美妙的“糖水不等式”

高 瑩

(安徽省馬鞍山市第二中學)

本文筆者以一道課本習題為母題,繼續深入研究“糖水不等式”及其變化形式,在不等式證明、函數等問題中探索應用,旨在進一步挖掘教材習題豐富的知識內涵,為“糖水不等式”的拓展提供思路.

1 課本習題回顧

【題目】(普通高中教科書(2019版A版)必修一·43頁·10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假設全部溶解),糖水變甜.請將這一事實表示為一個不等式,并證明這個不等式成立.

課本在復習參考題2第7題中再次應用“糖水不等式”解決生活情境中的問題.

【題目】(普通高中教科書(2019版A版)必修一·58頁·7)一般認為,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積,但窗戶面積與地板面積的比應不小于10%,而且這個比值越大,采光效果越好.

(1)若一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為220 m2,則這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米?

(2)若同時增加相同的窗戶面積和地板面積,公寓的采光效果是變好了還是變壞了?

翻閱上一版人教教材(2007版A版)選修4-5“不等式選講”第21頁例2:

2 “糖水不等式”的一般形式

3 “糖水不等式”的證明(以若b>a>0,m>0,則為例)(這里僅列舉幾種常見證法)

(1)作差法

(2)分析法

(3)綜合法

(4)數形結合法

圖1

圖2

“糖水不等式”還有更多的證明方法,在此不一一列舉了.

4 “糖水不等式”的推廣

5 美妙的“糖水不等式”在各類題目中“大顯身手”

例2.(普通高中教科書(2019版A版)必修一·141頁·13節選)比較大小:log34,log45.

變式3.證明:logn(n+1)>log(n+1)(n+2)(n∈N*且n≥2).

變式4.證明:當b>a>1,m>1時,logba

變式5.(2020·新課標Ⅲ卷·理12)已知55<84,134<85,設a=log53,b=log85,c=log138,則有

( )

A.a

C.b

變式6.(2022·新課標Ⅰ卷·12)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則

( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

例3.(2022·新高考Ⅰ卷·22節選)已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值,求a.

例4.(2015·湖北卷·理8)將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(a≠b)同時增加m(m>0)個單位長度,得到離心率為e2的雙曲線C2,則

( )

A.對任意的a,b,e1>e2

B.當a>b時,e1>e2;當a

C.對任意的a,b,e1

D.當a>b時,e1e2

6 我們能從“糖水不等式”學到什么?

我們學習中要以已有知識的經驗為基礎,以聯系的眼光來看新題,發現題目結構與“糖水不等式”有相似的數量關系和結構屬性,多觀察、比較、分析、抽象概括、嘗試靈活應用“糖水不等式”,在解題過程中感受“糖水不等式”的美妙,而不能死記硬背一些定理,所謂的二級結論,都是生搬硬套,從重視運算結果到過程和結果雙重視,這才能有更強的學習數學參與感,在數學探究活動中善于發現類似的問題,善于總結類似的解題規律,同學們要從不同角度通過類比推理得到一般性結論,結合已有的學習經驗,解決一類比較大小的問題.

從上述題型分類看出,利用“糖水不等式”可使原本復雜的解題思路變得清晰明了,找到解題通關的路徑,啟發大家在數學學習中,不僅要掌握知識,還要多研究知識的背景.教材的例題和習題都給我們提供很好的試題素材,多多鉆研教材會有意想不到的收獲,這樣才能“從教材中學方法,應用教材做新題”!