初中數學教學中學生逆向思維能力的培養

摘? 要：在初中數學教學中，加強對學生逆向思維能力的培養，對于培養學生思維品質，推動課程改革有著重要意義.基于此，為促進學生學科核心素養發展，推動數學課程改革不斷深入，文章圍繞初中數學教學中學生逆向思維能力的培養進行研究，并采用案例分析等方法，從講解數學定義、推導數學公式、分析數學法則、證明數學命題、解答數學問題等角度給出建議.

關鍵詞：初中數學；逆向思維能力；教學實踐；培養策略

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）02-0041-03

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：王利（1981.2-），女，江蘇省沭陽人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

在數學學習中，逆向思維的運用十分常見.所謂逆向思維就是把問題倒過來，或從問題的反面思考，或逆用某些數學公式、法則解決問題.當前，根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求，發展學生的數學思維已成為課程教學的主要目標之一，而加強逆向思維的訓練，可以培養學生思維的靈活性和發散性，使學生掌握的數學知識得到有效的發揮，同時也是落實課程標準的重要體現.基于此，教育工作者應根據數學學科特點，啟發學生逆向思考，強化思維訓練，提升學生的思維品質.

1 通過講解數學定義，培養學生逆向思維能力

定義、概念等理論是數學學科的基礎，也是發展學生逆向思維的起點.在初中數學課程中，許多定義、概念本身就體現了“逆向”的特點，因此，教師在教學中應有意識地進行滲透，啟發學生逆向思考，讓學生理解抽象數學定義，并為后續學習奠定基礎.

例如，在學習相反數的定義時，教師基于定義中包含的逆向思維對學生進行如下引導：第一，回顧知識，思考問題.教師引導學生復習回顧“數軸”相關知識，并提出問題：在數軸上，A、B兩點分別在原點的左、右兩邊，請你觀察這兩點與原點的距離，你有什么發現？數軸上與原點的距離是2的點有幾個？這些點表示的數是多少？與原點的距離是5的點有幾個？這些點表示的數是多少？請你畫一條數軸，請將下列4個數在數軸上表示出來：-2，-4，+2，+4.在這一環節，教師引導學生依托數軸體驗對稱點的特點，為相反數在數軸上的分布特征做準備，同時以開放的問題情境，引發學生從數軸的一側對應觀察另一側，實現逆向思考.第二，引出定義，探索意義.教師在學生形成感性認識的基礎上呈現相反數的定義：如果兩個數只有符號不同，那么稱其中一個數為另一個數的相反數，零的相反數是零.接下來，引導學生結合定義，思考其中意義，挖掘其中蘊含的逆向思維.如相反數的幾何意義表示“在數軸上，兩個互為相反數的數表示的點分別在原點的兩旁，且到原點的距離相等”，其代數意義則是“在一個數的前面添上負號，就表示這個數的相反數，負數的相反數是正數，正數的相反數是負數”“相反數是指兩個數之間的一種特殊的關系”［1］.在學生理解了相反數的意義后，教師繼續提問：數軸上表示相反數的兩個點與原點有什么關系？學生通過對數軸的觀察，準確回答問題.通過這一環節的指導，學生能夠鞏固相反數的概念，強化互為相反數的兩個數在數軸上表示的點的幾何意義，同時也在數形結合的過程中啟發了逆向思維.第三，課堂練習，總結歸納.教師依據定義為學生設計練習，讓學生在解題過程中不斷深化相反數的概念，獲得逆向思維的訓練.在此基礎上，教師進行歸納總結，強化學生逆向思維.

2 通過推導數學公式，培養學生逆向思維能力

數學公式是學生日常解題的“抓手”，在數學學科中，包含逆向思維的公式有很多，如平方差、完全平方公式等.在教學指導中，有些教師習慣性引導學生從左至右來推導公式，這讓許多學生也習慣了從正向來運用公式，但是，在遇到需要反向思考的問題時就會陷入困境，無法實現公式的靈活運用.基于此，在講解數學公式的過程中，教師應引導學生從正反兩個方面進行探究，打通學生的思維通道，確保學生在逆用公式的過程中能夠得心應手.

例如，完全平方公式是對多項式乘法中出現的較為特殊一類算式的歸納、總結，是后繼學習必備的基礎，不僅對學生提高運算速度、準確率有較大作用，更是以后學習分解因式、分式運算的重要基礎，同時也對培養學生養成嚴密的邏輯推理能力具有重要作用.基于此，教師在引導學生推導完全平方公式的過程中，從正反兩個方向進行，讓學生真正把握公式的不同表現形式，為公式的靈活運用奠定基礎.在課堂上，教師主要通過如下環節對學生的逆向思維進行培養：一是創設情境，提出問題.教師利用圖形的面積問題構建情境，引起學生的認知沖突，使學生對舊知產生疑惑，從而激發學習興趣和求知欲望.二是發現問題，歸納結論.學生通過對圖形面積的計算，逐漸推導出（a±b）2=a2±2ab+b2.乘法公式的教學必須在學生自主探究、經驗歸納的基礎上獲得，教學中必須展示思維的過程，在這一環節，教師為學生提供了充分的觀察、分析、獨立思考、小組交流等機會，引導學生自主完成對公式的推導［2］.三是逆向思考，加深理解.教師總結歸納了完全平方的公式，并通過逆向設計引導學生從反向進行思考，這樣能夠使學生的認知結構得以優化，知識體系得以完善，使學生的數學理解能夠突破思維定式，形成逆向探索的能力.四是鞏固訓練，強化思維.如教師設計題目：①若（x-2y）2=（x+2y）2+M，求M的值.②若9x2-kxy+4y2是一個完全平方式，求k的值.教師從正反兩個方向設計習題，讓學生反饋教學、內化知識，并得到逆向思維的訓練.

3 通過分析數學法則，培養學生逆向思維能力

在初中數學的學習中有許多定理，如勾股定理、韋達定理等.在解題過程中對這些定理的逆向運用，有時會產生意想不到的結果.但是，在日常學習中，由于受思維定式的影響，部分學生難以靈活運用數學定理，針對此，教師則應該從逆向思維能力培養的角度加強訓練，讓學生能夠打破固有的定式思維，提高對數學定理的應用能力.

例如，在“勾股定理的逆定理”的教學設計中，教師立足教學內容對學生的逆向思維進行訓練.第一，復習舊知，導入新課.教師引導學生復習勾股定理，強調要分清其題設和結論.第二，講解新知，引發思考.教師引導學生思考3，4，5之間的關系，引導其結合勾股定理的學習經驗明確32+42=52；出示數據2.5 cm，6 cm，6.5 cm，請學生計算驗證數據是否滿足上述平方和關系，并畫出相應邊長的三角形檢驗是否為直角三角形；學生兩人一組進行驗證，在得到肯定結論后，引導學生基于以上例子大膽猜想得出新的定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.教師要強調定理的題設和結論，并引導學生發現新的定理與勾股定理的題設和結論恰好相反，從而引出“定理”和“逆定理”概念，強調二者的相互關系.第三，驗證逆定理，深入思考.教師提出證明任務后，學生發現直接證明的困難性，此時教師提示可以證明此三角形與一個直角三角形全等，并引導學生思考并寫出證明過程.最后明確“勾股定理的逆定理”，簡單解釋逆定理的概念，并提問：原命題正確，逆命題一定正確嗎？學生之間相互討論，有的學生舉出反例：對頂角相等，但相等的兩個角不一定是對頂角.由此得到否定結論：原命題成立時，逆命題不一定成立.第四，課堂練習，鞏固逆定理.教師結合勾股定理和逆定理的運用設計習題，強化學生的認識，鍛煉學生逆向思維.

在這一案例中，教師圍繞學生的逆向思考進行引導，通過符合學生心理認知規律的教學活動設計，循序漸進地讓學生在和諧、愉悅的氛圍中建構、驗證勾股定理逆定理，讓學生理解消化了知識，也提升了逆向思維能力.

4 通過證明數學命題，培養學生逆向思維能力

在初中學數學中，學生會接觸到命題、逆命題等概念，在各類考試中，對命題的真假性進行判斷也是十分常見的題型.基于此，教師應通過對各類命題的講解來培養學生的逆向思維能力，讓學生在判斷命題、逆命題的過程中實現創新思維及發散思維，進而提高思維品質.

例如，在講解“逆命題”相關知識的過程中，教師立足學生逆向思維能力培養進行如下指導：第一，回顧舊知，引入新課.教師給出命題的概念：對某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題.我們還知道，命題都有兩部分，即條件和結論，它的一般形式是“如果……，那么……”，并結合例題進行說明.在教師的引導下，學生發現：在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題.學生在認識了原命題和逆命題的概念后，教師結合常見的數學命題、法則促使學生作出判斷，并提問：每個命題都有它的逆命題，但每個真命題的逆命題是否一定為真命題？學生帶著問題進入下一環節.第二，深入思考，探究命題.教師給出系列原命題，并要求學生說出命題的逆命題，判定逆命題的真假：①既是中心對稱，又是軸對稱的圖形是圓［3］；②有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；③磁懸浮列車是一種高速行駛時不接觸地面的交通工具.通過總結分析學生認識到：原命題為真，逆命題不一定為真.第三，逆向訓練，鞏固新知.教師出示習題：請寫出“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆命題，并證明這個逆命題是真命題.教師結合習題引導學生回顧命題的條件和結論，促使學生在逆向思考中證明，以鞏固所學.

5 通過解答數學問題，培養學生逆向思維能力

在解答數學問題的過程中，逆向思維的運用十分常見.通常來講，如果從正向直接思考無法順利解決問題時，則可以從結論入手，進行反向思考，這樣則可以豁然開朗，甚至找到更加便捷的解題方法.基于此，在初中數學教學指導中，教師應在解題訓練中強調逆向思維，引導學生掌握常見的逆向思維方法，從而拓寬

解題思路，提高解題能力.

例如，某班共有30名學生，在一次滿分為100分的測試中，全班平均成績為90分，則成績低于60分的學生至多有多少人？

這一習題適合用逆向思維法，即由題意得到全班一共要失去300分，而低于60分的學生每人至少失掉40分，所以低于60分的至多有7人.

通過這樣的解題指導，教師可以有效提升學生的數學逆向思維能力.當然，在教學實踐中，教師還應結合例題講解更多逆向思考方法，并讓學生在訓練中融會貫通、熟能生巧.

6 結束語

數學思維的培養是數學教學永恒的主題.在數學教學過程中，教師要以知識為載體，培養學生的數學思維.基于此，教師應繼續深入思考，以培養學生的數學思維為研究目標，關注數學知識的特點及所講知識在整體教材中的地位和作用，關注學生思維發展過程，充分發揮學生的主體地位，促使其通過學習得到數學知識，實現思維品質的有效提升.

參考文獻：［1］ 喻勝柱.初中數學教學中培養學生的逆向思維探究［J］.讀寫算，2022（31）：81-83.

［2］ 陳學文.培養逆向思維，探尋解題新途徑：初中數學教學中逆向思維培養的思考［J］.當代家庭教育，2022（30）：133-136.

［3］ 張啟龍.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養策略［J］.試題與研究，2023（5）：73-75.

［責任編輯：李? 璟］