指數(shù)函數(shù)背景創(chuàng)設(shè)，復(fù)合函數(shù)情境應(yīng)用

顧艷

與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)是指結(jié)合指數(shù)函數(shù)的概念、基本知識(shí)與簡(jiǎn)單函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)等）復(fù)合而成的新函數(shù).

解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)情境應(yīng)用問(wèn)題，通常借助函數(shù)的解析式、相關(guān)概念、基本性質(zhì)、函數(shù)圖象等，結(jié)合相關(guān)的思維技巧，合理轉(zhuǎn)化，巧妙變換，將復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的分析與解決，提升學(xué)生的思維能力.

1 性質(zhì)問(wèn)題

1.1 函數(shù)的單調(diào)性

例1? 函數(shù)f（x）=12x2-2x-1的單調(diào)遞增區(qū)間為.

分析：根據(jù)題意，對(duì)指數(shù)進(jìn)行整體化處理，合理構(gòu)建函數(shù)，通過(guò)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的配方處理，先確定二次函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律解決問(wèn)題.

解析：令t=x2－2x－1，則函數(shù)t=（x－1）2－2在區(qū)間（－∞，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增.

又函數(shù)y=12t是R上的減函數(shù)，因此

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律，可知函數(shù)f（x）=12x2-2x-1在區(qū)間（－∞，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減.

故填答案：（－∞，1）.

點(diǎn)評(píng)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以利用復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外層函數(shù)的不同單調(diào)性情況，概括為“同增異減”這一基本規(guī)律.特別要注意的是，在解決復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一定要注意“定義域優(yōu)先”的基本原則，同時(shí)熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性，在相應(yīng)的定義域內(nèi)加以分析與討論.

1.2 函數(shù)的值域

例2? 函數(shù)f（x）=12x2-6x+5的值域?yàn)椋? ）.

A.（0，16＼〗

B.＼0，116

D.116，+∞

分析：根據(jù)題意，對(duì)指數(shù)進(jìn)行整體化處理，引入?yún)?shù)構(gòu)建二次函數(shù)，并通過(guò)配方處理確定二次函數(shù)的值域；結(jié)合指數(shù)函數(shù)的定義域、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)分析與處理.

解析：設(shè)u=x2－6x+5，且u=x2－6x+5=（x－3）2－4≥－4.

又指數(shù)函數(shù)y=12u是R上的減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)g（u）=12u，u≥－4，所以0＜g（u）≤g（－4）=16，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，16＼〗.

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)分解復(fù)合函數(shù)，利用內(nèi)、外層函數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合內(nèi)層函數(shù)的解析式確定其值域，再通過(guò)“由內(nèi)到外”來(lái)求解相應(yīng)的值域即可.在解決指數(shù)函數(shù)背景下的復(fù)合函數(shù)的值域或最值問(wèn)題時(shí)，可以按照“由內(nèi)到外”的順序研究復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)值域A與外函數(shù)定義域B之間的關(guān)系，保證內(nèi)函數(shù)值域A是外函數(shù)定義域B的子集，再結(jié)合條件中相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)加以分析與求解.

2 常數(shù)問(wèn)題

例3? 已知函數(shù)f（x）=aex2-1－1，a為常數(shù)，若函數(shù)y=f（x）的最小值為0，則實(shí)數(shù)a的值為.

分析：根據(jù)題意，對(duì)指數(shù)進(jìn)行整體化處理，引入?yún)?shù)構(gòu)建二次函數(shù)，進(jìn)而確定二次函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì)，分別討論a=0，a＜0和a＞0時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行分析，進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)最小值的關(guān)系式，得以確定對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)a的值.

解析：設(shè)u=x2－1，則函數(shù)u=x2－1在區(qū)間（－∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

又指數(shù)函數(shù)y=eu是R上的增函數(shù)，所以分類(lèi)討論如下.

當(dāng)a=0時(shí)，可得f（x）=－1恒成立，不符合題意，舍去.

當(dāng)a＜0時(shí)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)f（x）=aex2-1－1在區(qū)間（－∞，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)f（x）在x=0處有最大值，無(wú)最小值，不符合題意，舍去.

當(dāng)a＞0時(shí)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)f（x）=aex2-1－1在區(qū)間（－∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）在x=0處有最小值，無(wú)最大值，且f（0）=ae－1=0，解得a=e.

綜上所述，函數(shù)y=f（x）最小值為0時(shí)，a=e.

故填答案：e.

點(diǎn)評(píng)：抓住常數(shù)的不同取值情況以及常數(shù)與復(fù)合函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，利用常數(shù)的正負(fù)取值情況對(duì)復(fù)合函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性的影響，結(jié)合相關(guān)的概念與基本知識(shí)加以綜合與應(yīng)用.熟練掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)，是破解此類(lèi)綜合應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.

3 應(yīng)用性問(wèn)題

例4? 中國(guó)的鎢礦資源儲(chǔ)量豐富，在全球已經(jīng)探明的鎢礦產(chǎn)資源儲(chǔ)量中占比近70%，居全球首位.中國(guó)又屬贛州鎢礦資源最為豐富，其素有“世界鎢都”之稱.某科研單位在研發(fā)鎢合金產(chǎn)品的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一種新合金材料，由大數(shù)據(jù)測(cè)得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y與這種新合金材料的含量x（單位：g）的關(guān)系：當(dāng)0≤x＜6時(shí)，y是x的二次函數(shù)；當(dāng)x≥6時(shí)，y=13x－t.測(cè)得數(shù)據(jù)如表1（部分）.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；

（2）求函數(shù)f（x）的最大值.

分析：根據(jù)情境內(nèi)容，通過(guò)分類(lèi)討論，在自變量不同的取值情況下，結(jié)合對(duì)應(yīng)的函數(shù)類(lèi)型利用待定系數(shù)法求解，得以確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并利用不同變量取值情況下，二次函數(shù)的最值以及指數(shù)型函數(shù)背景下復(fù)合函數(shù)的最值情況，得以確定函數(shù)的最大值.

解析：（1）當(dāng)0≤x＜6時(shí)，由題意，設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由題中表格數(shù)據(jù)可得

f（0）=c=0，f（1）=a+b+c=74，f（2）=4a+2b+c=3，解得a=-14，b=2，c=0.

所以當(dāng)0≤x＜6時(shí)，f（x）=－14x2+2x.

當(dāng)x≥6時(shí)，f（x）=13x－t，由題中表格數(shù)據(jù)可得，f（9）=139－t=19，解得t=7.

所以當(dāng)x≥6時(shí)，f（x）=13x－7.

綜上，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為

f（x）=-14x2+2x，0≤x<6，13x-7，x≥6.

（2）當(dāng)0≤x＜6時(shí)，f（x）=－14x2+2x=－14（x－4）2+4，所以當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值4.

當(dāng)x≥6時(shí)，f（x）=（13）x－7單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值為f（6）=（13）6－7=3.

而4＞3，所以函數(shù)f（x）的最大值為4.

點(diǎn)評(píng)：在解決涉及復(fù)合函數(shù)中的應(yīng)用性問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是借助對(duì)相關(guān)文字內(nèi)容的理解，合理構(gòu)建數(shù)學(xué)中的相關(guān)模型，為問(wèn)題的進(jìn)一步綜合與應(yīng)用提供條件.研究分段函數(shù)背景下的最值問(wèn)題，要分別討論自變量在不同取值范圍下對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值或取值范圍情況，然后加以綜合.

復(fù)合函數(shù)情境應(yīng)用與創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)知識(shí)交匯點(diǎn)與融合點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，是每年新高考數(shù)學(xué)試卷中必考的重點(diǎn)基本內(nèi)容之一.借助指數(shù)函數(shù)背景來(lái)創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)情境，結(jié)合指數(shù)函數(shù)自身的特點(diǎn)與性質(zhì)，并綜合復(fù)合函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，優(yōu)化數(shù)學(xué)解題思維，提升數(shù)學(xué)解題能力，全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).