齊次化構(gòu)造妙解雙斜率問(wèn)題

張秀妮

(山東省威海市文登區(qū)教育教學(xué)研究中心)

圓錐曲線中的雙斜率問(wèn)題,一直是高考考查的熱點(diǎn)題型.但學(xué)生得分率很低,究其原因,主要是選擇方法不當(dāng),導(dǎo)致運(yùn)算量極大,失去計(jì)算熱情.本文通過(guò)齊次化構(gòu)造的方法,幫助學(xué)生減少運(yùn)算量,用平面幾何的視角,探究圓錐曲線中軸點(diǎn)弦定理和等角定理.

一、齊次化構(gòu)造背景介紹

1.齊次式

一個(gè)多項(xiàng)式中,如果各項(xiàng)的次數(shù)都相同,則稱這個(gè)多項(xiàng)式為齊次式.

例如:x+y是一次齊次式,x2+3xy+y2是二次齊次式.

2.齊次方程

如果一個(gè)方程中,所有非零項(xiàng)的次數(shù)都相同,則稱這個(gè)方程為齊次方程.

3.基本原理

二、斜率之和問(wèn)題

【解法1】采用常規(guī)解法,難點(diǎn)在于題目涉及的直線相對(duì)較多,學(xué)生不知道應(yīng)該設(shè)哪條直線.在通常情況下,求哪條直線的信息,我們就設(shè)這條直線的方程.

由題意知直線l斜率存在,設(shè)為k,則直線l:y=kx+m,

可得,(1-2k2)x2-4kmx-2m2-2=0.

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

因?yàn)閗AP+kAQ=0,所以k=-1.

【解法2】采用齊次化構(gòu)造方法,已知kAP+kAQ的值,聯(lián)想到韋達(dá)定理中的兩根之和,所以需要構(gòu)造一個(gè)以kAP,kAQ為根的一元二次方程Ak2+Bk+C=0.

即A(y-1)2+B(y-1)(x-2)+C(x-2)2=0 (*),

而(*)是關(guān)于(x-2)與(y-1)的二次齊次式.因?yàn)樾甭手械淖兞縳,y來(lái)自雙曲線,所以我們想將雙曲線中的變量湊成(x-2)與(y-1)的形式:

(x-2)2+4(x-2)-2(y-1)2+4(y-1)=0

(**).

不難發(fā)現(xiàn)(**)中(x-2)與(y-1)并非齊次式,所以我們需要把(**)的一次項(xiàng)湊成二次項(xiàng).如何實(shí)現(xiàn)?其實(shí),斜率中的變量x,y不僅來(lái)自雙曲線,還來(lái)自直線l.所以,我們首要的任務(wù)是將直線l的方程改寫(xiě)成(x-2)與(y-1)的形式.

【引理】給定直線l和直線外一點(diǎn)P(x0,y0),則直線l的方程可以寫(xiě)為m(x-x0)+n(y-y0)=1.

證明:直線l可寫(xiě)為Ax+By+C=0,其中A2+B2≠0.

因?yàn)锳(x-x0)+B(y-y0)=-(Ax0+By0+C),

P(x0,y0)?l,所以Ax0+By0+C≠0.

所以直線l可設(shè)為:m(x-2)+n(y-1)=1,

所以(x-2)2+4(x-2)[m(x-2)+n(y-1)]-2(y-1)2+4(y-1)[m(x-2)+n(y-1)]=0,

整理可得(4n-2)(y-1)2+(4n+4m)(y-1)(x-2)+(1+4m)(x-2)2=0,

即(4n-2)k2+(4n+4m)k+(1+4m)=0,

所以n=-m,即k=-1.

對(duì)比兩種解法,不難發(fā)現(xiàn),在處理雙斜率的和或積的相關(guān)問(wèn)題中,齊次化構(gòu)造更為便捷.

三、斜率之積問(wèn)題

以圓錐曲線的軸點(diǎn)弦定理為例:

【軸點(diǎn)弦定理】過(guò)圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)對(duì)稱軸上非頂點(diǎn)的一定點(diǎn)的直線與圓錐曲線交于不同的兩點(diǎn),則這兩點(diǎn)與相應(yīng)對(duì)稱軸上的一個(gè)頂點(diǎn)所連斜率之積為定值.

下面運(yùn)用齊次化構(gòu)造對(duì)此定理進(jìn)行簡(jiǎn)單證明.

【解析】設(shè)直線AB:m(x+a)+ny=1,

整理可得b2(x+a)2-2ab2(x+a)+a2y2=0,

所以b2(x+a)2-2ab2(x+a)[m(x+a)+ny]+a2y2=0,

整理可得a2k2-2ab2k+b2-2ab2m=0.

【拋物線軸點(diǎn)弦定理】過(guò)定點(diǎn)P(t,0),t≠0的直線l與拋物線E:y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),則kOA·kOB為定值.特別地,當(dāng)P(2p,0)時(shí),OA⊥OB.

大家可以嘗試用齊次化構(gòu)造的方法證明上述兩個(gè)定理.

【反思】軸點(diǎn)弦定理只是告訴我們?nèi)绻本€AB過(guò)定點(diǎn),則相應(yīng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)與A,B所連直線的斜率之積為定值;反之,結(jié)論未必成立,但絕大多數(shù)情況下是成立的.因此我們可以運(yùn)用這個(gè)結(jié)論進(jìn)行大膽地猜測(cè),然后用齊次化構(gòu)造仔細(xì)驗(yàn)證.下面借助一道統(tǒng)考試題,看一下.

(1)求證:BM⊥BN;

(2)設(shè)直線BM交橢圓C于另一點(diǎn)Q,求證:直線PQ恒過(guò)定點(diǎn).

【解析】(1)證明略.

證明:設(shè)直線PQ方程為m(x-2)+ny=1,

整理可得(x-2)2+4(x-2)+4y2=0,

所以(x-2)2+4(x-2)[m(x-2)+ny]+4y2=0,

整理可得4k2+4nk+1+4m=0.

四、轉(zhuǎn)化提升

【拋物線等角定理】過(guò)拋物線E:y2=2px(p>0)對(duì)稱軸上一定點(diǎn)P(t,0)(t≠0)的弦AB的兩端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q(-t,0)連線與對(duì)稱軸(即x軸)所成的銳角相等.

我們以拋物線等角定理為例,運(yùn)用齊次化構(gòu)造的方法進(jìn)行證明.

證明:所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求kQA+kQB=0.

整理可得y2-2p(x+t)+2pt=0,

所以y2-2p(x+t)[m(x+t)+ny]+2pt[m(x+t)+ny]2=0,

整理可得(2ptn2+1)k2+(4ptmn-2pn)k+2ptm2-2pm=0,

大家可以嘗試用齊次化構(gòu)造的方法證明上述橢圓和雙曲線的等角定理.

【思維拓展】橢圓與雙曲線有兩條對(duì)稱軸,所以只要M、N成對(duì)地出現(xiàn)在同一條對(duì)稱軸上,命題依然成立,即:

(1)當(dāng)l⊥x軸時(shí),求直線AM方程;

(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB.

【解析】(1)解答略;

(2)證明:設(shè)直線l方程為m(x-2)+ny=1,

整理可得(x-2)2+4(x-2)+2y2+2=0,

所以(x-2)2+4(x-2)[m(x-2)+ny]+2y2+2[m(x-2)+ny]2=0,

整理可得(2n2+2)k2+(4n+4mn)k+1+4m+2m2=0,

因?yàn)镕∈l,所以m=-1,

所以∠OMA=∠OMB.

【反思】齊次化構(gòu)造法比常規(guī)做法,運(yùn)算量大大降低.但本方法,適用于斜率的相關(guān)問(wèn)題,有很大的局限性.更大的難點(diǎn)是如何通過(guò)審題,將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為斜率之積與和的問(wèn)題.