巧用平面幾何知識 妙解離心率問題

崔麗力

(河南省南召縣第一高級中學)

離心率是刻畫圓錐曲線形態特征的基本量,它反映了橢圓的“扁圓”程度,以及雙曲線的“張口”大小,因此對橢圓、雙曲線離心率的考查就成了歷年高考的一個熱點.從大方向看求離心率的值是建立等量關系,求離心率的范圍是建立不等關系,解決離心率問題的常用方法是代數法或幾何法,從教學實踐看同學們更熱衷于代數運算,因為思考量小,但是解析幾何中的“幾何”二字也正體現了數與形的完美結合,且從近些年的高考題來看若能恰當的選用平面幾何知識將可以實現“秒殺”,下面通過幾個典例說明.

一、巧用圓錐曲線本身蘊藏的幾何性質

橢圓、雙曲線(包括漸近線)本身就具有相應的幾何性質,在實踐中由題目信息找到之間聯系就可以迅速解決問題.

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二、巧作輔助線

某些條件下已有幾何關系,但等量關系不易找到時,可以適當作輔助線進而迅速破局.通常是取中點,作平行線,根據對稱性補形等等.

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三、巧用化歸轉化思想

根據題目需求,將題目中代數式或約束條件轉化為幾何圖形間關系,通常涉及直線的斜率、角度、輔助圓等等,常是求離心率范圍的巧妙手段.

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【小結】隨著新教材的使用,過去選修的平面幾何版塊已不在教材中體現了,但從評價體系及新高考試題的導向來看其地位和作用在學習數學的過程中并不減少,除了今天舉例所涉及的解析幾何中的一個方面,其他諸如立體幾何、平面向量、復數、解三角形,甚至于基本不等式我們的教材還給有幾何解釋,可以說涉及有數形結合思想的都有平面幾何的影子,特別是以今天舉例的無論是高考真題還是模擬題原題都沒有配圖,需要同學們自己畫出合適的圖形來幫助理解,這顯然是站在“指揮棒”的角度考查直觀想象這一數學核心素養的體現,因此在學習中加強平面幾何知識的思考和應用也是應有之義,更有廣闊的實用價值.