數形結合探思路,深度分析練思維

張建文

(甘肅省岷縣第一中學)

直觀想象素養是高中數學六大核心素養之一,是數學思維能力的重要體現.培養直觀想象素養的主要方式就是在不斷解決問題的過程中逐步訓練學生的運用數形結合思想的能力.圖象是函數的直觀表示,更是函數的靈魂,函數問題的分析解答通常是以其圖象為引路方向,函數圖象通常引導文本書寫過程,函數圖象的展現使得函數富有生機與趣味.

深度分析與淺顯表達是培養學生思維的重要方式.所謂深度分析就是在原問題解決的基礎上探究其發生的深層次原因以及更一般化的結論,而淺顯表達則是在深度分析的基礎上用比較淺顯而直觀的語言解釋與表達.在函數圖象教學過程中,深度分析主要從“一點兩線”進行探究,引導學生體會繪制函數圖象過程中的嚴謹性和準確性.

1.探究函數的“關鍵點”——分界點.函數有零點、駐點、極值點和拐點等,不同類型的點處于函數圖象的不同位置.一般地,零點區分函數值的正負,是函數圖象處于x軸上下部分的分界點;極值點是函數單調性變化的分界點,而拐點是函數增減速率變化的分界點.

2.探究端點附近的“親密線”——漸近線.若函數f(x)定義在區間(x0,+∞),且f(x0)無意義,則f(x)可能存在漸近線.通過定量分析而實現定性判斷,進而繪制準確的函數圖象.漸近線的意義在于確定函數圖象的邊界,能夠直觀確定函數的屬性,蘊含著極限思想和幾何美感.

3.探究函數的“放縮線”——切割線.切線是割線的極限位置,切線與割線相伴而生,借助切割線能夠對函數值進行有效放縮,在不等式證明和函數值近似計算過程中發揮著不可代替的價值,同時通過圖象觀察利用切割線進行數值放縮是比較直觀而易得的思路.

數形結合是一種問題解決方法,更是培養學生直觀想象素養的有效手段.在函數問題中,數與形的結合通常體現為函數解析式與函數圖象的有機結合與轉化,具體包括“由式探形”與“以形助式”這兩個方面.利用數形結合思想解決問題,最終都是先以式探形,再以形助式,其基本流程是:式→形→式.本文重點以例說明如何利用數形結合思想進行深度分析.

一、由式探形

由式探形就是根據函數解析式或等價函數繪制函數圖象并探究函數圖象的“一點兩線”,通常借助方程f(x)=0,f′(x)=0和[f′(x)]′來探究“關鍵點”,利用導數值的正負確定函數單調性,利用洛必達法則求極限來探究函數圖象的漸近線.

1.求極限探漸近線,求二階導找拐點

漸近線是函數圖象的輔助直線,是函數圖象在某一區域內無限靠近但無法相交的直線,對于理解函數單調性和值域有重要意義.一般地,通過探究函數值的變化情況來研究漸近線.在函數單調性明確的情況下,我們通常會進一步探究函數圖象的凹凸性,以期達到深度分析和強化訓練思維的效果.

圖1

圖2

小結與反思：函數單調性的判斷不僅要觀察導函數的正負,更要看定義域的組成形式,若定義域是中間斷開的,函數有可能存在漸近線,需要我們利用洛必達法則進行深入判斷.同時利用二階導數可以進一步判斷單調函數增減速率變化情況,由式探形,進一步準確繪制函數圖象.

2.看式似有漸近線,洛必達法則解惑

根據以往經驗,分式函數在分母為零的位置通常會存在漸近線,但在某些特殊函數中并不存在漸近線,就需要我們利用洛必達法則求極限來判斷.

圖3

3.觀式構圖辨位置,導數正負巧判斷

導數正負判斷是確定函數單調性的前提,對于復雜導數結構中的部分因式,在保證其正負取值一致的情況下,我們通常將其等價轉化成較簡單的式子,再通過構造函數畫簡圖來確定導數的正負.

(1)討論函數f(x)在(0,π)上的單調性;

(2)若h(x)=f(x)-g(x),判斷h(x)的單調性.

深度分析：(1)f(x)=sinx-(x+a)cosx,則f′(x)=(x+a)sinx,x∈(0,π).可知sinx>0,f′(x)的正負由x+a決定.令x+a=0,得x=-a,-a與(0,π)的關系有三種情況,所以y=x+a的圖象與(0,π)的關系也有三種情況,如圖4.

圖4

①當-a≤0,即a≥0時,有x+a>0,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π)上單調遞增;

②當-a≥π,即a≤-π時,有x+a<0,f′(x)<0,所以f(x)在(0,π)上單調遞減;

③當0<-a<π,即-π0,f(x)單調遞增.

圖5

①當-a>0,即a<0時,m(x)的單調遞增區間為(0,-a),遞減區間為(-∞,0)和(-a,+∞);②當-a<0,即a>0時,m(x)的單調遞增區間為(-a,0),遞減區間為(-∞,-a)和(0,+∞);③當-a=0,即a=0時,m(x)在R上單調遞減.

小結與反思：利用導數判斷函數單調性關鍵在于確定導函數的正負取值,通過將導函數進行等價轉化成比較簡單的函數,再根據其函數圖象來判斷函數值的正負,從而確定原函數的單調性,需要注意的是,根據轉化后的函數圖象不能判斷原函數增減的快慢.在具體教學過程中我們可以比較轉化與不轉化之間的異同,體會轉化后函數圖象的神奇功效.

二.以形助式

以形助式就是借助函數圖象或是等價圖形,從中獲得問題解答思路或是對原問題進行等價變形.一般地,在函數問題解決過程中,函數圖象作為函數問題解答的靈魂,起著隱形統領作用.

1.繪制切線與割線,放縮證明不等式

切線是割線的極限形式,切割線是與函數圖象聯系緊密的兩種直線.一般地,放縮有兩個方向:①縱向放縮,就是借助切線將函數值在切點附近進行放大或縮小,或是求解函數值的近似值;②橫向放縮,就是將函數圖象上的點左移或右移到切割線上,從而實現對圖象上點的橫坐標進行放縮.切割線放縮法是一種證明不等式的重要手段,需要借助函數圖象的凹凸性,對函數圖象的繪制要求較高,在證明過程中能達到事半功倍的效果.

圖6

圖7

所以x1+x2

小結與反思：切割線放縮法是證明不等式的一種重要方法,就是結合函數圖象的凹凸性,利用切線和割線對自變量或函數值進行放大或縮小,通常進行一次放縮或兩次放縮.本題經過兩次放縮,恰好證明了結論成立.在實際教學過程中,引導學生探究圖象的結構特點,挖掘圖象中隱含的信息,體會數形結合的數學思想.

2.以斜率尋找切點,兩線合一證結論

公切線的證明通常有兩種方法:方法一,先求出曲線1的切線方程,再求出曲線2的切線方程,最后說明這兩條切線為同一條直線;方法二,先分別找出曲線1和曲線2的切點A,B,再分別計算曲線1和曲線2在切點處的切線斜率k1,k2和直線AB的斜率kAB,最后驗證k1=k2=kAB.在具體問題中,應堅持具體問題具體分析,嘗試選擇最優解答方法.

圖8

圖9

3.起始點引領探路,充要性嚴謹證明

在恒成立問題解答中,若分離參數等方法難以實現,而且在端點處恰好滿足條件,則可以先找不等式成立的必要條件,再證明其充分性即可.在整個分析過程中,不等式作為明線,函數圖象作為暗線來引導問題解決.

小結與反思：在此問題解答過程中恰好有g(1)=0,而且分離參數等其他方法處理比較困難,所以我們可以考慮尋找其必要條件.結合函數簡圖(圖10),存在δ使得g(x)在(1,δ)內遞增,即有g′(1)≥0,進而得到一個必要條件,再證明其充分性即可.在實際教學過程中,要引導學生自然而然地思考問題,體會數學計算與證明的嚴謹性.

圖10

三、總結與展望

在直觀想象素養的培養目標上,課標要求能夠通過想象對復雜的數學問題進行直觀表達,反映數學問題的本質,形成解決問題的思路,能夠在綜合的情境中,借助圖形,通過直觀想象提出數學問題.在具體教學過程中,教師要設置恰當問題情境,從“由式探形”和“以形助式”這兩個方面引導學生進行思考.對于數學問題的分析解答我們不能滿足于具體問題的答案,需要探究更一般的問題解答模型,引導學生深度分析準確理解.