借助幾何畫板 滲透模型意識

孟繁晶 徐澤能

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：數學模型意識是小學數學核心素養的主要內容之一，模型意識主要是指“對數學模型普適性的初步感悟”，模型意識的主要表現是“知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學運用的基本途徑；能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關”。

“幾何畫板”是一套用于數學教學的軟件，是數學教師用于數學教學的“利器”。隨著“雙減”政策的進一步落實，減負提質工作更是重中之重。“幾何畫板”可視化教學的實踐與研究，化繁為簡，化抽象為生動，以生動的案例激發了學生對幾何的學習興趣，發展圖形與幾何問題解決的模型意識，極大地提高了課堂學習效率。在教學圖形與幾何內容時，部分學生仍然感覺到學習幾何非常困難，教學實踐表明學生所缺乏的正是實際生活經驗，動手能力偏弱，觀察能力不強，“幾何畫板”可視化教學正是可以讓學生參與其中，還原體驗。

一、借助操作活動，展現知識發生過程，初識等長變形模型

“幾何畫板”作圖原理就是大家十分熟悉的“尺規作圖”，經它繪制出的幾何圖形，即使圖形的位置和形狀發生了變化，但圖形原有的幾何性質不會發生改變，這或許是它又被譽為“動態幾何”的真正緣故。“幾何畫板”函數圖象（兩個變量）的繪制和測量功能，能直觀地展現數形結合的思想，將運動中的圖形的性質和數量關系展現得淋漓盡致。通過對動態圖形測量數據的分析和研究，有利于發現圖形的性質和規律。而對動態圖形的測量又能對已有的猜想和結論加以驗證，較好地展現了知識的發生過程，為師生創設了一個具有探究功能的實驗環境。

案例1：把一個長方形拉成一個平行四邊形，它的周長和面積會發生變化嗎？

師：在拉的過程中，到底有哪些量在發生變化呢？

生1：長還是寬呢？

生2：借助學具拉動，發現周長并沒有發生變化。

生3：雖然有拉動，但是面積大小變化不太明白。

師：拖動圖1的幾何畫板。

生：長沒有發生變化，寬看不出來是否變化。

師：顯示以C為圓心，寬為半徑的圓，如圖2。

生：圓的半徑不變，長和寬都沒發生變化，所以周長不變。

師追問：面積有變化嗎？說說你的想法？

生1：面積變小了，因為底是長方形的長，高變小了。

生2：變成平行四邊形之后，可以把平行四邊形通過割補，轉化為直角梯形和直角三角形的和，得到一個新的長方形，比原長方形少出上方空白處長方形的面積。

評析：等長變形，長方形拉成平行四邊形周長和面積的變化是一個教學難點，讓學生先經歷猜想、操作，再運用幾何畫板驗證，直觀地解釋為什么長方形拉成平行四邊形，周長是沒有發生變化，而面積的變化通過割補的方式可以看出是變小的，圖2利用圓的半徑來解釋長、寬，學生在這個階段還沒有學過圓的半徑等內容，可作為拓展內容讓學生了解。利用幾何畫板還原體驗，讓學生在直觀中建立模型意識，化靜為動，動中取靜，將數學問題趣味化、多元化。

二、借助猜想驗證，把握變與不變，滲透等積變形模型

等積變形是指在圖形或者是形狀發生改變的時候，這個變形過程中的面積不發生變化。在教學過程中，借助猜想驗證，能讓學生在變與不變的全面把握中滲透等積變形模型。

案例2：圖3中兩條平行線之間平行四邊形的關系？

師：從圖中你能了解哪些數學信息？

生1：三個平行四邊形的面積相等，但是周長不同。

生2：因為平行四邊形的面積與底和高有關，這三個平行四邊形的底是相等的，又因為是在平行線之間，所以單個平行四邊形的高是相等的，所以這三個平行四邊形的面積相等。

生3：為什么周長不同？

生4：因為他們雖然其中一組邊長度相等，但是另一組邊的長度是不斷變化的，所以周長不同！

生5：老師，如果有具體的數據我們可以算一下？

師：表揚同學們善于利用所學的知識解決問題。（給出相關的數據）

生1：經過計算這三個平行四邊形的面積確實相等，并且周長不同，如有平行線之間還有其他的平行四邊形，那它們的關系又是什么呢？

生2：面積還是相等的，但是周長不同，因為只要是平行線之間的平行四邊形高都相同，只要它們的底相等，那么它們的面積就相等，其實就是等底等高的平行四邊形，面積相等！

師：讓我們一起來驗證一下同學們的猜想。（拉動其中一個平行四邊形，幾何畫板會顯示面積和周長的數據，從而驗證同學們的猜想）

生：面積相等，形狀不同。

師：這在我們數學中叫做“等積變形”。請同學們還有什么問題？

生：那兩條平行線之間的三角形，它們的關系又是什么？（生畫圖）

師：在幾何畫板上進行，如圖4。

生：因為三角形面積是底乘高，這三個三角形的底相等，因為在兩條平行線之間，所以相等的底對應的高也是相等的，等底等高，所以這三個三角形的面積相等，但是周長不相等。

師：同學們能從平行四邊形聯想到三角形，從一個問題聯系到一類問題。

學生進一步根據數據驗證猜想，教師用幾何畫板進行展示驗證學生猜想。

評析：學生經歷數學建模后，教師應引導學生進入更深層次的遷移類推，等底等高的平行四邊形面積相等，這個模型同樣適用于三角形等圖形中，讓知識、方法和思維結構化、可視化，不斷深化對相關模型的滲透。

三、借助化繁為簡，放手自主探究，拓展等積變形模型

弗蘭登塔爾曾說過：數學教學應教給學生充滿著聯系的數學，只有進行鏈接和溝通，才能把握數學的本質。也有的學者指出，化繁為簡，是學習數學最有效的策略。教學中要借助化繁為簡，給予學生自主探究的時間和空間，從中拓展等積變形模型。

案例3：大正方形的邊長是3厘米，小正方形的邊長是2厘米。怎么求出圖6中陰影部分的面積？

生：老師，這個題目是不是缺少條件呢？陰影部分是三角形，需要知道底和高。

師：想一想可以運用我們之前學習的哪些模型解決這個問題呢？

生1：我們可以利用割補法，然后平移。

生2：我們還可以利用之前講過的平行線之間的距離都是相等的，然后對三角形進行變形。首先利用正方形的對角線畫出平行線IK∥GE，拖動三角形在平行線上的點，變形為圖7（1），其實就是大正方形面積的一半。

生：那無論在平行線上的點怎么移動，圖7（1）、圖7（2）和圖7（3）的面積都是相等的。

師：像這樣的題目生活中還有很多，我們要善于去觀察，尋找共同點。在原來的基礎進行拓展。

評析：等積變形比較適合計算一些較復雜的、較難的平面圖形的面積，有時計算陰影部分面積會缺乏一些信息和條件，但能在圖中找到和它等積的圖形，若能算出與它等積的圖形面積，即可求出陰影部分的面積。化繁為簡，學生在自主探究中建構數學模型，溝通一個問題和一類問題的聯系，積累數學活動經驗，這是模型意識不斷發展的過程。

四、借助作業設計，探究知識本質，運用等積變形模型

為了讓學生進一步體會等積變形在生活中的運用和在數學中的價值設計如下的作業設計。

案例4：研究長方形面積的，設計圖案是陰影部分的面積是長方形面積的。（1）盡量多設計幾種不同的方案。（2）看誰設計的獨特、新穎。

學生在學習單上進行設計，教師可利用幾何畫板進行操作驗證。重點引導學生觀察以下幾幅圖的設計。

師：同學們，這位同學畫（如圖8）的陰影部分面積是長方形面積的嗎？

生1：看不懂。

生2：在圖中畫一條線，同學們就看明白了。（如圖9）

生3：利用之前所學的平行線中的等積變形，同樣可以解決這一類問題。

師：同學們能多維反思，內化并完善所學知識，希望能把所學運用到我們生活中的每一個角落。

評析：數學模型的建構和完善不僅是在課堂教學中，還應該存在于我們開放性的作業中，借助數學推理探究知識本質，逐步形成運用模型進行思維的習慣，在自主探索中不斷豐富模型的內涵和外延。

總之，發展學生的模型意識需要一個長期的過程，教師要有意識地將模型思想滲透到日常教學中，使學生在知識形成和運用的過程中逐步形成和發展模型意識。借助幾何畫板滲透模型意識，不僅加深學生對數學模型的理解，同時促進學生內化和豐富數學模型，使學生形成良好的思維習慣和數學素養。