數控磨床電控系統可靠性建模與評估研究

范晉偉，劉會普，張理想，李偉華

（1.北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124；2.北京第二機床廠有限公司，北京 102444）

1 引言

數控磨床廣泛應用在航空、航天、汽車等高精密零件的加工上，數控磨床本身的可靠性直接影響加工質量和生產效率，根據功能不同，可以將數控磨床劃分為若干個子系統，數控磨床整機的可靠性決定于各子系統可靠性的高低［1］。因此開展數控磨床關鍵子系統可靠性評估工作具有重要意義。

國內外學者對數控機床及其子系統的可靠性評估進行了大量的研究工作。文獻［2］利用Weihull函數對液壓系統進行了可靠性建模。文獻［3］利用模糊方法建立了復雜系統的可靠性模型。文獻［4］用Johnson法對數控機床進行可靠性模型參數估計和擬合性檢驗，提出了一種基于競爭失效模式分析的可靠性評估模型。文獻［5］使用四分位距法和MINITAB軟件實現數控磨床主軸系統的可靠性建模。文獻［6］使用最小二乘法建立起數控磨床冷卻系統的可靠性模型。文獻［7］結合故障樹分析（FTA）和層次分析法（AHP）建立了數控磨床電主軸系統的可靠性模型，針對關鍵故障因素及關鍵功能部件（主軸）提出可靠性改善措施。

通過以上文獻可以發現：當前數控磨床關鍵子系統的可靠性研究主要涉及液壓系統、主軸系統和冷卻系統，電控系統作為數控磨床關鍵子系統之一，尚未有學者對其展開可靠性評估研究。因此，文章將對數控磨床電控系統故障數據進行可靠性建模，并利用灰色關聯度理論進行模型優選，最終確定電控系統故障數據的分布模型，并計算出可靠性指標數據反饋給廠家。

2 可靠性建模

為了對故障數據統計進行建模，必須采集到足夠多的故障數據，通常進行定時結尾可靠性試驗，在進行可靠性數據收集時，需遵循以下原則［8］：（1）由于數控磨床質量缺陷，在規定條件和時間內不能完成規定指令的事件定義為故障。（2）與整機功能暫時無關或影響較小的局部微小故障不計為故障，如機床照明燈的更換，沒有造成停機，故不計為故障。（3）由一個關聯故障導致的其他故障只計為一個故障。如電控系統失靈導致靜壓主軸損傷只記為“電控系統失靈”一個故障。

文章的可靠性數據來源于北京第二機床廠同一型號數控磨床現場實驗數據以及廠家實際生產過程中記錄的數據，在遵循以上原則且剔除人為影響因素后，共獲得364條真實可靠的故障數據，其中電控系統故障數據69條。

2.1 故障數據預處理

故障數據的預處理可以清晰直觀地表現出概率密度函數的大致趨勢，方便對擬合函數進行選擇。常見的預處理方法有兩種：經驗分析法和數據直方圖法。

（1）經驗分析法

對于含有n個增序排列的故障數據，可靠性的估計值可用中位秩計算?？煽慷群瘮礡（ti）計算公式如下：

式中：n—故障數據總數；i—故障序號。

（2）數據直方圖法

數控直方圖法是在保證數據準確前提下，對數據進行分組簡化的過程。采用數據直方法對故障數據預處理，相關公式如下：

式中：k—組數；Δt—組距；f(ti)—第i組的概率密度；ωi—第i組的頻率。

2.2 散點圖繪制

將間隔故障時間觀測值ti從小到大排列，并利用式（1）計算對應的可靠度函數值。因篇幅有限，部分數值，如表1所示。

表1 經驗分析法數據計算表Tab.1 Data Calculation Table of Empirical Analysis Method

以ti為橫坐標，對應可靠度函數值R（ti）為縱坐標，繪制經驗分析法下故障數據的散點圖，如圖1所示。

圖1 可靠度函數散點圖Fig.1 Scatter Diagram of Reliability Function

將n=69代入式（2），計算得到組數k=7.10，取整數8；將Tmax=3974，Tmin=6，代入式（3），計算得到組距Δt=496；將各組頻率ωi代入式（4），計算得到對應概率密度值，如表2所示。

表2 數據直方法數據計算表Tab.2 Data Calculation Table of Data Direct Method

以區間中值為橫坐標，對應概率密度值為縱坐標，繪制數據直方法下故障數據的散點圖，如圖2所示。

圖2 概率密度函數散點圖Fig.2 Scatter Plot of Probability Density Function

從圖1、圖2都可以看出，圖像的趨勢是單調遞減的，不會符合正態分布或對數正態分布模型，而可能符合指數分布或威布爾分布模型。

2.3 參數估計

在初步確定可靠性模型后，需要對模型進行參數估計，常見的參數估計方法有最小二乘法［9］、矩估計法和極大似然估計法等。因指數分布和威布爾分布都可以轉化為線性函數，故選擇最小二乘法對其進行參數估計。

2.3.1 指數分布

指數分布的概率密度函數為：

指數分布累積分布函數為：

將上式移項得：

將上式變換得：

從上式可以看出ln[1-F(t)]與t有線性關系。令y=ln[1-F(t)]，λ=-k，x=t，將上式轉換為線性關系：

最小二乘法的估計量為：

因F（t）為累積概率，即第一組累積概率F（t1）=30∕69，第二組累積概率F（t2）=47∕69，則第八組累積概率F（t8）必然為1，將1代入式（8）是無意義的，故選取前7組進行參數估計，即n=7。

將n=7和表2數據代入式（10），計算得到：

因此，一元線性函數為：

分別以（x，y）和（x，f（x））為擬合點，一元線性函數和指數函數為擬合曲線，擬合效果，如圖3、圖4所示。

圖3 指數轉換一元線性函數擬合圖Fig.3 Fitting Diagram of Linear Function of One Variable

圖4 指數概率密度函數擬合圖Fig.4 Exponential Probability Density Function Fitting Diagram

從圖3、圖4中可以看出，電控系統故障間隔時間分布在參數λ=-k=1.2216×10-3時，擬合效果良好，符合指數分布模型。

2.3.2 威布爾分布

二參數威布爾分布的概率密度函數為：

二參數威布爾分布的累積分布函數為：

式中：α—尺度參數；β—形狀參數。

將上式移項和兩次對數處理得：

同理，將n=7和表2數據代入式（10）和式（11），計算得到：

分別以（x，y）和（x，f（x））為擬合點，一元線性函數和威布爾函數為擬合曲線，擬合效果，如圖5、圖6所示。

圖5 威布爾轉換一元線性函數擬合圖Fig.5 Fitting Diagram of Linear Function of One Variable

圖6 威布爾概率密度函數擬合圖Fig.6 Weibull Probability Density Function Fitting Diagram

從圖5、圖6中可以看出，電控系統故障間隔時間分布在參數α=577.6684，β=0.7855時，擬合效果良好，符合威布爾分布模型。

2.4 模型擬合檢驗

從圖4、圖6中很難確定電控系統故障間隔時間的分布是符合指數還是威布爾分布，因此需要檢驗概率密度觀測值與擬合曲線之間是否關聯，即模型擬合檢驗。

常見的模型擬合檢驗方法有χ2檢驗（皮爾遜法）和D檢驗（KS檢驗法）等，因數控磨床可靠性故障數據是分配到每一個子系統后再分組，不滿足χ2檢驗對各區間數據頻次的要求，故文章采用D檢驗對電控系統故障間隔時間的分布進行模型檢驗。

D檢驗法［10］計算公式如下：

式中：F(^ti)—累積分布函數觀測值；F(ti)—對應模型函數值；Dn，α—臨界值，可按表3經驗公式得到。

表3 Dn，α經驗公式表（n>50）Tab.3 Empirical Formula of Dn，α（n>50）

在顯著水平α=0.01 時，D7，0.01=0.1962，將表2 數據代入公式（17）和式（18），計算得到指數分布和威布爾分布D檢驗值如下：

則指數分布和威布爾分布均通過模型檢驗。

2.5 模型優度檢驗

經模型檢驗發現指數分布和威布爾分布均符合電控系統故障時間間隔分布模型，為進一步確認最優模型，需要對二者進行模型優度檢驗。

常見的模型優度檢驗方法有相關系數法和灰色關聯度法等，因相關系數法在模型優選中存在區分度小，優化結果不理想的問題，因此文章選擇灰色關聯度法進行模型優度檢驗。

灰色關聯度法［11］計算公式如下：

F(^ti)—觀測值；

F(ti)—對應函數值，ρ=0.5。

將相關數據代入式（20）、式（21），計算得到指數分布和威布爾分布與電控系統故障數據分布之間的關聯度r1和r2為：

指數分布和威布爾分布擬合效果，如圖7所示。且關聯度r1>r2說明電控系統故障間隔時間的分布更符合指數分布。

圖7 指數、威布爾分布擬合圖Fig.7 Fitting Diagram of Exponential and Weibull Distribution

為驗證以上結論的正確性，使用相關系數法［12］進行模型優度檢驗，計算結果如下：

線性相關系數R指數>R威布爾說明了電控系統故障間隔時間的分布更符合指數分布，與灰色關聯度法結論一致。

此外，定義區分度Q為：

計算得到灰色關聯度法和相關系數法的區分度分別為30.42%和0.35%。該結果說明了灰色關聯度法在模型選優檢驗中具有更好的選優效果。

3 可靠性指標

通過以上分析可知，電控系統故障間隔時間的分布符合指數分布模型。為了定量描述電控系統的可靠性，可以用時間域相關概念來表達，如平均故障間隔時間（MTBF），平均修復時間（MTTR）和固有可用度Ainh來評估電控系統的可靠性。

3.1 MTBF的計算

平均故障間隔時間是指產品或系統在相鄰兩個故障間隔期內正常工作的平均時間，是衡量產品或系統能平均正常工作多長時間的量。平均故障間隔時間的觀測值與點估計計算公式［13］如下：

將表1間隔時間ti值代入式（25），λ=1.2216×10-3代入式（26），計算得到電控系統平均故障間隔時間觀測值為835.4h，點估計為818.6h，誤差為2.01%，證明指數分布模型能較好擬合電控系統平均故障間隔時間的分布。

3.2 MTTR的計算

平均修復時間是描述產品由故障狀態轉為工作狀態時所需要的修理時間的平均值。平均修復時間計算公式如下：

式中：tmi—第i個故障需要維修的時間。

將記錄數據代入式（26），計算得到電控系統平均修復時間MTTR=1.8624h。

3.3 固有可用度的計算

固有可用度是系統或產品能工作的時間與產品服務時間的比值。固有可用度計算公式如下：

將數據代入式（28），計算得到電控系統固有可靠度Ainh=0.9978。

4 結論

文章對數控磨床電控系統故障數據進行了研究，通過繪制散點圖發現故障間隔時間分布符合指數分布或威布爾分布，引入最小二乘法進行參數估計，使用D檢驗法檢驗模型，利用灰色關聯度法進行模型優度檢驗。結果顯示電控系統故障間隔時間分布符合指數分布模型，在此基礎上計算得到電控系統的平均故障間隔時間（MTBF=818.6h），平均修復時間（MTTR=1.8624h）和固有可用度Ainh=0.9978。以上擬合過程和計算結果已及時反饋給廠家，對今后該型號數控磨床電控系統的可靠性改良工作提供了參考和理論依據。