小學數學模型意識培養的有效途徑

陳清泉

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）將數學建模分為小學階段的模型意識和初中階段的模型觀念，相比2011年版課標的模型思想更加具體，更符合學生的年齡特征和更突顯層次性。在核心素養中將模型意識歸入數學語言的主要表現范疇之中，彰顯數學模型的抽象性、簡潔性、概括性與系統性，針對小學階段，如何培養學生模型意識，總結如下幾點。

一、了解模型意識——培養模型意識之根本

一直以來，模型思想被當作數學學習的重要思想方法之一，數學學習在很多時候都成了數學建模的過程。在建模過程中，什么是模型意識，成為擺在教師面前的一個問題，針對模型意識，《新課標》的解釋是“模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟”。從其內涵看，模型意識主要包括三個特征：一是采用形式化的數學語言；二是用來表述一種數學結構或解決一類數學問題；三是知道數學模型的作用并有意識地加以運用。其外延主要是對數學中各種概念、公式、理論和數學關系的理解與領悟。教學中使學生知道數學各種概念、公式、法則、定理等的基本作用，能夠認識現實生活中大量的事物或問題都可以抽象結構或系統建構，并有意識地用數學模型予以解釋，則是模型意識的體現，教師只有懂得模型意識的范疇，才能有意識加以引導與培養。

二、精選數學問題——培養模型意識之基礎

1.創設問題情境，孕育模型意識之溫床

數學教學離不開問題情境的創設，問題與情境是相輔相成的，問題以情境為土壤，情境以問題為靈魂。在教學中，教師所創設的情境應是數學情境，提出的問題應建立在數學情境的基礎之上，使問題——情境——數學三者融為一體。我們評價一個問題情境，重要的是看其所創設的問題是否指向數學的實質，是否引發學生數學思維的發展和推進數學模型建構的實施與發展。在實際教學中，我們常看到一些教師創設的問題情境不僅豐富多彩、活潑有趣，還凸顯了問題的本質，為數學模型的建構提供了孕育的溫床。如，四年級“用數對確定位置”，這個內容學習之前學生已經學習了用直線上的點描述數的順序和大小關系以及用方位來描述方向，具有了平面上確定位置的學習經驗。在本課教學中，教師以某軍事小組執行掃雷任務創設情境，掃雷小組來到一條小路（用一條線段表示），先后在它的終點、中點、路上任意點和路外任意點發現地雷，讓學生描述出這些地雷的位置。學生在情境中清楚地認識到精準描述地雷的位置的重要性，為后面行、列的確定，以及用數對確定位置打下良好的基礎。

2.精選數學問題，開啟模型意識之航程

《新課標》在第二學段和第三學段目標中分別指出：“嘗試從日常生活中發現和提出數學問題，探索分析和解決問題的方法，經歷獨立思考并與他人合作交流解決問題的過程，形成初步的模型意識”“嘗試在真實的情境中發現和提出問題，探索運用基本的數量關系，以及幾何直觀、邏輯推理和其他學科的知識、方法分析與解決問題，形成模型意識”。從中我們發現模型意識的培養雖是漸進式的，但都離不開數學問題這一有效載體，憑借情境問題，學生在實際情境中發現和提出有意義的數學問題，分析和解決數學問題，在問題解決和數學探究中逐步形成模型意識。那么應該如何精選數學問題？我認為一個好的數學問題，它應該既能夠啟發學生的思維，又能夠指向思維更深層次的發展，它應該成為統領整節數學課教學活動的靈魂，為整節課的教學發揮導向作用。如，在教學“確定位置”一課時，教師在學生描述出小路終點和中點兩顆雷之后，針對小路中任意點的第三顆地雷和小路外部的第四顆地雷，提出：“用什么辦法確定第三（四）顆地雷的位置？請在學習單上畫一畫，并試著描述第三（四）顆地雷的位置。”以這一問題為導向，學生借助量一量、畫一畫，在操作活動中逐步認識到要確定地雷的位置，必須以小路的一端為坐標，懂得地雷縱向、橫向距坐標軸的距離并用數量表示，為確定行、列以及用數對確定位置打下了基礎。因此，從問題情境中精選數學問題，并以具體的問題為導向，讓學生經歷建模過程是培養模型意識的基礎。

三、經歷抽象本質——培養模型意識之關鍵

新課程要求數學教學必須發揮學生的主體作用。同樣，數學建模過程也應是以學生為主體，在學生自主理解、合作探究、總結推廣基礎上的一種建構過程，教師要組織學生充分感知大量的感性材料，讓學生經歷觀察、猜想、舉例、驗證、歸納等推理過程，引導學生從感性材料中總結出數學問題，發現這些問題的共性，從而概括出其本質屬性，進而建構成具有高度概括性的數學模型。這種從具體到一般，從感性到理性的抽象過程，有助于學生模型意識的培養。如，教學“三角形的內角和”一課時，教師從學生熟悉的三角尺導入，讓學生說說三角尺的特點。學生從三角尺的邊、角入手，回顧了一副三角尺中三個角的度數，并得出三個角的度數之和是：45°+45°+90°=180°、30°+60°+90°=180°。是不是所有三角形的內角和都等于180°？學生有了猜想后，于是開展小組合作。在小組合作中學生經歷畫（做）三角形并測量出三角形的內角和、折一折使三角形的三個角成一平角和將三角形的三個角拼成一個平角等過程，驗證得出任意三角形的內角和都等于180°。

在這一過程中，學生經歷了從一副三角尺到所畫（做）的任意三角形，得出“三角形的內角和都是180°”這一從特殊到一般的抽象過程，有效地培養了學生在推理與建構中數學模型意識的培養。

四、依托數學思想——培養模型意識之靈魂

數學模型的核心是數學思想方法，數學建模的過程必須有相應的數學思想方法支撐。《新課標》將數學基本思想列為“四基”之一，指出教學活動必須“促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能，體會和運用數學的思想與方法，獲得數學的基本活動經驗”。在小學數學中，常見的數學思想有：概括思想、歸納思想、轉化思想、抽象思想、分類思想、類比思想、函數思想、方程思想、數形結合思想、符號化思想與模型思想等，這些思想既是數學思想中最基本的部分，也是最核心的部分，需要教師在小學數學課堂教學中結合知識和技能的學習，結合建模過程加以滲透。審視數學建模過程，概念的建構、公式的推導、規律的揭示、結論的總結等，無不蘊藏著數學思想的發生與運用過程，教師若能在建模過程中向學生滲透數學思想及方法，使學習成為一個明思想、重過程、促發展的數學學習過程，能更好地增加建模的思維厚度，催化建模的理性提升。如，教學“平行四邊形的面積”一課時，學生已經學過了長方形的面積，并有了一定的測量基礎，教學時教師安排如下幾個活動。活動一：出示一個畫在方格紙上的平行四邊形，數一數這個平行四邊形的面積是多少？反饋時，學生有的直接用數格子的方法，有的沿高線切開通過平移變成一個長方形，再計算長方形的面積。這一過程中，學生直觀地體會到平行四邊形的形狀發生了變化，但面積始終不變，初步體會到了運用轉化的方法可以使平行四邊形的面積計算變得簡單。活動二：動手操作，將平行四邊形紙片通過剪一剪、拼一拼等方法，把平行四邊形轉化成已學過的圖形，之后小組交流得到的長方形與原平行四邊形之間的關系，最后得出平行四邊形的面積計算公式“平行四邊形的面積=底×高”。在這一過程中，教師依托轉化的數學思想，建構了平行四邊形的面積計算公式，并使學生體會到面積公式這一模型的簡潔性與普適性，培養了學生的模型意識。

五、借助問題解決——培養模型意識之沃土

《新課標》在模型意識的內涵中指出：“能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數學的概念與方法予以解釋。”可見，在數學建模過程中，學生經歷觀察、猜想、舉例、驗證、歸納等活動從具體問題抽象出數學模型后，整個建模過程看似結束，實則遠未停止。此時，教師還應引導學生將數學模型放至現實生活中去，用數學模型去解釋生活中的現象，在實踐中既豐富了學生對數學模型的表象，深化了模型的內涵，又檢驗了模型特征，拓展了模型的外延。如：在“平行四邊形的面積”這一課，學生結合轉化的思想方法，建構出平行四邊形的面積公式后，教師安排了“綜合應用，鞏固拓展”的環節：（1）（出示一組平行四邊形）先說說平行四邊形的底和高，再計算它們的面積；（2）（根據一個平行四邊形相鄰的兩條邊和一條高的長度，產生的不同的面積計算方法）判斷哪種方法正確，為什么？（3）一塊平行四邊形菜地，底是12米，高是底的一半，求這塊菜地的面積。要解決這些問題，必須依靠平行四邊形的面積公式，學生在解決這些問題的過程中，頭腦不斷閃現平行四邊形的底和高與面積的關系，再現了平行四邊形面積公式的建構過程，也體會到了面積公式的適用性，再次發展了學生的模型意識，讓模型意識在問題解決過程中不斷生根發芽。

結語：模型意識是數學核心素養的表現之一，是模型觀念培養的基礎。在數學教學中，教師應使用多種方法、途徑培養模型意識，讓核心素養真正落地。