晰錯(cuò)因 明本質(zhì) 悟方法

陶來(lái)舟 吳躍

摘要：試卷講評(píng)是高三教學(xué)的主流形式，是發(fā)展素養(yǎng)的重要土壤.文章以一道高三模考題為例，從錯(cuò)誤原因、修正問(wèn)題、探究本質(zhì)三個(gè)方面進(jìn)行分析，最后給出優(yōu)化高三教學(xué)的點(diǎn)滴感悟.

關(guān)鍵詞：錯(cuò)題；核心素養(yǎng)；優(yōu)化教學(xué)

荊岫之玉必含纖瑕，驪龍之珠亦有微纇.一道正確（優(yōu)美）的題目可以讓人賞心悅目，一道錯(cuò)誤（瑕疵）的題目同樣可以令人遐想萬(wàn)千.本文中筆者以一道錯(cuò)題為例，晰錯(cuò)因、明本質(zhì)、悟方法.

1 原題呈現(xiàn)

例1? 若函數(shù)f（x）=ex2+e-x2+mcos x在區(qū)間［0，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（? ）.

A.（－∞，0］ ????B.－∞，e2

C.（－∞，1］

D.－∞，12

本題是華大新高考聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)（新教材卷）第8題.試題以指數(shù)復(fù)合函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

下面是命題組提供的參考答案：

令f′（x）=12（ex2－e-x2）－msin x=g（x），則g′（x）=14（ex2+e-x2）－mcos x≥12－mcos x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立.

當(dāng)m≤12時(shí)，g′（x）≥0，則g（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，可得g（x）≥g（0）=0，故f（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.

當(dāng)m>12時(shí)，g″（x）=18（ex2－e-x2）+msin x在0，

π2上單調(diào)遞增，又g″（0）=0，所以g′（x）在0，π2上單調(diào)遞增.因?yàn)間′（0）=12－m<0，所以x0∈（0，+∞），當(dāng)x∈［0，x0）時(shí)，g′（x）<0，則g（x）≤g（0）=0，此時(shí)f（x）在［0，x0）上單調(diào)遞減，不合題意，舍去.

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為－∞，12.故選：D.

2 晰錯(cuò)因，以往鑒來(lái)

2.1 錯(cuò)因分析

因?yàn)閙=－2時(shí)，g′（π）=14（eπ2+e－π2）－2<0，所以當(dāng)m≤12時(shí)，g′（x）≥0不成立.起始筆者不以為然，以為是命題組的小失誤，稍作調(diào)整即可完善解答過(guò)程.但經(jīng)過(guò)一番嘗試后，卻束手無(wú)策.此時(shí)回首題干，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m=－25時(shí)，f（π）=eπ2+e－π2+25>0，f（2π）=eπ+e－π－25<0，因此函數(shù)f（x）在［0，+∞）上不可能單調(diào)遞增.

2.2 答案探究

既然此種解題思路不能解決問(wèn)題，只能另辟蹊徑.因?yàn)楫?dāng)x=kπ，k∈N時(shí)，g（kπ）=12（ekπ2－e－kπ2）≥0;當(dāng)x∈（2kπ，2kπ+π），k∈N時(shí)，m≤ex2－e-x22sin x；當(dāng)x∈

（2kπ+π，2kπ+2π），k∈N時(shí)，m≥ex2－e-x22sin x.令函數(shù)h（x）=ex2－e-x22sin x，借助GeoGebra可得－4.61≤m≤12.

注意：－4.61為精確到0.01的近似值.顯然，上述結(jié)果-4.61≤m≤12已經(jīng)超出了常規(guī)解題的能力范疇.

2.3 題目修正

此題只需稍加修正，便可物盡其用，回歸命題初衷，起到單選題的把關(guān)作用，不失為一道難得的好題.

例2? 若函數(shù)f（x）=ex2+e-x2+mcos x在區(qū)間0，π2上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（? ）.

A.（－∞，0］

B.－∞，e2

C.（－∞，1］

D.

－∞，12

此題答案為選項(xiàng)D，解答過(guò)程參考例1，此處省略.

3 明本質(zhì)，追根溯源

題目修正為例2，看似完美解決了問(wèn)題，但事與愿違，新的思考卻剛剛開(kāi)始.通過(guò)參考答案，不難發(fā)現(xiàn)題干條件就是［0，+∞），而不是筆誤.這時(shí)不禁會(huì)想：“答案中的臨界值12是怎么來(lái)的，是什么支撐著命題組即使出現(xiàn)錯(cuò)誤也要討論下去？”分析后不難發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題就出現(xiàn)在“端點(diǎn)效應(yīng)”上.因?yàn)間（0）=0，且g′（0）=12－m，根據(jù)“端點(diǎn)效應(yīng)”，只需12－m≥0，即m≤12，此時(shí)g（x）≥g（0）=0，所以函數(shù)f（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.相信大多數(shù)教師（學(xué)生）都用過(guò)此方法解題，特別是客觀題，而且大多題目屢試不爽，但是為什么在此題就失效了呢？

定理? （連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)且f（x0）>0（或f（x0）<0），則存在x0的鄰域U，對(duì)于任意給定的x∈U，有f（x）>0（或f（x）<0）＼.

根據(jù)上述定理不難找到困惑所在，“端點(diǎn)效應(yīng)”只能在局部滿足，不能保證整體.如例1，函數(shù)f（x）在［0，+∞）上不單調(diào)，但是局部卻滿足，于是把范圍縮小到0，π2，“端點(diǎn)效應(yīng)”就又可以“使用了”.

例3? 〔2020年新課標(biāo)I卷（理科）節(jié)選〕已知函數(shù)f（x）=ex+ax2－x，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥12x3+1，求a的取值范圍.

例4? （2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=xeax－ex，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<－1，求a的取值范圍.

例3用“端點(diǎn)效應(yīng)”得到的范圍是必要不充分條件（解答略），例4用“端點(diǎn)效應(yīng)”得到的范圍是充要條件（解答略）.通過(guò)以上分析不難發(fā)現(xiàn)，“端點(diǎn)效應(yīng)”只能給解題提供一個(gè)大致的思考方向，得到一個(gè)必要條件，然后再結(jié)合證明判斷是否為充要條件.

4 悟方法，優(yōu)化教學(xué)

試卷講評(píng)是高三教學(xué)的主流形式，是發(fā)展素養(yǎng)的重要土壤.教學(xué)時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生思考并理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生真正喜歡數(shù)學(xué).

4.1 激發(fā)學(xué)生善于思考，做示范者

《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）》要求：“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，樹(shù)立學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.”2021年4月，習(xí)近平總書記在清華大學(xué)考察時(shí)強(qiáng)調(diào)：“教師要成為“大先生”，做學(xué)生為學(xué)、為事、為人的示范，促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng)為全面發(fā)展的人.”＼善于思考不能流于形式，不是教師在課堂上強(qiáng)調(diào)幾遍就敷衍了事；善于思考也不能放手交給學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)生缺少思考經(jīng)驗(yàn)只會(huì)走入另一誤區(qū).教師應(yīng)該以身作則做示范者，通過(guò)精選試題、練習(xí)和精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生去思考.

4.2 高屋建瓴指點(diǎn)迷津，做指導(dǎo)者

高中數(shù)學(xué)試題紛繁復(fù)雜，解法靈活多變，學(xué)生的思維更是光怪陸離（天馬行空）.要提高教學(xué)效率，就需要教師提高個(gè)人專業(yè)水平.《中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》要求數(shù)學(xué)教師要以素養(yǎng)為依托，通過(guò)實(shí)踐，掌握教學(xué)所需的基礎(chǔ)知識(shí)，提升教書育人的基本能力.以其昏昏，使人昭昭，只會(huì)讓學(xué)生越來(lái)越迷糊.以導(dǎo)數(shù)的教學(xué)為例，在這一模塊中，存在許多易造成解題思維障礙的問(wèn)題：①知識(shí)間的不等價(jià)轉(zhuǎn)化，如“單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)”“極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)”等；②方法間的不等價(jià)轉(zhuǎn)化，如“端點(diǎn)效應(yīng)”“拉格朗日中值定理”等；③存在很多高等數(shù)學(xué)知識(shí)，如“洛必達(dá)法則”“泰勒展開(kāi)式”等.這些問(wèn)題在學(xué)習(xí)和解題時(shí)都會(huì)給學(xué)生帶來(lái)不小的困惑，需要教師高屋建瓴指點(diǎn)迷津.打鐵還需自身硬，教師應(yīng)該自己先搞清楚，做個(gè)明白人，才能在教學(xué)中“不畏浮云遮望眼”.

4.3 引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，做引路者

高三教學(xué)因?yàn)榻虒W(xué)任務(wù)重、教學(xué)時(shí)間緊，很多都是“滿堂灌”，筆者有時(shí)也不得已而為之.“滿堂灌”的教學(xué)方式看似完成了教學(xué)任務(wù)，實(shí)際教學(xué)效果卻不佳，教師課后的心滿意足、“揚(yáng)揚(yáng)得意”也只是一種自我慰藉而已.講過(guò)的題目學(xué)生仍然不會(huì)，這種情況屢見(jiàn)不鮮，究其原因就是學(xué)生是被動(dòng)的“接受者”，課堂上看似學(xué)習(xí)了很多，但真正“動(dòng)手操作”的太少.因此，教師要做學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的引路者，引領(lǐng)學(xué)生變被動(dòng)為主動(dòng)，在教學(xué)中踐行“一題一課”“深度學(xué)習(xí)”等新的教學(xué)理念，讓課堂“慢下來(lái)”，讓效率“提上去”.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊松林.非連續(xù)導(dǎo)函數(shù)的局部保號(hào)性＼.大學(xué)數(shù)學(xué)，2019，35（6）：66-69.

[2]新華社.習(xí)近平在清華大學(xué)考察時(shí)強(qiáng)調(diào)：堅(jiān)持中國(guó)特色世界一流大學(xué)建設(shè)目標(biāo)方向 為服務(wù)國(guó)家富強(qiáng)民族復(fù)興人民幸福貢獻(xiàn)力量＼.人民日?qǐng)?bào)，2021-04-20（01）.