最優組合賦權在航空發動機性能評估中的應用

馮正興，張 青，盧堂寶

（1.中國民航大學航空工程學院，天津 300300；2.廣西北部灣航空有限責任公司維修工程部，廣西 南寧 530048）

1 引言

民用航空發動機健康管理的關鍵就是準確評估發動機的在翼性能。近年來，基于多參數的決策模型廣泛應用于民航發動機性能評估領域。針對此種多屬性決策問題，國內外常用的方法有：線性加權法、灰色關聯分析法、理想解法（TOPSIS）、主成分分析法和層次分析法等［1］。其中，文獻［2］采用網絡層次分析法計算參數權值并采用馬氏距離計算貼近度對發動機性能進行排序；文獻［3-4］利用熵值計算各評價指標的權重并結合改進的TOPSIS方法對發動機性能進行排序；文獻［5］基于最優傳遞矩陣改進層次分析法，利用灰色關聯系統改進TOPSIS對發動機的拆發次序進行排序；文獻［6］建立了基于SOM神經網絡及層次分析法的航空發動機健康評估模型。上述評價方法在考慮評價指標權重時往往只考慮了主觀和客觀賦權法中的一種，存在未能體現評價指標數據信息或者解釋性較差的缺點。為了克服主客觀賦權法各自的不足，學者們嘗試采用組合賦權法來確定評價指標的權重系數。文獻［7］采用層次分析法和熵權法的組合方法確定各指標的權重值，由于只考慮了兩種賦權方法，很難定量確定指標間的影響；文獻［8］提出了逼近理想點的組合賦權法，但是該方法需要首先分辨出樣本中的正常和異常評價對象。鑒于指標權重在多目標決策中的重要地位，針對現有賦權法的不足，提出了綜合考慮多種主客觀賦權的組合賦權方法。該方法既能反映各指標之間的重要程度，又結合了決策者的主觀意愿。在得到各項指標綜合權重值的基礎上，考慮到傳統TOPSIS方法的逆序以及中垂線問題，采用基于余弦相似理論與虛擬負理想解的改進TOPSIS方法對發動機機隊的綜合性能進行評估。最后通過實例驗證了該評估模型的有效性和合理性。

2 最優組合賦權和改進TOPSIS方法

目前大部分多指標決策綜合排序方法都涉及指標權重。計算權重的方法依據數據來源大致分為主觀賦權法和客觀賦權法。主觀賦權法可有效確定各指標權重按重要度排序，缺點是客觀性不足?？陀^賦權法的權重大小由指標值的差異程度來決定，可能會出現實際重要度和計算權值不一致的情況。采用組合賦權法將主客觀權重進行融合得到綜合權重，可使決策結果更加真實可靠。因此，擬采用最小平方法、層次分析法、主成分分析法和熵權法四種賦權方法融合的線性加權組合賦權法來確定各指標的綜合權重。

2.1 最小平方法

假設有n個評價對象，p個評價指標，則可得到原始數據矩陣X=(xij)n×p，其中xij為第i個評價對象的第j項指標值。采用最小平方法獲取權值的思想是根據相對權重矩陣，獲取其最大特征值對應的特征向量(w1，…，wp)T。將p個評價指標按其相對權重成對進行比較，得到判斷矩陣A=(ɑij)p×p，在約束條件下對判斷矩陣A用函數的極小化解Wθ=(w1，…，wp)T作為權向量。該方法不需要進行一致性檢驗。權向量的解析表達式為［9］：

式中：C—對稱正定陣；e—單位陣。其具體表達式參見文獻［9］。

2.2 層次分析法

2.2.1 構建判斷矩陣

根據各因素之間的隸屬關系構造遞階層次結構，確定準則層和評價指標集。采用自下而上逐層計算的方法，通過比較任意兩個指標之間的重要程度來構建判斷矩陣。邀請相關專家以1-5 標度法對性能參數的各項指標重要程度進行評估，打分值為ɑij。通過統計分析得到正互反矩陣A=(ɑij)n×n，滿足ɑij>0以及ɑij=1∕ɑji。

2.2.2 確定單層權重排序

根據判斷矩陣A，求得最大特征值λmax及其對應的特征向量W。通過歸一化處理得到A的排序權重，根據一致性指標CI=(λmax-n)∕(n-1)計算一致性比例CR=CI∕RI，其中RI為隨機一致性指標。采用隨機方法構造500個1-5標度的正互反矩陣，求得最大特征值的平均值，RI表示為。當CR<0.1時，可認為判斷矩陣A的一致性是可以接受的，否則需要對判斷矩陣進行調整直至滿足條件。所得特征向量W進行歸一化處理即為指標集對應的權重向量。

2.2.3 確定各層元素的組合權重

假設準則層的權重向量為B=(b1，…，bm)T，指標層中關于bk準則的權重向量為(ck1，…，ckj)，組合各準則層權重向量可得權重矩陣C=(cij)m×n，則各層具體指標的組合權重可表示為：

2.3 主成分分析法

2.3.1 原始數據的標準化

為消除不同參數之間量綱的影響，采用Z-score法對原始數據矩陣X=(xij)n×p進行標準化處理：

式中：μj—機隊第j項指標的平均值；σj—機隊第j項指標的標準差。

2.3.2 指標數據的相關系數矩陣

根據矩陣Z=(zij)n×p求相關系數矩陣R=(rjk)p×p。

式中：rjk—第j項指標和第k項指標的相關系數。

2.3.3 確定主成分

求相關系數矩陣R的特征值λm，(m=1，…，p)及其對應的特征向量Lm。假設λ1≥λ2≥… ≥λp，則：

式中：Fm—第m主成分；lmj—指標Xj在主成分Fm中的得分系數，其數值為特征向量Lm的第j個分量。

當評價指標較多時，取k個指標（k

2.3.4 確定各評價指標權重

采用式（5）計算各評價指標的權重值：

式中：em—方差貢獻率，滿足

2.4 熵權法

2.4.1 建立評價指標矩陣并標準化

對原始數據矩陣X=(xij)n×p進行標準化處理如主成分分析法2.3.1所述。

2.4.2 計算各評價指標的權重

在信息論中，通常采用信息熵表征系統無序的程度：

對于某個評價指標，當其信息熵越小時表明指標值的變異程度越大，信息越多，相應的權重值也越大。利用信息熵計算指標權值的具體步驟如下：（1）根據信息熵求評價指標的輸出熵SO(j)=S(j)∕lnn；（2）求解指標的差異度G(j)=1-SO(j)；（3）對差異度做歸一化處理求得評價指標的熵權即為權重值wj=

2.5 基于矩估計的最優組合賦權法

假設主觀賦權法得到的權值向量有l個，客觀賦權法得到的權值向量有（q-l）個。分別從主觀權重集合中抽取l個樣本，從客觀賦權法中抽取（q-l）個樣本，此時權重集合應該滿足q個權重樣本的離散性越小越好。

假設l種主觀賦權法和（q-l）種客觀賦權法確定的權重分別為：

式中：uoj—第o種賦權法中第j個指標的賦權值；usj—第s種賦權法中第j個指標的賦權值，j=1，…，p。

設集成后的指標權重可表示為：

如果用α和β分別表示主、客觀權重的重要系數，為了得到合理的權重，使總的離差和最小，則可以構造目標規劃模型，如式（10）所示。

式中：wj—第j個指標的權值，滿足wj∈[0，1]，j=1，…，p。

基于矩估計理論，計算主、客觀權重的重要系數α和β，并采用等權線性加權方法，將目標規劃模型轉換為單目標規劃模型可得［10］：

通過對式（11）求解即可得各評價指標的綜合權重值。

2.6 改進TOPSIS方法

當不同評價指標之間存在一定線性相關時，基于余弦相似性改進TOPSIS方法具有較傳統TOPSIS更好的性質，故在多指標評價系統中具有更廣泛的應用。因此擬將余弦相似性運用在TOPSIS中，用余弦夾角的大小衡量向量空間中兩個向量的相似程度，夾角越小即越相似，距離越遠。

2.6.1 構建加權標準化矩陣

（1）構建原始數據矩陣X=(xij)n×p并進行標準化處理如2.3.1所述。

（2）結合式（11）得到的各指標的綜合權重值，構造加權標準化矩陣V=(vij)n×p。

2.6.2 確定正、負理想解

式中：J+—效益型指標集合；J-—成本型指標集合。

使用余弦夾角表征的距離也存在類似于傳統TOPSIS方法的中垂線問題，因此用虛擬負理想解來代替負理想解。

2.6.3 計算待評價對象到正、負理想解的距離

為了達到距離越近越接近理想解的效果，距離算法采用式（16）和式（17）。

2.6.4 計算待評價對象與理想解的相對貼近度

根據fi的大小對評價對象進行排序，fi的值越大代表評價對象的性能越好。

3 發動機性能評估模型指標體系

結合制造商的維修計劃指南和維修單位的專家意見，搜集運營機隊的在翼性能參數、飛行記錄單、航線和基地維修報告、適航指令∕服務通告（AD∕SB）狀態執行清單、發動機車間維修報告等文件，構建發動機性能綜合評價指標體系，如圖1所示。

圖1 發動機性能綜合評價指標體系Fig.1 Comprehensive Evaluation Index System of Engine Performance

在評價指標體系中，壽命件C1=壽命件使用循環數∕壽命件限制循環數；目視孔探檢查C2根據航線維修過程中的目視和孔探檢查報告給出相應數值；AD∕SB狀態C3結合當前在翼狀態下AD∕SB執行狀態清單給出；發動機系數C4=發動機使用循環數∕發動機限制循環數；發動機各單元體系數（C5、C6、C7和C8）=各單元體使用循環數∕各單元體軟時限；EGT衰退率C9=EGT變化量∕（使用循環數-裝機循環數）；EGT、FF、N1和N2的變化量（C10、C11、C12和C13）均為實際值減去基線值，在案例計算過程中為確保參數均為正值需進行平移處理；車間修理后的EGTM 值C14=EGT紅線值-試車EGT值；工作范圍系數C15根據返廠維修的工作范圍級別及內容給定。

AD∕SB：適航指令∕服務通告；HPC∕LPC：高壓∕低壓壓氣機；HPT∕LPT：高壓∕低壓渦輪；EGT（M）：發動機排氣溫度（裕度）；FF：燃油流量；N2∕N1：高壓∕低壓轉子轉速。

4 實際案例分析

4.1 原始數據的預處理

以某航空公司PW4056系列機隊中的8臺相同型號的發動機作為評估對象，結合發動機綜合性能評估指標體系采集相關數據［5］，如表1所示。

表1 PW4056發動機機隊性能數據Tab.1 Performance Data of PW4056 Engine Fleet

根據評價指標的類型不同（C1至C13為成本型指標，C14和C15為效益型指標）采用極差變換法對原始數據進行預處理得到規范化數據，然后采用Z-score方法對規范化數據進行處理，得到標準規范化數據。

4.2 權重的確定

4.2.1 最小平方法確定權重

根據評價指標的重要性（邀請專家對案例中各評價指標打分，得到的相對權重分別為9、8、7、6、4、5、7、6、8、6、6、5、5、7和4），根據式（1）將其進行兩兩比較，得到判斷矩陣A。根據式（1）解得權重W1，如表2所示。

表2 各種賦權方法的指標權重值Tab.2 Index Weights of Various Weighting Methods

4.2.2 層次分析法確定權重

通過咨詢機務維修部工程師，運用兩兩比較和1-5標度法定量地獲得圖1中各參數重要性標度，構造判斷矩陣。目標層-準則層比較矩陣如R0所示：

式中：1—兩個評估指標的重要度相同；3—前者與后者相比稍微重要；5—明顯重要；2、4—重要性介于1、3、5之間。

主要下發參數、發動機循環參數、性能參數及車間修理參數中各評價指標的比較矩陣如R1、R2、R3和R4所示：

按2.2層次分析法流程得到評價指標的綜合權重向量為W2，如表2所示。

4.2.3 主成分分析法確定權重

根據式（3）計算相關系數矩陣進而可得各特征值及其貢獻率，如表3所示。提取前三個特征值（累積貢獻率大于85%）及特征向量組成新矩陣，求得各主成分系數，最后得到各評價指標的權重W3，如表2所示。

表3 各特征值及其貢獻率Tab.3 Eigenvalues and Contribution Rates

4.2.4 熵權法確定權重

基于標準化處理的數據計算輸出熵SO求得權重W4，如表2所示。

4.2.5 組合賦權法確定綜合權重

利用式（11）將上述4種權重進行組合，使用矩估計理論對目標進行優化得到最優權重W，如表2所示。

4.3 發動機綜合性能評估

將原始數據矩陣進行規范標準化處理，利用式（12）結合最優權重W得到加權規范標準化矩陣V。利用式（13）～式（14）確定正、負理想解

表4 正負理想解距離及相對貼近度Tab.4 Distance Between Positive and Negative Ideal Solutions and Relative Closeness

式中：EGTindex—EGT 指數；ΔEGT—EGT 變化量；ΔFF—燃油流量變化量。

通過表4性能排隊的結果對比可知，新的綜合性能排序方法能夠較準確地判斷出機隊中性能較差的發動機（C、D發動機）以及性能較好的發動機（B、E發動機）。綜合各評價指標，排出性能最差的是C發動機，剩余循環數較少，孔探及目視檢查發現的問題最嚴重，各單元體累積在翼時間最長，EGT衰退率、ΔEGT、ΔFF以及低壓轉子轉速偏高，修理后的EGTM為20°最低，維修工作范圍的級別最低。E發動機性能最好，原因是孔探檢查發現的問題最少，修理后EGTM的恢復水平最高為61.2°，返廠維修的工作級別最高。在本案例中F發動機的性能較差，排在第6位。如果按照PW 的排序方法，此發動機排在第3位。這主要是因為PW 的排序方法只考慮了巡航狀態下EGT以及FF的影響，由于此發動機在上次返廠翻修時對熱端部件進行了翻修處理，維修級別較高，EGTM 的恢復也挺好，因此在巡航過程中EGT和FF都較低。但是考慮到壽命件的影響時發現此臺發動機壽命件參數為最高0.897，即剩余壽命最少。在發動機機隊管理中，壽命件到壽發動機就必須要安排下發以滿足適航要求，因此在對發動機進行性能評估時把壽命件剩余循環數較少的發動機F排在第6位是合理的。其他位次的排序與PW給出的排序基本吻合，表明新方法的排序結果合理、正確。

5 結論

結合發動機機隊的維修歷史參數和巡航運行數據，建立了基于最優組合賦權和改進TOPSIS方法的航空發動機綜合性能評估模型。采用最優組合賦權法既避免了主觀賦權的隨意性，又克服了客觀賦權的片面性，通過改進的TOPSIS方法有效克服了傳統TOPSIS方法的不足。實際工程案例的分析與PW公司給出的排隊方法進行對比，驗證了新方法的合理性，具有一定的工程意義和實際參考價值。