淺議如何通過感悟數本質的一致性發展符號意識

作者簡介：趙硯（1982～），女，漢族，吉林長春人，長春市第一實驗銀河小學，研究方向：小學數學。

摘? 要：分數與自然數具有相同的符號意義，都是用來表示具體數量，是對具體數量的符號化表示。有些量可以用自然數來表示，而分數就是用來表示無法用自然數度量的量，是通過分割產生的新的數，分數正是能夠精確地表示這類數而引入的數學符號。從學生所熟悉并感興趣的生活經驗出發，利用直觀的方式，使學生通過折一折、涂一涂等動手操作的活動，逐漸形成分數的符號化表象，建立對分數的符號化形式的理解，而再進一步理解分數的意義，并將意義與符號統一。利用幾何直觀將學生已有的經驗與知識，通過適當的操作活動展示出來，將數字符號用自己理解的圖畫體現出來，不僅拉近了數學符號與學習情境的距離，更讓學生的思考有的放矢，有參照、有對比，這樣才能建立比較清晰、準確的認識，才能從本質上理解數字符號的意義。

關鍵詞：幾何直觀；符號意識；數本質

中圖分類號：G623.5??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1673-8918（2024）09-0109-04

一、 單元知識結構分析

北師大版三年級下第六單元主要學習分數的初步認識、簡單的分數大小比較和同分母分數的加減運算。分數的初步認識是學生后續學習分數比較大小、簡單計算的基礎，同時也為學生深入學習分數的意義做好鋪墊。從整數到分數是數概念和意義的一次擴充，不僅讓學生理解分數與自然數具有相同意義，也是表示一種量，同時更應該讓學生感受到分數與整數在構成方式上的一致性，強調數是對數量的抽象，注重打通數之間的關聯，把握數的一致性。

（一）課標研讀

2022版數學課程標準當中，在“數與代數”領域當中明確指出了“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性”。

從數概念本質上來看，“一致性”主要體現在兩個方面：

一方面，整數、小數和分數都是對數量或者數量關系的抽象。另一方面，無論整數、小數還是分數，都可以從計數單位以及計數單位個數的角度來認識。

由此可見，建立整數、小數和分數概念一致性的關鍵之一就是要從“計數單位”的角度來認識。

分數概念的教學需要從過程與對象兩個維度來實施，既要充分凸顯分數產生的過程，體會到分數的符號化意義，同時也需引導學生感悟分數的本質特征。從基礎到提升，借助幾何直觀，幫助學生豐富分數概念的內涵，從而培養學生的符號意識。

（二）縱向比較，把握前后知識脈絡

以現行北師大版教材為例，“數”概念的教學結構安排如表1所示。

從“一個一個”的數到“一組一組”的數。數的發展過程同樣伴隨著計數單位的發展。因計數的需要而產生新的計數單位。計數活動的本質是創造計數單位。

無論整數、小數還是分數，都可以從計數單位和計數單位的個數角度來認識它們，“數”在形成過程中體現出的本質都是依靠不同的計數單位累加而形成，都可以從計數單位和計數單位的個數角度來認識。分數與自然數類似，是數計數單位的個數“數”出來的。如此來看，“計數單位”的形成與“計數單位”的累加過程就是“數”形成的過程，這樣分數與自然數的構成與結構就都一致了，更有助于學生認可分數是個“數”，有助于學生感悟數的概念的本質的一致性。

（三）橫向梳理，解讀單元教學內容

從整數到分數是一個數字概念的延伸，也是一個計數單位的延伸。那么在學生學習分數的形成過程、分數的大小比較以及分數的加減法運算當中，其核心內涵都是分數單位。

通過對這一自然單元知識內容的橫向梳理我們發現，在分數的意義的初步教學中，要讓學生通過操作，體會到計數單位在分數形成過程中所起的作用，就必須經歷分數單位的產生過程。

那么本單元要解決的核心問題就是：

（1）感悟分數單位是分數的本質。

（2）感悟分數與整數的數概念的一致性。

本單元教科書編寫的基本特點主要體現在以下幾個方面。

（1）結合實際操作活動，幫助學生積累實物操作經驗，豐富計數方式的一致性。

教材結合“分蘋果”“分圖形”等具體的問題情境，喚起學生已有的分數學習經驗，利用實物操作等手段，幫助學生感悟分數表示的數量意義。

（2）經歷從表征操作到符號操作的抽象過程，探索分數單位在同分母分數加減法運算中的重要作用。

本單元在同分母分數加減法的學習過程中，教材注重結合圖形的幾何直觀幫助學生理解分數加減運算與分數單位個數的聯系。

（四）單元教學框架

在這節課的設計上主要考慮到兩個方面：一方面是體現出分數與自然數具有相同意義，也就是一種量，借助直觀體會到分數是數單位數出來的，也就是分數的度量意義。

另一方面是借助對圖形的涂畫過程，讓分數單位累加的過程可視化，讓學生在經歷實際操作的過程中，逐漸豐富表象特征，最終幫助學生將表象與符號對接起來，理解分數所表示的符號意義。

我們把核心問題與每節課的教學內容進行了融合，設計單元教學框架，如圖1所示，以豐富的直觀表征貫穿于整個單元教學中，不斷充實學生對分數的認識；同時，還借助幾何直觀，體現分數單位的累加過程，讓學生看到分數單位在分數形成和運算中起重要作用的增減過程，感受到分數計數單位與整數計數單位在構成上的一致作用，體會到分數在本質上與整數在構成上是一致的。

圖1? 單元教學框架

二、 課例教學分享

（一）分一分（一）核心問題確定

從單元整體的視角出發，本節課當中要完成的核心教學任務是：

（1）借助直觀，初步體會分數是對數量的抽象。經歷分數單位的產生過程。

（2）感悟分數單位與分數形成的密切聯系，初步體會到分數與整數計數方式是一致的。

（二）分一分（一）教材分析

如何能完成以上兩個關鍵的核心任務？從教材入手，將多個版本的教材進行了對比。

從幾個版本教材呈現的形式來看，在編寫上都重視以下幾個方面：

1. 結合實際操作活動，幫助學生積累實物操作經驗，直觀感知分數單位的產生過程。

2. 經歷從表征操作到符號操作的抽象過程，積累分數單位的累加過程，感悟數形成過程的一致性。

3. 對接圖形表征與符號表征，為符號操作提供鋪墊，發展學生的符號意識。

（三）分一分（一）學情分析

通過閱讀《吳老師與兒童數學教育》，以及對吳老師的教育思想和課例的學習，在教學觀念上產生了兩個方面的改變：一方面認識到教學要從兒童立場出發，強調兒童的主體地位，調動兒童的積極性、主動性；第二個方面是教學中要給學生充分自主學習的機會，激發學生主體的深度參與，幫助學生積累數學活動經驗，感悟數學的思想方法。

觀念的改變帶動了設計上的改變。于是我們對學生進行了預測，通過對學生的訪談，我們發現在正式學習分數以前，像“二分之一”“三分之一”等數學表達已經出現在他們的口頭語言中，但對這樣的數學符號學生的理解還停留在表象中，所以，利用直觀的方式，使學生通過折一折、涂一涂等動手操作的活動，在分數圖形表征的基礎上，進一步建立對分數的符號化形式的理解，最后將分數所表示的數量意義與符號意義統一起來。

本節課以下面兩點為基礎進行教學：

（1）借助直觀打通圖形表征與分數表征的通道，在豐富圖形表征的基礎上，逐步建立對分數單位的理解。

（2）創造更多動手操作的活動。將分數單位創造的過程，以及分數單位在累加過程中所對應的實際意義統一起來。

（四）分一分（一）關鍵環節分享

本節課需要幫助學生認識和理解分數單位，充分經歷創建分數單位的過程。那么就需要學生在循序漸進的操作過程中，逐步經歷從實物操作過渡到表征操作，從而為符號操作做好鋪墊。計數單位累加的過程，是學生利用直觀豐富計數單位累加的直觀經驗，加深對分數單位實質的理解。

課例中幾個關鍵環節

環節一：借助直觀，在操作中逐步經歷分數單位的創作。

學生借助分蘋果和圖形表征“一半”，初步感知“一半”的符號意義。

關鍵問題1：同學們創作的“一半”，圖形的形狀和大小都不一樣，為什么陰影部分都可以表示出這個圖形的“一半”？

通過關鍵問題1的引導，打通“一半”與“二分之一”的連接。這個環節要完成從實物操作到表征操作的過渡，經歷二分之一的創造過程。

關鍵問題2：為什么每個圖形的陰影都不一樣，卻都能用二分之一表示？

通過關鍵問題2的引導，學生在觀察、對比當中不斷地積累分數創造的過程。將學生的作品展示出來，通過對同一圖形和不同圖形的聯系與比較，從而進行整體的溝通與聯結，學生在觀察中對比，在對比中不斷分析，通過直觀感受到圖形中變與不變的本質，挖掘出二分之一共同的、本質的概念特征。

這是一個讓學生自主創作的環節，這個環節意在賦予他們自由操作的空間。喚醒學生已有的知識儲備和學習經驗，同時順應學生的分物經驗和認知習慣，幫助學生感悟“整個”與“一半”的符號特征，感悟當不能用自然數的符號來記錄數量時，需要引入一種新的數來表示。

通過創作“一半”可以將學生的思考可視化，學生在畫“一半”的過程中獲得活動經驗，為后面分數的符號意義構建了基礎。學生通過對自主創作的作品進行辨析，初步抽象出“一半”所表示的符號意義。

環節二：充分利用圖形表征從而支撐對分數單位本質的理解。

接下來帶領學生進入表象操作當中，利用豐富的圖形表征支撐對分數單位的理解。

關鍵問題3：你找到了幾分之一？怎樣得到的？

借助關鍵問題3的引導，學生邊思考邊操作，在“數”與“形”之間不斷進行“數學化”與“再創造”。借助豐富的圖形表征把分數單位概念不斷地刻畫出來。在親身經歷多個分數單位的創造過程中，逐步感悟到分子、分母在具體情境中的含義，將分數單位與具體情境關聯，打通對分數單位各個部分的理解。

學生通過對同一圖形和不同圖形的聯系與比較，從而進行整體的溝通與聯結，通過進一步的對比與分析，逐步感悟到分數共同的、本質的符號特征，學生在辨析中思考，在思考中感悟，在變與不變中挖掘出二分之一的本質意義。

環節三：直觀中經歷分數單位累加的過程，感悟數概念本質的一致性。

依托前面的環節，學生已經積累了一定的活動經驗。那么這個環節是從表象操作到符號操作的過渡，在操作當中直觀體現出分數是分數單位累加而形成的。

關鍵問題4：你是怎樣看出來這是幾分之幾的？請你也涂出一個分數。

利用關鍵問題4的引導，學生經歷了分數單位的累加過程，在操作中感知分數是由若干個分數單位累加而成。將分數單位累加過程與分數的形成對接起來。在涂和畫當中不斷感悟計數單位在分數中的核心地位，從而幫助學生感悟分數與整數在構成上的一致性，都是計數單位的累加。

通過以上幾個環節，學生在逐步地對比、分析、抽取共同特征中，經歷了分數單位的產生過程；在圖形表征的基礎上豐富了分數單位累加的經驗，引導學生感悟分數也是數計數單位數出來的，體驗了分數與整數的一致性。

參考文獻：

［1］呂莉.淺談“分數墻”在“異分母加減法”教學中的應用［J］.小學教學參考，2015（23）：46-47.

［2］王小娟.小學數學教學中優化數概念的教學策略辨析［J］.考試周刊，2020（59）：13-14.

［3］孫曉天，張丹.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀［M］.北京：教育科學出版社，2022.