一種復合驅動并聯機構剛度分析

張燦果，倪笑宇，王永立，安兆杰

（1.河北建筑工程學院機械工程學院，河北 張家口 075024；2.湖州師范學院工學院，浙江 湖州 313000）

1 引言

并聯機構具有剛度高、累積誤差小、承載能力強等優點，但是并聯機構也存在工作空間小、運動關系耦合、控制系統復雜等缺點［1-2］。利用復合驅分支（一個并聯分支中含有兩個或兩個以上驅動）可以增大并聯機構工作空間，實現部分自由度解耦；復合驅動分支中的約束力可以消除動平臺不必要的微運動。因此，含復合驅動并聯機構具有廣泛的應用前景。并聯機構動平臺在外載荷的作用下會產生彈性變形，其彈性變形的大小與并聯機構的剛度以及外載荷有關［3］。并聯機構的剛度影響著機構的動態特性和定位精度，是并聯機構的重要性能指標之一［4］，對于復合驅動并聯機構，其驅動分支較少，其復合驅動分支中含有多個驅動力、驅動力矩，多個驅動力、驅動力矩作用下，復合驅動分支產生復合彈性變形。對復合驅動并聯機構剛度帶來不利的影響。文獻［5］把復合驅動機器人分成并聯和串聯兩個子結構，利用彈性變形協調條件，建立了復合驅動機器人的整體剛度模型。文獻［6］利用虛擬關節法推導了三移一轉復合驅動并聯機構的剛度矩陣，分析了該并聯機構工作空間內的剛度性能，采用有限元軟件驗證了剛度矩陣的正確性。文獻［7］設計一種用于大型零件加工的五自由度混聯機床，考慮該機構中各構件的彈性變形建立了混聯機床的剛度模型，在指定的工作空間內，預測了機構的剛度分布。文獻［8］提出一種大行程復合驅動五自由度并聯機器人，基于螺旋理論推導了該并聯機構的柔度矩陣，討論了其方向剛度。這里設計一種復合驅動四自由度并聯機構，該機構具有三轉一移四個自由度，可用作直升機旋翼支撐平臺，分析了機構的特點及自由度，利用矢量法建立了該并聯機構的運動學方程，考慮復合驅動分支中約束力、驅動力、驅動力矩作用下驅動分支的綜合變形，推導了該并聯機構的整體剛度矩陣，為復合驅動并聯機構的應用奠定了理論基礎。

2 復合驅動并聯機構

復合驅動并聯機構結構簡圖，如圖1所示。

圖1 復合驅動并聯機構結構簡圖Fig.1 Structure Diagram of the PM with a Compound Drive Branch

該機構由動平臺m、靜平臺、2個SPU驅動分支（包含1個直線驅動副P）、1個復合驅動RRPR分支（包含1個直線驅動副P和1個轉動驅動副R）。靜平臺中的端點A1、A2、A3相連是邊長為L的等邊三角形，中心點為O；以O為原點，Z軸方向垂直于靜平臺上平面向上，OA3為Y軸方向，X軸滿足右手法則，建立靜平臺坐標系｛A｝。動平臺端點ɑ1、ɑ2、ɑ3相連是邊長為l的等邊三角形，中心點為o；以o為原點，z軸方向垂直于動平臺上平面向上，oɑ3為y軸方向，x軸滿足右手法則，建立動平臺坐標系｛ɑ｝。復合驅動并聯機構中，2個SPU驅動分支與靜平臺端點A1、A2以球副S連接，與動平臺端點ɑ1、ɑ2通過萬向副U連接。復合驅動RRPR分支中，從靜平臺至動平臺依次為轉動副R1，R2、移動副P1、轉動副R3，各運動副之間滿足：R1||Z，R2⊥R1，R2||X，R3⊥R2，R3⊥x。復合驅動分支通過轉動副R1、R2組成的萬向副與靜平臺聯接，萬向副中心與端點A3重合；通過轉動副動R3與動平臺端點ɑ3聯接。RRPR分支中轉動副R1和移動副P1為驅動副。該機構的自由度為：

復合驅動并聯機構中含有1個靜平臺，1個動平臺，3個氣缸，3個活塞桿和1個連桿共9個構件，n=9；2個球副，2個萬向副、3個移動副和3個轉動副共10個運動副（10個運動副具有16個自由度），則g=10，∑fi=16。根據螺旋理論［9］，4自由度RRPR復合驅動分支中含有約束力∕約束力矩。機構運動時約束力∕力矩不做功，復合驅動分支中含有3個相互垂直的轉動副，分支中不存在約束力矩。設fc1、fc2分別為復合驅動分支中約束力矢量，則約束力矢量與分支中所有轉動副軸線在同一平面內。約束力矢量fc1通過端點A3且和轉動副R3軸線平行；約束力矢量fc2通過轉動副R1和R3軸線的交點ɑ，且和轉動副R2軸線平行。動平臺在約束力方向的運動被約束，約束力矢量fc1、fc2與XOY平面平行，故動平臺沿X、Y軸平移方向的自由度被約束。該并聯機構具有三轉一移4個自由度。三個轉動自由度可控制直升機旋翼的姿態，從而實現直升機轉向；沿Z軸方向的平移可調整直升機旋翼和機身之間的距離。復合驅動并聯機構具有如下優點：（1）復合驅動分支中含有一個直線驅動和一個轉動驅動，可提高動平臺姿態工作空間，擴大該機構應用范圍。（2）利用復合驅動分支中的約束力消除并聯機構不必要的微小運動，提高動平臺運動精度。（3）復合驅動并聯機構減少了驅動分支的數量，有效地避免了各驅動分支之間的干涉。

3 并聯機構運動及剛度分析

3.1 并聯機構運動學及靜力學分析

設動平臺參考點o的廣義速度矢量為V，參考點o的線速度和角速度矢量分別為v、ω。則：

設并聯機構中第i個驅動分支的長度、單位向量和驅動線速度分別為ri、δi和vri。中心點o至端點ɑi的矢量為ɑi。則：

其中，Jri（i=1，2，3）為并聯機構中三個直線驅動的雅可比矩陣。設復合驅動分支中轉動副R1、R2和R3的軸線單位矢量分為R1、R2和R3，轉動副R1、R2和R3轉動的角度分別為α、β、γ。令sφ=sinφ，cφ=cosφ，tφ=tanφ（φ=α、β、γ）。設復轉動副R1、R2和R3的角速度大小分別為ω1、ω2和ω3，動平臺的角速度等于復合驅動分支中各運動副角速度的累加，則：

其中，復合驅動分支中轉動副R1的驅動速度ω1和動平臺繞z軸角速度之間的系數為常數1，通過驅動副R1可以直接控制動平臺姿態變化，實現了并聯機構局部自由度解耦，可簡化機構控制系統。則：

設復合驅動分支中約束力fci（i=1，2）的單位向量為ci，動平臺參考點至約束力fci的矢矩為di。動平臺運動時，約束力做功為0，則：

其中，Jyi即為復合驅動分支中約束力fci的雅可比矩陣。合并式（3）、式（6）和式（7）可得：

其中，J即為復合驅動并聯機構雅可比矩陣。設F=［Fx Fy Fz］T、T=［Tx Ty Tz］T分別為動平臺參考點o點受到的外載荷力矢量和力矩矢量。設機構中三個移動副驅動力大小為Fɑi（i=1，2，3），轉動副R1驅動力矩為Tɑ1。基于虛功原理，則：

其中，Fr=［Fɑ1Fɑ2Fɑ3Tɑ10 0］T。式（10）即為復合驅動并聯機構靜力學方程。

3.2 構件彈性變形分析

設復合驅動并聯機構中靜平臺和動平臺是剛性的，在力的作用下不產生彈性變形。三個驅動分支在驅動力作用下產生彈性變形。設r1i、A1i、I1i和M1i分別為第i個驅動分支中油缸的長度、橫截面積、抗彎截面系數和轉動慣量；r2i、A2i、I2i和M2i分別為第i個驅動分支中活塞的長度、橫截面積、抗彎截面系數和轉動慣量。E、G分別為材料的彈性模量和轉動模量。設λi（i=1，2，3）為第i個驅動桿的沿驅動桿軸線方向的彈性變形，根據材料力學相關知識得：

式中：ki—第i個驅動桿的沿軸線拉伸方向的剛度系數。SPU分支只承受軸線方向驅動力。復合驅動分支既要承受軸線方向的驅動力，又有驅動力矩Tɑ1，驅動力矩矢量Tɑ1可分解為沿r3軸線方向的力矩Tɑu和垂直于r3軸線方向的力矩Tɑv。設驅動力矩的大小為Tɑ1，則：

設Tɑv作用下復合驅動分支的變形為λv，如圖2所示。

圖2 驅動力矩作用下復合驅動分支彈性變形Fig.2 Elastic Deformation of the Compound Drive Branch

設Tɑu作用下復合驅動分支r3的扭轉變形為λθq。則：

復合驅動分支受到約束力fc1、fc2的作用，設fc1作用下復合驅動分支的橫向變形為λc1，如圖3所示。

當fc2作用于復合驅動并聯機構動平臺端點ɑ時，端點ɑ未在分支r3軸線上，復合驅動分支r3產生橫向變形和扭轉變形。設約束力fc2作用下復合驅動分支r3發生的橫向變形為λc2，推導可得：

設動平臺參考點o到端點ɑ的矢量為ɑ，約束力fc2作用下復合驅動分支r3的扭轉變形為λθy。則：

3.3 復合驅動并聯機構剛度矩陣

復合驅動并聯機構中，SPU分支只存在驅動力作用下的拉壓變形；復合驅動分支在驅動力、驅動力矩、約束力的作用下存在拉壓變形、扭轉變形和彎曲變形。設復合驅動分支的綜合扭轉變形為λθ=λθq+λθy，端點A3綜合彈性變形為λ1=λy1+λv。結合各構件彈性變形方程式，推導并寫成矩陣形式可得：

基于虛功原理，一個靜態平衡的機械系統，在所有外力作用下經過的虛位移，所做的虛功之和為0。設δp=［dxodyodzo］、δψ=［dφxdφydφz］分別為外負載［FT TT］T作用下動平臺參考點的線位移和角位移。則：

利用并聯機構運動學方程，各驅動分支彈性變形和動平臺參考點位移滿足式（8）。結合式（8）和式（18），推導可得：

其中，K即為復合驅動4自由度并聯機構剛度矩陣。

4 算例及有限元仿真

在先進CAD軟件環境下建立復合驅動并聯機構的虛擬樣機模型。并聯機構結構參數為：L=1200mm，l=600mm。驅動參數為：vr1=1.0tmm∕s，vr2=1.2tmm∕s，vr3=0.5tmm∕s，ω1=3°∕s。給定并聯機構動平臺參考點載荷為：F=［25；35；65］TN，T=［0；0；1］TN·m，E=2.11×1011Pa，G=7.9×1010Pa，Ai1=Ai2=0.0018m2，Ii1=Ii2=1.285×10-7m4。測定復合驅動分支動平臺參考點的運動學參數，代入到復合驅動并聯機構的剛度模型中，求解動平臺運動過程中參考點的線位移和角位移作為理論解，如圖4所示。

圖4 復合驅動并聯機構動平臺位移Fig.4 Analytic Solutions of Elastic Deformatuins of the PM

將并聯機構虛擬樣機模型導入到ANSYS軟件環境下進行有限元仿真。有限元仿真只能針對一個位置對進行分析，故有限元仿真選取機構運動過程中三個時間點進行有限元仿真，可以有效分析機構在其工作空間內剛度分布情況以及各驅動桿參數對機構剛度的影響。該機構時間為2s時有限元分析位移云圖，如圖5所示。

圖5 復合驅動并聯機構動平臺位移Fig.5 Elastic Deformation of FEM Model for the PM

最大位移量發生在復合驅動分支聯接點ɑ3附近，如圖5 所示。在約束力fc1、fc2作用下驅動桿3發生的橫向變形比驅動桿3發生的軸向變形大。兩個SPU驅動分支只承受軸向力的作用；復合驅動桿在驅動力、驅動力矩、約束力fc1、約束力fc2的綜合作用的彈性變形比SPU驅動分支大很多，因此并聯機構動平臺最大位移發生在復合分支聯結點ɑ3處。復合驅動分支的剛度對并聯機構整體剛度影響很大，因此有必要增加復合驅動分支橫截面積，從而增加并聯機構剛度。取動平臺運動過程中時間為1s、2s、3s時動平臺參考點的位移理論解與仿真解對比結果，如表1所示。

表1 動平臺中心點位移理論解與仿真解Tab.1 Error of Solutions of Elastic Deformation Analysis for the PM

從表1容易看出，時間為1s、2s、3s時動平臺參考點位移理論值與仿真結果基本一致，最大相對誤差為3%以內。主要原因是理論計算時將部分構件視為剛性構件。導致理論值偏小。因此建立的復合驅動并聯機構剛度模型是正確的。

5 結論

（1）設計一種復合驅動四自由度并聯機構。該機構具有3轉1移4個自由度，可用作直升機旋翼支撐平臺，有效實現直升機轉向。（2）考慮約束力驅動力和驅動力矩綜合作用下，結合機構的運動學方程建立了機構的剛度模型。（3）利用有限元軟件驗證了復合驅動并聯機構整體剛度矩陣的正確性。該機構中復合驅動分支的變形對機構變形影響大，因此應該增加復合驅動分支橫截面尺寸。從而有效增大該并聯機構的整體剛度。