數(shù)教學(xué)中應(yīng)巧用解析幾何的方法，從關(guān)注結(jié)論到關(guān)注方法，從漫用到巧用，加以解析幾何中以數(shù)示形、以數(shù)定形等方法，加強(qiáng)運(yùn)算優(yōu)化和運(yùn)算策略的選擇，從一定程度上簡(jiǎn)化運(yùn)算（尤其含字母參數(shù)的運(yùn)算）.正如上述問(wèn)題中對(duì)線段EM的最值計(jì)算，通過(guò)設(shè)字母參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用坐標(biāo)之差表示線段長(zhǎng)度，借助配方法計(jì)算最大值，體現(xiàn)運(yùn)算能力的重要性，“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”.借助高中階段解析幾何的解題方法，提升運(yùn)算能力，助推嚴(yán)密推理，形成無(wú)縫初高銜接，培育核心素養(yǎng).

4結(jié)束語(yǔ)

函數(shù)解題教學(xué)作為初高中函數(shù)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，有延續(xù)、有偏重，分階段、分差異，指向初高銜接的初中函數(shù)解題教學(xué)可從作圖能力的培養(yǎng)、幾何圖形的構(gòu)造、核心知識(shí)的關(guān)聯(lián)和解析幾何方法的巧用這四個(gè)方面開(kāi)展，旨在形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生理解解題從而理解數(shù)學(xué)，以期后續(xù)進(jìn)一步探究初高銜接函數(shù)教學(xué)的有效性和高效性策略.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：16.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020：9.

作者簡(jiǎn)介

毛巾鈞（1987—），女，江蘇無(wú)錫人，中學(xué)一級(jí)教師；主要研究初中數(shù)學(xué)教學(xué).

陳秋曉（1980—），女，江蘇無(wú)錫人，中學(xué)一級(jí)教師；主要研究初中數(shù)學(xué)教學(xué).