一道高考圓錐曲線題的解法探究與反思

高玉立

高考數(shù)學(xué)真題是眾多優(yōu)秀命題專家精心設(shè)計(jì)出來的.其中解析幾何壓軸題，緊扣教材，立足考查學(xué)生的能力.

1 試題呈現(xiàn)

試題? （2020全國I卷理科20題，文科21題）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG·GB=8，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

2 解法探究

第（1）問常規(guī)解法，過程略.答案為x29+y2=1.下面只對(duì)第（2）問的解法作多角度探索.

思路一：如圖1，注意到kPB=3kPA，以及A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，從而可以借助橢圓第三定義，利用kAC與kAD關(guān)系進(jìn)行求解.

解法1：利用橢圓的第三定義將非對(duì)稱式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式問題.

設(shè)P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2）.

（?。┤魌≠0，設(shè)直線CD：x=my+n（－3

kAC=kPA=t9，kBD=kPB=t3，可得kBD=3kAC.

又由橢圓的第三定義，知kAD·kBD=－19，所以kAC·kAD=－127，即

y1x1+3·y2x2+3=－127.①

將x=my+n代入x29+y2=1，得

（m2+9）y2+2mny+n2－9=0.

所以y1+y2=－2mnm2+9，y1y2=n2－9m2+9，可得

x1+x2=my1+n+my2+n=18nm2+9，

x1x2=（my1+n）（my2+n）=9n2－9m2m2+9，代入①，化簡可得2n2+3n－9=0.

解得n=32或n=－3（舍去）.

所以直線CD的方程為x=my+32，即直線CD過定點(diǎn)32，0.

（ⅱ）若t=0，則直線CD的方程為y=0，過點(diǎn)32，0.

綜上，直線CD過定點(diǎn)32，0.

評(píng)注：本解法通過橢圓的第三定義巧妙得到直線AC和AD的斜率之積為常數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的斜率之積問題.

思路二：如圖2，注意到kPB=3kPA，利用橢圓的方程實(shí)現(xiàn)斜率的轉(zhuǎn)換，建立kAC與kAD的關(guān)系進(jìn)行求解.

解法2：利用橢圓的方程將非對(duì)稱式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式問題.

設(shè)P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2）.

（?。┤魌≠0，設(shè)直線CD：x=my+n（－3

kAC=kPA=t9=y1x1+3，kBD=kPB=t3=y2x2－3.②

由點(diǎn)C在橢圓E上，得x219+y21=1，則有

y21=－（x21－9）9=－（x1+3）（x1－3）9，

即y1x1+3=－x1－39y1，代入②，得

3y1y2=－（x1－3）（x2－3）.③

將x=my+n代入x29+y2=1，得

（m2+9）y2+2mny+n2－9=0.

所以

y1+y2=－2mnm2+9，y1y2=n2－9m2+9，可得

x1+x2=my1+n+my2+n=18nm2+9，

x1x2=（my1+n）（my2+n）=9n2－9m2m2+9，

代入③，化簡可得2n2+3n－9=0.

解得n=32或n=－3（舍去）.

所以直線CD的方程為x=my+32，即直線CD過定點(diǎn)32，0.

（ⅱ）若t=0，則直線CD的方程為y=0，過點(diǎn)32，0.

綜上，直線CD過定點(diǎn)32，0.

評(píng)注：本解法通過橢圓的方程，將非對(duì)稱性韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化成傳統(tǒng)的對(duì)稱性韋達(dá)定理，從而通過基礎(chǔ)聯(lián)立使問題得到解決.

思路三：注意到kAC=13kBD，兩次利用斜率建立對(duì)偶式，從而實(shí)現(xiàn)不聯(lián)立方程使問題得到解決.

解法3：利用橢圓的方程構(gòu)造對(duì)偶式.

設(shè)P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2）.

（?。┤魌≠0，設(shè)直線CD：x=my+n（－3

kAC=kPA=t9=y1x1+3，kBD=kPB=t3=y2x2－3，④

從而有3·y1x1+3=y2x2－3，即

x1y2+3y2=3x2y1－9y1.⑤

由點(diǎn)C在橢圓E上，得x219+y21=1，從而有

y21=－（x21－9）9=－（x1+3）（x1－3）9，

即y1x1+3=－x1－39y1.

同理，有y2x2－3=－x2+39y2.

所以3·x1－39y1=x2+39y2，即

3x1y2－9y2=x2y1+3y1.⑥

由對(duì)偶式⑤⑥，解得n=x1y2－x2y1y2－y1=32，即直線CD過定點(diǎn)32，0.

（ⅱ）若t=0，則直線CD的方程為y=0，過點(diǎn)32，0.

綜上，直線CD過定點(diǎn)32，0.

評(píng)注：本解法通過兩次使用橢圓方程得到斜率的兩個(gè)對(duì)稱式，真正實(shí)現(xiàn)了設(shè)而不求，大大簡化了計(jì)算.

思路四：從題干中的構(gòu)圖順序，按圖索驥，逐個(gè)計(jì)算出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而使問題得到解決.

解法4：從構(gòu)圖順序逐點(diǎn)計(jì)算.

設(shè)P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2）.

（?。┤魌≠0，設(shè)直線CD：x=my+n（－3

易知直線PA的方程為y=t9x+t3.

聯(lián)立y=t9x+t3，x29+y2=1，消去y，得

（t2+9）x2+6t2x+9t2-81=0，

從而有－3+x1=-6t2t2+9，－3x1=9t2-81t2+9，解得x1=－3t2+27t2+9，y1=6tt2+9，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為－3t2+27t2+9，6tt2+9.

同理，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為3t2－3t2+1，－2tt2+1.

解得n=x1y2－x2y1y2－y1=32.

所以直線CD過定點(diǎn)32，0.

（ⅱ）若t=0，則直線CD的方程為y=0，過點(diǎn)32，0.

綜上，直線CD過定點(diǎn)32，0.

評(píng)注：本解法依據(jù)題干中圖形的形成順序，從直線PA與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再從直線PB與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線CD的方程，這種思路更加自然，不足之處是運(yùn)算量比較大，因此需要學(xué)生平常反復(fù)訓(xùn)練計(jì)算.

3 思路總結(jié)

對(duì)于上述四種思路，前三種思路都是直接從直線CD：x=my+n出發(fā).

思路一利用了橢圓的第三定義kDAkBD=e2－1將非對(duì)稱式x1y2+3y2=3x2y1－9y1轉(zhuǎn)化成了對(duì)稱式.

思路二利用了橢圓方程x219+y21=1的變形形式y(tǒng)1x1+3=－x1－39y1將非對(duì)稱式x1y2+3y2=3x2y1－9y1轉(zhuǎn)化成了對(duì)稱式.

思路三兩次利用了橢圓方程x219+y21=1，x229+y22=1的變形形式得到兩個(gè)非對(duì)稱式x1y2+3y2=3x2y1－9y1，3x1y2－9y2=x2y1+3y1構(gòu)成的對(duì)偶式，從而確定定點(diǎn).

思路四是基于圖形的形成順序，依次算出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出CD的方程，最后算出定點(diǎn)坐標(biāo).

四種思路的關(guān)聯(lián)如圖3所示：

直線CD過定點(diǎn)

設(shè)出CD：x=my+n

思路一：通過第三定義實(shí)現(xiàn)非對(duì)稱式化對(duì)稱式

思路二：通過橢圓方程將非對(duì)稱式化為對(duì)稱式

思路三：通過橢圓方程得到兩個(gè)非對(duì)稱式構(gòu)成的對(duì)偶式

思路四：分別通過直線PA，PB求出C，D的坐標(biāo)——寫出直線CD的方程得到定點(diǎn)

韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線相交問題的常見工具，可以有效解決x1+x2，x21+x22，1x1+1x2之類的式子，而像本題中出現(xiàn)的3·y1x1+3=y2x2－3，由于對(duì)應(yīng)的變量前的系數(shù)是不相等的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，就可以采用本文中的思路進(jìn)行非對(duì)稱轉(zhuǎn)化.下面提供的一道練習(xí)題，就可以采用本文中的思路去解決.

練習(xí)? 已知F為橢圓E：x24+y23=1的右焦點(diǎn)，A，B分別為其左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)（不與A，B重合），記直線AM與BN的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2為定值.

4 解后反思

4.1 注意條件的轉(zhuǎn)化

很多學(xué)生之所以認(rèn)為解析幾何問題較難，是因?yàn)椴粫?huì)使用題中的條件.因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)用代數(shù)運(yùn)算的方式解決幾何曲線問題這一思想的滲透，用合理的代數(shù)方式轉(zhuǎn)化條件中的幾何表述，在注重積累的基礎(chǔ)上提高條件轉(zhuǎn)化的合理性.比如，本題中通過橢圓定義的使用，將非對(duì)稱的韋達(dá)定理問題轉(zhuǎn)化成對(duì)稱性的韋達(dá)這理問題，從而簡化了計(jì)算.

4.2 注重計(jì)算能力的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)［1］.

高考試題是為了選拔適合高校并為將來社會(huì)服務(wù)的人才，因此對(duì)計(jì)算能力的要求很高.在平常的教學(xué)中，要加強(qiáng)學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在遇到復(fù)雜運(yùn)算時(shí)不畏懼并保持高度的細(xì)心，這也是今后從事科研工作所不可或缺的品質(zhì).

4.3 注重微專題的變式精講

這類非對(duì)稱的定點(diǎn)與定值問題，其實(shí)并不是全新的問題，這就要求我們在日常教學(xué)中對(duì)于一些典型性問題要精編精整理，以微專題的形式實(shí)現(xiàn)知識(shí)方法的串聯(lián)、整合，由易到難，層次分明，循序漸進(jìn)，力求貼近學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和能力基礎(chǔ)，貼近學(xué)生的情感態(tài)度與思維水平，使得學(xué)生的技能水平自然而然得到提高.

4.4 注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，適應(yīng)新高考要求

高考是選拔性考試，是為了給高等學(xué)校尤其是高水平大學(xué)挑選合適的人才.我們的數(shù)學(xué)教學(xué)也要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，能夠創(chuàng)新性地解決問題.通過對(duì)一道題的多角度、多方法的思考，不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，以適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的要求.

當(dāng)然，本題也涉及到極點(diǎn)、極線的背景，對(duì)于一些學(xué)有余力的學(xué)生，在日常教學(xué)中也不妨給他們適當(dāng)補(bǔ)充點(diǎn)課外知識(shí)，激發(fā)他們的興趣.教師要讓學(xué)生盡可能完成“跳一跳”可以完成的任務(wù)［2］.總之，這道高考題內(nèi)容豐富，解法多樣，立足基礎(chǔ)，又能充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新性，讓人回味無窮，實(shí)在是一道好題！

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）＼.北京：人民教育出版社，2018.

［2］波利亞.怎樣解題＼.北京：科學(xué)出版社，1982.