深溝球軸承的二次回歸通用旋轉組合設計

高 顯，簡小剛，周大威

（1.同濟大學機械與能源工程學院，上海200092）

（2.中國航發(fā)哈爾濱軸承有限公司，黑龍江 哈爾濱 150027）

1 引言

滾動軸承作為基礎件在機械行業(yè)中廣泛應用，其具有低摩擦力矩、易潤滑和維護等特點。圓柱滾子軸承常作為支撐件安裝在車后橋，但經(jīng)實踐證明在汽車較高運轉的情況下該類型軸承并不能真正滿足使用要求［1-2］，常出現(xiàn)輕載打滑，重載摩擦發(fā)熱，溫升過高的現(xiàn)象［3］，嚴重時會引起內圈膨脹使軸承卡死［4］，造成車輛事故。相比與其它類型的軸承，在接口尺寸相同的情況下，深溝球軸承具有較高的極限轉速和較低的摩擦系數(shù)，但是承載能力不足也是它明顯的缺點。為了改善深溝球軸承的承載能力，使其具有一定的承載能力，就需對其內部結構參數(shù)進行優(yōu)化。多因子二次回歸通用旋轉組合設計方法綜合考慮了實驗方案制定、數(shù)學模型建立和模型的精確性與穩(wěn)定性，試驗點的好壞可以由實驗者依據(jù)預測值直接判斷。基于Romax仿真軟件，采用二次回歸通用旋轉組合設計方法建立深溝球軸承的回歸模型，可對深溝球軸承的結構參數(shù)進行優(yōu)化設計。

2 優(yōu)化設計方法

2.1 二次回歸通用旋轉組合設計方法

這里需優(yōu)化的結構參數(shù)為外圈溝曲率系數(shù)fe、內圈溝曲率系數(shù)fi、節(jié)圓直徑Dwp3個自變量，假定每個變量取4水平，則需做全面試驗的次數(shù)為N=43=64，比要大6倍多，會造成很大的浪費。為了減少試驗次數(shù)，這里在組合設計的基礎上采用二次回歸通用旋轉組合試驗方法。

二次回歸方程的估計值為：

式中：p—變量個數(shù)，若試驗次數(shù)增加，則剩余自由度f剩也增加，回歸方程顯著性增強，誤差減小，同時存在浪費的情況，因此宜選用最少的試驗次數(shù)。

2.2 回歸模型的參數(shù)優(yōu)化方法

加權優(yōu)化法是解決多個目標優(yōu)化問題的常用手段，因此本研究采用加權優(yōu)化方法對深溝球軸承的結構參數(shù)進行優(yōu)化設計。此方法根據(jù)項目的真實情況對目標函數(shù)的權因子進行確定，目標函數(shù)權因子根據(jù)相對重要性選取適當?shù)臄?shù)值［5］，但需滿足目標函數(shù)權因子之和為1。這里研究的深溝球軸承最關注的是壽命，壽命的權因子取ω1=0.7，其次是影響精度保持的徑向剛度，徑向剛度的權因子取ω2=0.3。然后可建立多目標函數(shù)的加權綜合指標。

3 計算實例分析

3.1 仿真模型建立

以型號為6212的深溝球軸承為例，以Romax軟件為平臺，建立軸-軸承系統(tǒng)的模型，如圖1所示。模型由一根兩端帶軸肩的軸和兩套深溝球軸承組成，左右兩側為支撐軸承6212深溝球軸承。

圖1 軸-軸承系統(tǒng)Fig.1 Shaft-Bearing System

以模型中兩端軸肩上的軸承為研究對象，軸承內外圈均固定，在軸的中心處加一點載荷，F(xiàn)r=20000N，轉速r=1000r∕min，工作溫度為T=70℃。

深溝球軸承的基本參數(shù)為：內圈直徑d=60mm，外圈直徑D=110mm，軸承外圈寬度B=22mm，滾動體個數(shù)Z=10，滾動體直徑Dw=16mm。優(yōu)化目標為軸承徑向剛度和軸承壽命，優(yōu)化參數(shù)為內圈溝曲率系數(shù)fi、外圈溝曲率系數(shù)fe和節(jié)圓直徑Dwp，根據(jù)文獻［6-8］制定約束條件：0.515≤fi≤0.555；0.525≤fe≤0.565；85.60mm≤dm≤87.40mm。設定軸承參數(shù)fi、fe和Dwp的數(shù)值，然后快速地生成軸承在模型中進行軸承仿真計算，將軸承徑向剛度和TS16281壽命［9］計算結果用于分析。

3.2 回歸模型的建立

為了建立深溝球軸承徑向剛度、壽命與各參數(shù)間的關系，做二次回歸通用旋轉組合設計［10］。

步驟如下：（1）根據(jù)約束條件制定因素水平編碼表；（2）列出設計方案表并進行仿真計算；（3）利用DPS軟件建立回歸方程，并對回歸方程和系數(shù)進行顯著性查驗。

因素水平編碼表，如表1所示。設計方案與結果，如表2所示。優(yōu)化指標y1為壽命，y2為徑向剛度，優(yōu)化因子X1、X2、X3—深溝球軸承的內圈溝曲率系數(shù)、外圈溝曲率系數(shù)和節(jié)圓直徑的取值。

表1 優(yōu)化因素編碼表Tab.1 Factors and Levels of Experiment

表2 設計方案與結果Tab.2 Scheme and Results of Experiment

利用DPS軟件處理上述方案后，獲得軸承的壽命回歸方程為：

徑向剛度回歸方程為：

3.3 仿真結果數(shù)據(jù)的理論驗證

根據(jù)Palmgren的試驗結果，針對這里的深溝球軸承，有疲勞壽命公式為：

式中：Le—軸承外圈的疲勞壽命；Li—軸承內圈的疲勞壽命。Qci、Qce、Qci、Qce—內、外圈的額定動載荷；Qi、Qe、Qi、Qe—內、外圈的接觸載荷。

根據(jù)軸承額定動載荷的理論［11］，可將外圈和內圈的額定動載荷Qc表示為：

式中：A由材料決定，一般可取A=98.07；

式中：Dpw—節(jié)圓直徑；Dw—鋼球直徑；α—接觸角；f—滾道溝曲率半徑系數(shù)；Nb—受載區(qū)滾子數(shù)。

相對于工作載荷旋轉和靜止的軸承套圈，當量載荷Qeμ和Qev可為：

式中：ew—Weibull斜率，取10∕9。

根據(jù)式（6）～式（8），計算得到軸承內、外圈的疲勞壽命Li和Le，這樣根據(jù)式（9）就能計算出整套軸承的基本額定壽命。

用工作小時數(shù)表示軸承壽命為：

由文獻［12］得出，修正后的額定壽命為：

由表3看出，仿真值與理論值的誤差都在10%以下，大部分誤差是在5%以下，仿真結果的正確性和可靠性通過了驗證。

表3 仿真值與理論值對比分析Tab.3 Comparative Analysis of Simulation Value and Theoretical Value

3.4 回歸方程的顯著性分析

對回歸式（3）、式（4）進行F檢驗，如表4所示。把F0.01（9，10）=4.94與計算結果進行比較可以明顯看出，軸承壽命和徑向剛度的回歸方程顯著性水平均為零，說明2個回歸方程都是特別顯著的，回歸模型能夠很好的反映實際情況［13］。

表4 壽命和徑向剛度的F檢驗Tab.4 Variance Analysis of F Test of Life and Radial Rigidity

3.5 因子效應分析

3.5.1 主效應分析

把式（3）、式（4）的偏回歸系數(shù)標準化，即應用無量綱線性編碼進行代換。得到編碼回歸方程如下：

壽命編碼回歸方程：

徑向剛度編碼回歸方程：

所以，固定2個因子為零水平，得另一個因子與壽命、徑向剛度的關系為：

各因子與軸承的壽命和徑向剛度的主效應圖，如圖2所示。由圖2可以看出：在設計方案范圍內隨著內圈溝曲率系數(shù)fi和外圈溝曲率系數(shù)fe的增大，軸承的壽命是減小的，但外圈溝曲率系數(shù)fe對軸承壽命的影響很小；軸承壽命隨節(jié)圓直徑Dpw變化很小。軸承徑向剛度會隨著內、外圈溝曲率系數(shù)fi和fe的增大而減小，但軸承節(jié)圓直徑Dpw的變化基本不會影響其徑向剛度。綜上所述，內、外圈溝曲率系數(shù)適當?shù)臏p小可以得到較好的使用壽命和徑向剛度。

圖2 各因子與壽命、徑向剛度的主效應圖Fig.2 Major Effect of Factors and Life and Radial Rigidity

3.5.2 因子交互效應響應曲面分析

將軸承結構參數(shù)中的因子固定成零水平，獲得另外2個因子的二元二次方程。軸承的壽命和徑向剛度的交互作用效應方程可根據(jù)式（3）、式（4）獲得，然后得出對應指標的效應圖，如圖3、圖4所示。

圖3 徑向剛度與各參數(shù)響應面圖及等高線Fig.3 Interactive Effect of Factors and Contour on Radial Rigidity

圖4 壽命與各參數(shù)響應面圖及等高線Fig.4 Interactive Effect of Factors and Contour on Life

從圖3、圖4可以看出：（1）只有內、外圈溝曲率系數(shù)fi和fe的交互效應對壽命和徑向剛度影響明顯。（2）各因子的交互效應對軸承壽命的影響總體小于徑向剛度。交互作用主次順序為：fi和fe、fi和Dpw、fe和Dpw。

3.6 回歸模型的參數(shù)優(yōu)化

本研究采用加權優(yōu)化方法對軸承壽命和徑向剛度的雙目標優(yōu)化設計問題進行結構參數(shù)優(yōu)化，對獲得的指標運用回代得到優(yōu)化后各設計參數(shù)數(shù)值為：fi=0.515、fe=0.525、Dpw=86.65。

最后將最佳的設計參數(shù)組合代入到式（1）、式（2）中，得到各指標值分別為：壽命為18.76×103h，徑向剛度為3.099×105N∕mm。

為了驗證優(yōu)化設計結果的可靠性，進行仿真驗證。驗證結果，如表5所示。可以看出驗證值和預測值比較接近，壽命誤差為10%，而剛度誤差只有1%，說明回歸方程是可靠的，此方法可用于深溝球軸承壽命和徑向剛度的分析和預測。

表5 預測驗證設計方案及結果Tab.5 Experimental Scheme and Results for Prediction Verification

4 結論

（1）通過二次回歸通用旋轉組合試驗方法建立了深溝球軸承的回歸模型，并利用回歸方程和加權優(yōu)化算法，進行了軸承的雙目標參數(shù)設計。

以型號為6212的深溝球軸承為例，計算結果表明，雙目標的仿真值和預測值比較接近，表明優(yōu)化模型和計算方法是正確的，可用于深溝球軸承壽命和徑向剛度的分析和預測。

（2）通過這里計算方法得到的回歸模型可以進行各因子的主效應分析，以型號為6212的深溝球軸承為例，分析結果為，隨著內、外圈溝曲率系數(shù)的增加，軸承的壽命和徑向剛度均降低；但是，它們隨節(jié)圓直徑的變化很小。

（3）此外，基于此方法還可以進行各因子的交互效應分析，以型號為6212深溝球軸承為例，分析結果為，內、外圈溝曲率系數(shù)fi和fe的交互影響對軸承壽命和徑向剛度影響都很明顯。但各因子的交互效應對軸承的徑向剛度影響總體大于對壽命的影響。交互作用主次順序為：fi和fe、fi和Dpw、fe和Dpw。