一道關(guān)于內(nèi)切球題目的多種解法

劉昌領(lǐng)

(湖北省通山縣第一中學(xué))

立體幾何的內(nèi)切球是立體幾何模塊重要內(nèi)容之一,也是高考的熱點(diǎn)問題之一,這類試題蘊(yùn)含極為豐富的重要數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)知識(shí)、方法、技能考查十分豐富,對(duì)邏輯推理、空間想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)考察全面,有很好的探究價(jià)值.筆者從一道關(guān)于內(nèi)切球的題目切入,通過多維度多視角分析,得到三種解法.

一、原題呈現(xiàn)

本題以四棱錐為載體,在立體補(bǔ)形、等面積法、等體積法、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)的交會(huì)處精心設(shè)計(jì),能較好地甄別學(xué)生的邏輯思維水平和推理能力,是一道優(yōu)秀的階段性測試題.

二、解法探究

【分析1】由于所給條件是各側(cè)面頂角相等,結(jié)合常見空間立體幾何模型的結(jié)構(gòu)特征,從而將其補(bǔ)形為正四棱錐.

【解法1】依題意可知:將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成正四棱錐P-A1B1C1D1,如圖1所示,易知所有棱長都相等,且PA⊥PC,PB⊥PD.

圖1

【分析2】由于補(bǔ)形為正四棱錐,而正四棱錐內(nèi)心在高上,根據(jù)條件可分析出本題四棱錐內(nèi)心也在高上,再利用正四棱錐邊角關(guān)系可以方便計(jì)算出內(nèi)心到頂點(diǎn)P的距離.

【解法2】如圖2所示,設(shè)四棱錐P-ABCD內(nèi)切球球心為Q,則Q到底面ABCD距離為1,如圖3所示.

圖2

圖3

【評(píng)注】結(jié)合內(nèi)心和勾股定理逆定理,以及等面積法進(jìn)行計(jì)算.本法比法一簡單.

【分析3】根據(jù)正四棱錐底面中心與四棱錐底面中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線,在△C1CT中,利用∠C1CT=∠PC1A-∠C1AH,和兩角差的正弦公式解三角形.

圖4

∵PB=PD,PB1=PD1,∴BD∥B1D1.又∵B1D1⊥面PAC1,∴BD⊥面PAC1.又∵BD?面ABCD,∴面ABCD⊥面PAC.過O1作O1H⊥AC于H,則O1H⊥面ABCD,即O1H=1.過C1作C1T⊥AC于T,如圖5所示.

圖5

三、一點(diǎn)感悟

本題得分率極低,分析原因有以下幾種:一是學(xué)生不會(huì)補(bǔ)形,對(duì)于一個(gè)不規(guī)則的立體圖形,第一感覺是恐慌,不敢嘗試.二是很多學(xué)生盲目刷題,追求數(shù)量.感悟太少,對(duì)典型熱點(diǎn)問題缺乏本質(zhì)探索和深層次的研究,缺乏必要的拓展與延伸,不注重分析與思考;三是很多學(xué)生空間想象、邏輯推理、運(yùn)算能力偏弱,一旦式子較復(fù)雜,就錯(cuò)誤百出;四是很多學(xué)生面對(duì)壓軸題直接放棄,信心嚴(yán)重不足.

數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部邏輯聯(lián)系緊密,很多問題可以多視角、多維度探索,尋求解決問題的最佳途徑,一題多解一題多悟,提升自己發(fā)散思維的能力,揭示題目內(nèi)部規(guī)律,使思維向更深層次發(fā)展.

在平時(shí)教學(xué)中,要注重引導(dǎo)學(xué)生從不同角度審視題目,從不同的知識(shí)點(diǎn)切入題目,尋求多維度、多視角、多層次的探究與思考,從而探究出不同的解決方案,對(duì)不同的解題方法進(jìn)行縱橫深入比較,拓寬解題思路,溝通不同知識(shí),掌握解題規(guī)律,權(quán)衡不同解法的優(yōu)劣,提高解題效率,提高分析問題和解決問題的能力.