SVD和復(fù)合平方包絡(luò)譜的滾動(dòng)軸承故障診斷

陳 琳，陶 濤，李洪強(qiáng)

（揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能制造學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127）

1 引言

滾動(dòng)軸承在機(jī)械系統(tǒng)中起著重要作用，但由于其在高速、重載、潤(rùn)滑不良等典型的惡劣條件下工作，也使得其容易發(fā)生損壞［1］。因此，對(duì)軸承故障進(jìn)行早期識(shí)別，不僅對(duì)機(jī)器的安全運(yùn)行有很大的影響，而且有利于節(jié)約機(jī)器維修成本［2］。

近年來(lái)，滾動(dòng)軸承故障診斷已經(jīng)發(fā)展到了一個(gè)高水平的水平，特別是近幾十年來(lái)發(fā)表了大量的創(chuàng)新性著作。其中奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）由于其良好的性能在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。特別是近年來(lái)。例如，文獻(xiàn)［3］利用奇異譜對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行去噪。文獻(xiàn)［4］提出了奇異熵對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行去噪處理。文獻(xiàn)［5］分析了基于Hankel矩陣的SVD和小波變換的相似性，提出了一種類(lèi)似于小波包變換的奇異值分解包來(lái)提取軸承的弱特征，為了從原始信號(hào)中提取齒輪損壞引起的故障信號(hào)，采用奇異值差分譜對(duì)24 個(gè)齒輪進(jìn)行了分析。然而，奇異差分譜可以成功地提取主成分，但對(duì)弱成分不敏感。

為了提升奇異值分解方法對(duì)弱信號(hào)的敏感性，王圣杰等人提出了一個(gè)監(jiān)測(cè)指標(biāo)，即用于重建方差為75%的信號(hào)的子信號(hào)數(shù)，以檢測(cè)軸承缺陷［6］。文獻(xiàn)［7］提出了一種利用奇異值分解和短時(shí)矩陣序列的更為復(fù)雜的方法，用于軸承故障診斷。文獻(xiàn)［8］利用奇異值分解后的子信號(hào)周期調(diào)制強(qiáng)度來(lái)選擇故障信號(hào)。文獻(xiàn)［9］首次提出奇異值負(fù)熵的概念并應(yīng)用于選擇軸承診斷的最佳頻帶。雖然上述方法取得了較好的效果，但是仍舊存在一些問(wèn)題：SVD分解振動(dòng)信號(hào)的性能取決于用于構(gòu)建Hankel矩陣的行數(shù)。然而，目前，Hankel矩陣的行數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇的，從幾十行到幾百行不等。這就阻礙了奇異值分解在軸承診斷中的應(yīng)用。另外，子信號(hào)中故障信號(hào)的選取也是一個(gè)難點(diǎn)。

為了解決上述問(wèn)題，提出了一種基于奇異值分解和復(fù)合平方包絡(luò)譜的滾動(dòng)軸承診斷，討論了兩種子信號(hào)重建方法的區(qū)別，并且通過(guò)數(shù)值分析得到Hankel矩陣行列數(shù)的一般范圍。通過(guò)相關(guān)分析對(duì)子信號(hào)進(jìn)行分組，然后根據(jù)組合選擇子信號(hào)進(jìn)行故障識(shí)別。最后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了提出方法的有效性。

2 相關(guān)理論

2.1 重構(gòu)方法

通過(guò)奇異值分解處理，將時(shí)間序列x分解并存儲(chǔ)在多個(gè)子矩陣中。對(duì)子信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)有助于從子矩陣中恢復(fù)原始時(shí)間序列x的信息。子信號(hào)重構(gòu)有兩種方法：反對(duì)角平均法和直接重構(gòu)法。前者使用反對(duì)角線上元素的平均值重構(gòu)子信號(hào)。后者使用第一列和第一列的子矩陣重構(gòu)。實(shí)質(zhì)上用這兩種方法重構(gòu)得到的子信號(hào)是相同的。是基于這樣一個(gè)假設(shè)：每個(gè)子矩陣也是一個(gè)類(lèi)似于原始信號(hào)矩陣的Hankel矩陣，然而經(jīng)SVD分解之后，子矩陣不再是Hankel矩陣。

由于當(dāng)m>n和m

對(duì)于直接重構(gòu)法，可以從第i個(gè)子矩陣Ai獲得第i個(gè)子信號(hào)，如式（2）所示。

為了探討這兩種方法之間的差異，式（3）的分析中使用了由兩個(gè)正弦信號(hào)xɑ(t)和xb(t)組成的信號(hào)x(t)。

其中，A=2，B=0.9，fɑ=401Hz，fb=941Hz，信號(hào)包含512個(gè)采樣點(diǎn)，采樣頻率為20000Hz。

為了表示子信號(hào)的能量分布，引入能量比頻譜（ERS），即第i個(gè)子信號(hào)與第一個(gè)子信號(hào)的能量比通過(guò)式（4）獲得。

基于子信號(hào)的Pearson相關(guān)系數(shù)的相關(guān)圖，如圖1所示。從圖中可知，反對(duì)角平均法得到的連續(xù)的子信號(hào)對(duì)之間具有高相關(guān)性。相反，通過(guò)直接法得到的子信號(hào)的相關(guān)圖中沒(méi)有明顯的相關(guān)性。

圖1 Pearson相關(guān)系數(shù)圖Fig.1 Pearson Correlation Coefficient

前兩對(duì)相關(guān)子信號(hào)的總和，即等式x1(t)+x2(t)和x3(t)+x4(t)。這些信號(hào)與合成信號(hào)中的兩個(gè)分量xɑ(t)和xb(t)的比較，如圖2所示。其中每個(gè)子信號(hào)對(duì)和對(duì)應(yīng)的信號(hào)分量一致。這說(shuō)明如果SVD分解中設(shè)置的行數(shù)值m合適，則每個(gè)分量幾乎被分解成兩個(gè)幅度和相位相同的子信號(hào)。如果能夠找到并將相應(yīng)的子信號(hào)對(duì)正確歸為一組，則可以將分量從合成信號(hào)中輕易分離出來(lái)。然而，用直接法得到的子信號(hào)很難進(jìn)行分組。因此，這里只考慮反對(duì)角平均法。

圖2 反對(duì)角平均法重構(gòu)的子信號(hào)對(duì)之和Fig.2 Sum of Sub Signal Pairs Reconstructed by Anti Angle Average Method

2.2 脈沖序列SVD

與齒輪嚙合信號(hào)不同，軸承故障信號(hào)中的早期缺陷可以看作是一系列重復(fù)的脈沖信號(hào)。局部故障引起的振動(dòng)可以用一個(gè)具有偽循環(huán)平穩(wěn)性質(zhì)的隨機(jī)模型來(lái)處理，它可以很好地模擬由局部故障引起的實(shí)際振動(dòng)信號(hào)［10］。其解析表達(dá)式如下：

式中：Ti—脈沖到達(dá)時(shí)間；fn—載波頻率；α—衰減系數(shù)。

當(dāng)沖擊的重復(fù)頻率fip=200Hz時(shí)，在一個(gè)沖擊周期內(nèi)有l(wèi)p=100個(gè)樣本。當(dāng)載波頻率fn=1000Hz時(shí)，在載波的一個(gè)周期內(nèi)有l(wèi)r=20個(gè)樣本。描繪了若干行的解析信號(hào)的SV，如圖3所示。

圖3 解析信號(hào)的SV曲線Fig.3 SV Curve of Analytic Signal

當(dāng)行m=10時(shí)，開(kāi)始出現(xiàn)SV對(duì)。這與圖4所示m=10的前五個(gè)子信號(hào)的結(jié)果一致，其中脈沖序列主要被分解為兩個(gè)相似的子信號(hào)。當(dāng)m=20時(shí)，第一個(gè)SV對(duì)的兩個(gè)值更接近。如圖4中對(duì)應(yīng)的前五個(gè)子信號(hào)所示，脈沖序列主要分解為前兩個(gè)子信號(hào)x1(t)和x2(t)。當(dāng)行數(shù)m大于20時(shí)，SV對(duì)的數(shù)目增加，這意味著脈沖序列不再分解為排名前兩個(gè)的子信號(hào)，而是分解成多個(gè)子信號(hào)對(duì)。這也可以從圖4所示的m>20的前五個(gè)子信號(hào)中得出結(jié)論，其中前兩個(gè)子信號(hào)的振幅隨著m的增加而減小。當(dāng)m等于100時(shí)，脈沖序列被分解成幾個(gè)正弦信號(hào)對(duì)，這也與圖3（a）中幾個(gè)SV對(duì)的出現(xiàn)一致。另外，如果m非常大，如圖4所示。當(dāng)m>70時(shí)，前兩個(gè)子信號(hào)幾乎是頻率為fn的兩個(gè)正弦信號(hào)，并且每個(gè)子信號(hào)攜帶的關(guān)于脈沖序列周期的信息非常少。其他子信號(hào)對(duì)與第一對(duì)子信號(hào)非常相似。這個(gè)結(jié)果說(shuō)明脈沖序列被分解成許多子信號(hào)，而每個(gè)子信號(hào)攜帶的關(guān)于脈沖周期的信息很少。因此，可以得出這樣的結(jié)論：為了將脈沖序列平均分解為兩個(gè)主要的子信號(hào)，最佳行數(shù)主要由載頻fn決定，而不是由重復(fù)頻率fip決定。奇異值分解的最佳行數(shù)應(yīng)接近載波一個(gè)周期內(nèi)的樣本數(shù)，即lr。

圖4 采用不同行數(shù)的SVD分解后沖擊序列的前五個(gè)子信號(hào)Fig.4 The First Five Sub Signals of Shock Sequence After SVD Decomposition with Different Row Numbers

2.3 序列行數(shù)的最佳范圍

如上文所述，從軸承故障診斷的角度出發(fā)，當(dāng)前兩個(gè)子信號(hào)相似時(shí)，可以得到脈沖序列的理想分解。當(dāng)前兩個(gè)SV值非常接近，并且第二個(gè)SV和第三個(gè)SV之間的差值很大時(shí)，也可以得到脈沖序列的理想分解結(jié)果。即使對(duì)于不同的行數(shù)，第二個(gè)SV和第三個(gè)SV之間差值的絕對(duì)值也非常小，但是可以通過(guò)增加行數(shù)m來(lái)獲得更高的SV值。引入基于歸一化之后的SV差分比的DR指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)SVD分解脈沖序列的性能。該指標(biāo)定義為：

由于第一項(xiàng)決定了分解是否能成功，如果第二和第三個(gè)SV之間的差異較大，則原始分量與其他分量能分離的概率更高。第二項(xiàng)決定了分解的質(zhì)量，如果第一和第二個(gè)SV之間的差值較小，則原始分量幾乎可以均勻地被分解到前兩個(gè)子信號(hào)中。但原始分量與其他分量成功分離的條件比原始分量均勻分解到前兩個(gè)子信號(hào)更重要。因此，引入權(quán)重系數(shù)ρ來(lái)為這兩個(gè)項(xiàng)分配不同的權(quán)重。將權(quán)重系數(shù)ρ設(shè)為0.7，保證原始分量能夠分解成功。

在實(shí)際情況中，由軸承早期缺陷產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)具有很大的不確定因素，特別是共振頻率的變化范圍很大，從幾百赫茲到幾千赫茲不等。仿真中考慮了不同的脈沖頻率fip和不同的共振頻率fn。將最大行數(shù)設(shè)置為一個(gè)沖擊周期內(nèi)樣本數(shù)的0.8倍。實(shí)際上，如果m大于lp，則沖即序列會(huì)被分解成無(wú)用的正弦子信號(hào)對(duì)。將最小行數(shù)設(shè)為5行，因?yàn)樵趯?shí)際情況下，要分析的信號(hào)通常包括兩個(gè)或多個(gè)分量，每個(gè)分量被分解成兩個(gè)子信號(hào)。因此，當(dāng)行數(shù)小于5時(shí)，得到的結(jié)果是沒(méi)有意義的。需要考慮的行數(shù)值為：

其中［ɑ］表示不大于ɑ的最大整數(shù)。當(dāng)m取一固定值時(shí)，可以根據(jù)對(duì)應(yīng)的SV序列得到DR值。圖5描繪了m取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的DR。載波每個(gè)周期的樣本數(shù)lr=20；因此，理論上的最佳行數(shù)應(yīng)接近20。然而，當(dāng)行數(shù)m=12時(shí)，DR可以達(dá)到最大值，如圖5所示。然而，當(dāng)m=12和m=20時(shí)，獲得的前五個(gè)子信號(hào)非常相似，如圖6所示。因此，可以使用DR的最大值來(lái)決定m的最優(yōu)值。

圖5 DR指標(biāo)Fig.5 DR Index

圖6 不同諧振頻率的最佳列數(shù)Fig.6 Optimal Number of Columns for Different Resonant Frequencies

在本節(jié)中，研究載波頻率fn=600 ÷ 9400Hz范圍內(nèi)對(duì)Hankel矩陣的最佳行數(shù)的影響。圖6描繪了由DR的最大值獲得的最佳行數(shù)和由載波一個(gè)周期內(nèi)的樣本數(shù)lr得到的理論上的最佳行數(shù)，將其作為載波頻率的函數(shù)。在圖6中，由最大DR選擇的最佳行數(shù)與大多數(shù)載波頻率的理論數(shù)目一致或接近。雖然這兩個(gè)最優(yōu)值在低載頻和高載頻下存在一些差異，但可以接受以最大DR獲得的最佳行數(shù)，且此值是可靠的。

如上文所述，使用奇異值分解法分解脈沖序列的最佳行數(shù)與載波一個(gè)周期內(nèi)的樣本數(shù)lr相似，而在使用振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行軸承診斷的實(shí)際情況下，很難預(yù)先知道共振頻率。但是，可以估計(jì)行數(shù)的合適范圍。可用行數(shù)由DR高于閾值的m的最小值和最大值定義，其中閾值為范圍[5，6，…，80]中的DR的平均值，如圖5所示。

根據(jù)上述規(guī)則，圖5中的脈沖系列的有效行數(shù)值為[7，8，…，45]。行數(shù)m=7和m=45分解的脈沖序列的前五個(gè)子信號(hào)，并且由這兩個(gè)行數(shù)得到的前兩個(gè)子信號(hào)的強(qiáng)度非常強(qiáng)，仍然可以識(shí)別脈沖序列的周期，如圖7所示。因此，得到的可用行數(shù)是在接受范圍內(nèi)的。圖6中描述了可用行數(shù)范圍，用黑色曲線描繪了諧振頻率的函數(shù)，其中可用行數(shù)的平均上限約等于39。

圖7 可用行數(shù)前五個(gè)子信號(hào)Fig.7 Five Available Rows

通過(guò)改變脈沖的復(fù)現(xiàn)頻率，進(jìn)行了與上文相同的分析。fip=100，500，1000，2000Hz的不同值的可用行數(shù)，如圖8所示。其中載波頻率fn從(fip+100)Hz到9400Hz變化以確保fn高于fip。

圖8 不同重復(fù)頻率的ANRsFig.8 ANRS with Different Repetition Rates

可用行數(shù)隨著重復(fù)頻率fip的增加而減小，如圖8所示。這說(shuō)明可以為具有高重復(fù)頻率的脈沖系列選擇較小的行數(shù)值。圖6和圖8所示的fip=200Hz，500Hz，1000Hz，2000Hz的可用行數(shù)包括在fip=100Hz的可用行數(shù)范圍內(nèi)。因此，fip=100Hz的可用行數(shù)圖可以看作是不同重復(fù)頻率的復(fù)合可用行數(shù)圖。對(duì)于fip=100Hz，可用行數(shù)的平均下限值仍然等于5，但平均上限值大約等于57。

從上述分析可知，要將脈沖序列適當(dāng)?shù)胤纸鉃閮蓚€(gè)子信號(hào)，Hankel矩陣的行數(shù)不應(yīng)高于邊界閾值57。在實(shí)際情況下，用于軸承診斷的振動(dòng)信號(hào)通常與強(qiáng)齒輪嚙合信號(hào)、軸旋轉(zhuǎn)信號(hào)、隨機(jī)脈沖和強(qiáng)背景噪聲混合在一起。如果選取適當(dāng)?shù)腍anke矩陣行數(shù)，每個(gè)信號(hào)分量可以分解為兩個(gè)相似的子信號(hào)。因此，Hankel矩陣的行數(shù)不應(yīng)低于潛在分量總數(shù)的兩倍。

2.4 數(shù)值模擬

在上文中，分析了用于分解脈沖序列的行數(shù)的有效范圍。然而，所有的結(jié)論都是通過(guò)分析一個(gè)只包含單一信號(hào)的信號(hào)得出的。為了測(cè)試這里提出的規(guī)則的可靠性，本節(jié)討論一個(gè)更復(fù)雜的復(fù)合信號(hào)。此仿真信號(hào)由正弦信號(hào)、沖擊序列和高斯白噪聲三部分組成。仿真信號(hào)的表達(dá)式如下：

Ti是脈沖到達(dá)時(shí)間，時(shí)間間隔的偏差范圍為5%，平均值為ΔTi=Ti-Ti-1=0.01s。沖擊振幅Ci的平均值為1，隨機(jī)調(diào)制為10%。加上高斯白噪聲，信噪比為1dB。正弦分量和脈沖序列，如圖9（a）所示，而帶有噪聲的最終信號(hào)，如圖9（b）所示。

圖9 仿真信號(hào)Fig.9 Simulation Signal

兩個(gè)正弦信號(hào)的一個(gè)周期內(nèi)的樣本數(shù)分別大約為Fs∕fɑ≈42和Fs∕fb≈20，而分離脈沖序列的最佳行數(shù)約為Fs∕fn≈9。因此，對(duì)于正弦分量和脈沖序列，m值不能同時(shí)滿(mǎn)足最優(yōu)。考慮到上一節(jié)中的分析，其中脈沖序列的行數(shù)不應(yīng)超過(guò)57行，這里研究了當(dāng)行取值為m=10：55時(shí)的情況。

SV圖，如圖10所示。其中當(dāng)m>25時(shí)，在開(kāi)始有三對(duì)SV，這三個(gè)SV對(duì)非常清晰，尤其當(dāng)m>40后。對(duì)于m=40，前兩對(duì)SV屬于兩個(gè)正弦分量，相應(yīng)的子信號(hào)，如圖11 所示（x1～x4）。第三個(gè)SV對(duì)與前兩個(gè)SV對(duì)相比非常小，屬于脈沖序列。這說(shuō)明脈沖序列與兩個(gè)正弦分量相比信號(hào)強(qiáng)度非常微弱。脈沖序列的兩個(gè)子信號(hào)（x5、x6）不夠清晰，不足以在時(shí)域中顯示脈沖序列的周期，如圖11所示。由于行數(shù)m=40與最優(yōu)值lr=9相距甚遠(yuǎn)，因此不可避免地會(huì)因?yàn)樾袛?shù)太多而過(guò)度分解脈沖序列。另外，屬于脈沖序列的兩個(gè)子信號(hào)非常微弱，很容易收到剩余的正弦分量和噪聲干擾。當(dāng)m=25和m=40時(shí)，可以通過(guò)子信號(hào)x5和x6的總和的包絡(luò)頻譜來(lái)清楚地檢測(cè)沖擊周期，如圖12所示。由于沖擊序列的第三個(gè)SV對(duì)出現(xiàn)在所有m>25的情況下，因此可以用相應(yīng)的子信號(hào)對(duì)x5和x6識(shí)別脈沖序列的周期。

圖10 不同的m條件下SV圖Fig.10 SV Graph Under Different m Conditions

圖11 利用SVD分解后的前6個(gè)子信號(hào)（m=40）Fig.11 The First Six Sub Signals After SVD Decomposition（m=40）

圖12 不同行數(shù)的子信號(hào)之和包絡(luò)譜Fig.12 Envelope Spectrum of Sum of Sub Signals with Different Number of Rows

3 提出的方法

3.1 整體流程

提出了一種基于奇異值分解（SVD）和狀態(tài)空間分解（SES）的軸承故障診斷新方法。該方法的示意圖，如圖13所示。該方法主要包括六個(gè)步驟：

圖13 提出方法流程圖Fig.13 Flow Chart of the Proposed Method

（1）通過(guò)奇異值分解將原始信號(hào)分解成若干個(gè)子信號(hào)；

（2）基于互相關(guān)對(duì)一個(gè)分量的子信號(hào)進(jìn)行分組；

（3）根據(jù)損壞故障頻率對(duì)分組信號(hào)進(jìn)行SES 評(píng)估，并計(jì)算SES的峰度；

（4）為每個(gè)故障類(lèi)型選擇最佳子信號(hào)組，該選擇基于各組間SES峰度的最大值；

（5）對(duì)四種故障類(lèi)型的SES進(jìn)行歸一化并組合；

（6）顯示復(fù)合SES。

3.2 信號(hào)分組

如上文所述，如果能正確設(shè)置Hankel矩陣中的行數(shù)，則信號(hào)中的一個(gè)分量主要被分解成具有相似奇異值的一對(duì)子信號(hào)。如果可以對(duì)子信號(hào)對(duì)進(jìn)行分組，則分組后的信號(hào)更接近原始信號(hào)分量，并且更容易識(shí)別該分量的某些特性。一般來(lái)說(shuō)，通過(guò)組合兩個(gè)以上的子信號(hào)，會(huì)引入更多的噪聲。另外，SV分布與子信號(hào)之間的能量分布密切相關(guān)，最大的SV與最小的SV的差值可能高達(dá)幾個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，如果它們的數(shù)量級(jí)不同，將更多的子信號(hào)進(jìn)行分組是不合理的。引入奇異值差（NRRD）的歸一化相對(duì)比率來(lái)確定某個(gè)子信號(hào)的可能相關(guān)子信號(hào)的范圍，定義為

其中i=1，2，…，m，j=1，2，…，m，且j≠i。如果相應(yīng)的NRRD小于0.25，則需要評(píng)估兩個(gè)子信號(hào)的相關(guān)性。由于SVD分解后子信號(hào)的開(kāi)始和結(jié)束處都有輕微的失真，所以采用加權(quán)相關(guān)性來(lái)評(píng)估兩個(gè)子信號(hào)的相關(guān)性。如果信號(hào)長(zhǎng)度為N，則兩個(gè)信號(hào)之間的相關(guān)系數(shù)如下［11］：

長(zhǎng)度為N的兩個(gè)子信號(hào)的內(nèi)積定義如下：

其中權(quán)重的定義如下：

剔除小于0.5的w相關(guān)值，保證同一組的信號(hào)具有明顯的相關(guān)性，只對(duì)具有高相關(guān)度的子信號(hào)進(jìn)行分組。在第二節(jié)中介紹的模擬信號(hào)的所有子信號(hào)的相關(guān)圖和分組圖，如圖14所示。圖14（a）中的前四個(gè)子信號(hào)對(duì)在圖14（b）中分組并且被分到了不同的分量中。

圖14 模擬信號(hào)Fig.14 Analog Signal

3.3 平方包絡(luò)頻譜分析

SES作為一種簡(jiǎn)單實(shí)用的軸承故障診斷技術(shù)已得到廣泛認(rèn)可。信號(hào)的SES 可以通過(guò)信號(hào)的平方包絡(luò)的傅里葉變換得到。信號(hào)的平方包絡(luò)通常通過(guò)希爾伯特變換獲得：

其中j是虛單位。然后，信號(hào)的SES通過(guò)平方包絡(luò)的Fourier變換得到［12］：

利用SES 的峰值來(lái)選擇包含最大軸承故障信息的信號(hào)組。通常，選擇SES峰值對(duì)應(yīng)的信號(hào)組作為候選值。在許多文獻(xiàn)中，通常都考慮用整個(gè)SES來(lái)計(jì)算峰值，但其性能會(huì)受到單個(gè)或幾個(gè)干擾脈沖的干擾［13］。因此，在以故障頻率的前兩次諧波為中心，寬度為軸旋轉(zhuǎn)頻率fr的3倍頻率范圍內(nèi)評(píng)估SES的峰值。對(duì)于特定的信號(hào)組和特定的故障類(lèi)型，用于評(píng)估峰值的SES的選擇范圍如下：

式中：i=1，2，…，p—信號(hào)組—四種故障類(lèi)型（j=1，2，3，4）的故障頻率，即j=1外圈故障頻率（BPFO），j=2內(nèi)環(huán)故障頻率（BPFI），j=3滾動(dòng)體故障頻率（BSF），j=4保持架故障頻率（FTF）。

這里還通過(guò)估計(jì)SES的峰值來(lái)檢測(cè)它們的性能，用來(lái)選擇包含由軸承缺陷引起的重復(fù)瞬態(tài)的子信號(hào)。所選SES部分的峰度計(jì)算如下：

其中j=1，2，3，4代表故障類(lèi)型。

3.4 復(fù)合平方包絡(luò)頻譜

最后引入復(fù)合SES，因此只需考慮一個(gè)SES，這是MSK 為每種故障類(lèi)型選擇的最佳SES。假設(shè)軸承的四個(gè)部件都損壞了。然后利用MSK對(duì)每種故障類(lèi)型選擇一個(gè)信號(hào)組。然后，使用其最大值對(duì)每個(gè)故障類(lèi)型的信號(hào)組的SES進(jìn)行歸一化。例如，獲得外環(huán)缺陷的信號(hào)組的歸一化SES，如式（18）所示。

最后，將各故障類(lèi)型的歸一化SES進(jìn)行組合，得到復(fù)合SES，計(jì)算方法是通過(guò)在從0 到奈奎斯特頻率的每個(gè)頻率選擇四個(gè)NSESs中選擇最大頻率分量，計(jì)算公式為：

其中i=1，2，…，N。復(fù)合SES可以用來(lái)檢查軸承是否損壞。雖然對(duì)接近故障頻率前兩次諧波的SES峰度進(jìn)行評(píng)估可以提高故障診斷的準(zhǔn)確性，但一般情況下，不可能預(yù)先知道軸承上的缺陷位置。因此，對(duì)于帶有缺陷的任意軸承，需要采用PMFSgram對(duì)每種故障類(lèi)型的SES進(jìn)行檢查。換言之，如果缺陷位置未知，則最多需要檢查SES四次。但對(duì)于復(fù)合平方包絡(luò)譜，四種故障類(lèi)型的SES都被集成到一個(gè)譜中，因此，如果軸承損壞，只需對(duì)復(fù)合平方包絡(luò)譜進(jìn)行一次檢查，即可知道損傷位置。此外，當(dāng)軸承存在多種故障類(lèi)型時(shí)，復(fù)合平方包絡(luò)能在一個(gè)頻譜中清晰地顯示每種故障類(lèi)型。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

利用這里方法對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行測(cè)試驗(yàn)證，振動(dòng)信號(hào)取自高速列車(chē)牽引系統(tǒng)的大型試驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖［14］，如圖15所示。電機(jī)和變速箱是牽引系統(tǒng)試驗(yàn)臺(tái)的核心，如圖15（b）所示，兩者與實(shí)際高速列車(chē)上使用的相同。兩個(gè)測(cè)試軸承分別是位于變速箱高速軸的圓柱滾動(dòng)軸承BG2-GP2，其內(nèi)環(huán)有缺陷，以及電機(jī)動(dòng)端的圓柱滾動(dòng)軸承BM1-MP1，其滾軸上有缺陷。被測(cè)軸承上的所有缺陷都是人為造成的，如圖16所示。缺陷程度非常弱，用來(lái)模擬軸承缺陷的早期階段。當(dāng)采集到振動(dòng)信號(hào)時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速約為83Hz，電機(jī)轉(zhuǎn)矩約為405N·m。采樣頻率為20kHz，一次記錄采樣時(shí)間為2s。為了提高該方法的性能，在SVD前利用相應(yīng)的轉(zhuǎn)速信號(hào)對(duì)所有振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行有順序的跟蹤。兩個(gè)軸承的故障頻率，如表1所示。

表1 兩個(gè)軸承的故障頻率Tab.1 Failure Frequency of Two Bearings

圖15 大型試驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖Fig.15 Physical Drawing of Large Test Bed

圖16 軸承故障圖Fig.16 Bearing Fault Diagram

4.2 結(jié)果分析

第一種情況是軸承BG2-GP2，內(nèi)環(huán)有缺陷，故障頻率BPFI非常高（BPFI=2800Hz）。原始振動(dòng)信號(hào)由放置在靠近軸承的齒輪箱殼體上的加速計(jì)采集，如圖17所示。通過(guò)上文分析，選擇相對(duì)較小的m值。在下面的分析中，假設(shè)m=20，并且還研究了不同m對(duì)結(jié)果的影響。子信號(hào)的相關(guān)圖和分組圖，如圖18所示。在圖18（b）中，將所有20個(gè)子信號(hào)分為12個(gè)組。MSK指示器位保持架缺陷、滾子缺陷、外環(huán)缺陷和內(nèi)環(huán)缺陷選擇的組分別為第7組、第1組、第3組和第4組。針對(duì)內(nèi)環(huán)缺陷選擇的第4組包括第6和第8個(gè)子信號(hào)。采用MSK為四種故障類(lèi)型選擇的組的SES，如圖19所示。

圖17 從軸承BG2-GP2采集的振動(dòng)信號(hào)Fig.17 Vibration Signal Collected from Bearing BG2-GP2

圖19 BG2-GP2軸承的四種故障類(lèi)型SESS分析Fig.19 SESS Analysis of Four Fault Types of BG2-GP2 Bearing

在圖19（a）～圖19（c）的SES中，沒(méi)有檢測(cè)到與保持架、滾柱或外環(huán)的損壞頻率相對(duì)應(yīng)的明顯峰值。相反，為內(nèi)環(huán)缺陷選擇的組的SES在BPFI的一次諧波處具有明顯的峰值。四種故障類(lèi)型的復(fù)合SES，如圖20所示。在BPFI的一次諧波處也只有一個(gè)峰值，說(shuō)明軸承上存在實(shí)際的內(nèi)環(huán)缺陷。在實(shí)際情況下，不可能知道軸承上的哪個(gè)部件損壞。因此，提出的方法能夠在不清楚部件狀態(tài)條件下實(shí)現(xiàn)故障診斷。

圖20 四種故障類(lèi)型的復(fù)合SESFig.20 Composite SES of Four Fault Types

其他行數(shù)m=10，30，40，50的其他復(fù)合SES，如圖21所示。除了m=30 的復(fù)合SES 接近BPFI 一次諧波的峰值非常微弱，m去10、40、50 的其他復(fù)合SES 均具有接近BPFI 一次諧波的明顯峰值，表明軸承內(nèi)環(huán)存在缺陷。通過(guò)選擇小于57的任意m值，均可以在不知道缺陷類(lèi)型的情況下檢測(cè)缺陷的存在，如圖21所示。

圖21 BG1-GPL軸承不同列數(shù)振動(dòng)信號(hào)的合成譜Fig.21 Composite Spectrum of Vibration Signals of BG1-GPL Bearing with Different Number of Columns

將這里方法所得結(jié)果與文獻(xiàn)［15］中提出的PMFSgram 進(jìn)行了比較。在PMFSgram中，在評(píng)估頻帶內(nèi)的包絡(luò)譜（SES）之前，對(duì)信號(hào)進(jìn)行順序跟蹤以及濾波，該頻帶顯示與損傷頻率對(duì)應(yīng)的SES的最高峰度，如等式（12）。所選頻帶為［30.64～81.2］NX，如圖22（a）中矩形所示。濾波信號(hào)對(duì)應(yīng)的SES，如圖22（b）所示。其中在BPFI的第一次諧波處存在峰值，這表示內(nèi)環(huán)上存在缺陷。然而，BPFI的一次諧波處的峰值弱于圖20中的峰值。使用由前存儲(chǔ)器選擇的最佳頻帶（［43.80～77.49］NX）的濾波信號(hào)的SES，如圖23（b）所示。其中僅存在接近BPFI的非常弱的峰值。此外，由于帶寬是根據(jù)部件的故障頻率設(shè)置的，因此，想要有效地利用PMFSgram需要對(duì)受損部件的情況事先進(jìn)行了解。

圖22 BGL-GP1Fig.22 BGL-GP1

圖23 BG1-GP1Fig.23 BG1-GP1

5 結(jié)論

由于傳統(tǒng)奇異值分解故障診斷方法難以選擇子信號(hào)故障點(diǎn)以及Hankel矩陣行數(shù)，提出了一種基于奇異值分解和復(fù)合平方包絡(luò)譜的滾動(dòng)軸承診斷方法。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可以得出如下結(jié)論：

（1）提出的方法可以在不知道缺陷類(lèi)型的情況下檢測(cè)缺陷的存在，并且提在不清楚部件狀態(tài)條件下實(shí)現(xiàn)故障診斷。

（2）Hankel矩陣中的行數(shù)最優(yōu)值取決于載波頻率，即系統(tǒng)的固有頻率或諧振頻率.

（3）可用行數(shù)的限制范圍為57；可用行數(shù)隨著重復(fù)頻率的增加而減小；行數(shù)的最小值應(yīng)至少為信號(hào)中潛在分量總數(shù)的兩倍。