基本不等式中的變換技巧

李強

摘要：基本不等式及其應用，是高中數學中的一個重要知識點，也是一個基本解題工具.結合基本不等式的應用與關系式的變形與轉化，借助合理分拆、巧妙拼裝、正確配湊、準確合成等方式加以綜合與應用，剖析應用基本不等式的技巧與方式，開拓解題思路，提升數學品質.

關鍵詞：基本不等式；分拆；拼裝；配湊；合成

基本不等式作為高中數學“不等式”章節的一個重要知識點，一直是歷年高考數學試卷中考查的重點與熱點.在具體考查中，有時以簡單問題的形式單獨考查基本不等式，有時與其他相關知識加以交匯與融合來綜合考查與應用，是每年高考必考的一個基本知識點.其中涉及基本不等式的應用技巧與策略比較強，需要對條件進行適當的恒等變形，合理構建出適用基本不等式的條件——“一正、二定、三相等”，進而結合基本不等式及其變形公式等加以多視角、多層面的轉化與應用，實現最值的確定與不等式的確定等＼.

下面就基本不等式的應用過程中幾個基本的變換技巧與策略加以實例剖析，進行分拆處理、拼裝轉化、配湊構建、合成組合等，拋磚引玉，供參考與學習.

1 分拆

根據題設條件與目標代數式的結構特征，合理分拆相關的項，或平均分拆，或根據系數關系按比例分拆等，與其他相關的項重新合理組合，進而滿足應用基本不等式的條件，為進一步巧妙利用基本不等式來合理放縮處理提供條件并指明方向＼.

例1? （2021年高考數學天津卷第13題）已知a>0，b>0，則1a+ab2+b的最小值為.

分析：根據所求目標代數式的結構特征，結合基本不等式的應用條件，合理分拆處理，巧妙利用基本不等式加以放縮與變形，即可求解對應代數式的最值.解決問題時兩次利用基本不等式，要注意等號成立的條件.

解析：根據題設條件，由a>0，b>0，合理分拆相關的項，并利用基本不等式，可得1a+ab2+b=1a+b2+ab2+b2≥21a×b2+2ab2×b2=2b2a+2a2b=2ba+2ab≥22ba×2ab=22，當且僅當1a=b2且ab2=b2，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：合理分拆，構建能利用基本不等式的基本條件，為進一步利用基本不等式進行放縮提供場景.充分挖掘題目目標代數式的參數、系數等的數字特征，為構建“和定值”或“積定值”進行必要的分拆處理.特別地，兩次及以上利用基本不等式時，要注意確定滿足等號成立的條件之間的一致性.

2 拼裝

根據題設條件與目標代數式的結構特征，合理拼裝相關的項，或移項處理，或合理組合等，構建符合利用基本不等式的基本條件，借助基本不等式來合理轉化與變形，合理放縮應用，實現問題的求解.

例2? 〔2022屆浙江省寧波市高三第二學期高考模擬考試（寧波二模）數學試卷·8〕正實數a，b，c互不相等且滿足a2+b2+c2=2ab+bc，則下列結論成立的是（? ）.

A.2a>b>c

B.2a>c>b

C.2c>a>b

D.2c>b>a

分析：根據題設條件中的代數關系式，通過不同視角的拼裝，利用基本不等式來放縮，結合不等式的基本性質判斷相應兩變量所對應的關系式之間的大小，進而得以確定不等式結論成立的選項.

解析：由a2+b2+c2=2ab+bc，利用基本不等式，可得2ab+bc-c2=a2+b2≥2ab.

由于正實數a，b互不相等，因此2ab+bc-c2>2ab，即bc-c2>0，可得c（b-c）>0，則有b>c.

又由a2+b2+c2=2ab+bc，利用基本不等式，可得2ab+bc-b2=a2+c2≥2ac.

由于正實數a，c互不相等，因此2ab+bc-b2>2ac，即b（2a-b）+c（b-2a）>0，可得

（2a-b）（b-c）>0.

結合b>c，則有2a>b.

綜上分析，可得2a>b>c.

故選擇答案：A.

點評：充分挖掘題目條件，構建利用基本不等式的條件與結論，注意對條件中的代數關系式進行必要的恒等變形，正確地拼裝，為合理利用基本不等式進行放縮處理與恒等變形提供條件.在以上問題的解析中，要注意利用基本不等式時，由于參數之間互不相等，因此等號不成立.

3 配湊

根據題設條件與目標代數式的結構特征，合理配湊相關的項.配湊的技巧主要有常數代換、換元引參、配添分離、升次降冪等.合理的配湊主要是為了構建“和定值”或“積定值”，滿足利用基本不等式的條件，進而合理應用基本不等式來處理問題＼.

例3? 若正數a，b滿足a>1，b>1，且a+b=3，則1a-1+4b-1的最小值為（? ）.

A.4

B.6

C.9

D.16

分析：根據題設條件中的代數關系式與目標代數式的結構特征，合理配湊組合，利用乘“1”法進行常數代換，構建滿足基本不等式的條件，進而利用基本不等式的放縮處理來確定對應目標代數式的最值.

解析：根據題設條件，正數a，b滿足a>1，b>1，且a+b=3，進行合理配湊，可得a-1+b-1=1，a-1>0，b-1>0.

所以，由基本不等式，可得1a-1+4b-1=1a-1+4b-1［（a-1）+（b-1）］=5+b-1a-1+4（a-1）b-1≥5+2b-1a-1×4（a-1）b-1=5+4=9，當且僅當b-1a-1=4（a-1）b-1，即b-1=2（a-1），亦即b=53，a=43時，等號成立.

所以1a-1+4b-1的最小值為9.

故選擇答案：C.

點評：合理配湊，題目類型多樣，技巧方法眾多，關鍵是要抓住基本不等式的條件，借助相關的方法配湊對應參數之間滿足“和定值”或“積定值”，恒等變形來構建目標代數式，為進一步利用基本不等式來分析與處理奠定基礎.當然，該問題也可以直接利用常數代換，通過分式的合理配湊來轉化與應用，也可以達到求解的目的.

4 合成

根據題設條件與目標代數式的結構特征，合理合成相關的項，或平方處理，或構建對偶式，或取倒反推，合理創設條件來滿足利用基本不等式的場景，進一步借助合成過程的逆向處理來解決問題.

例4? 已知正實數a，b滿足a+b=2，則a+1+b+1的最大值為（? ）.

A.22

B.4

C.42

D.16

分析：根據所求目標代數式的結構特征，通過合成進行所求代數式的平方處理，利用代數式的恒等變形與基本不等式的應用加以轉化，結合條件確定對應的最值，再利用開方處理來確定所求代數式的最值.

解析：根據題設條件，因為正實數a，b滿足a+b=2，所以利用基本不等式，可得

（a+1+b+1）2=（a+1）+（b+1）+2a+1·b+1≤（a+1）+（b+1）+（a+1）+（b+1）=2（a+b+2）=8，

當且僅當a+1=b+1，即a=b=1時，等號成立.

于是a+1+b+1≤22，

所以a+1+b+1的最大值為22.

故選擇答案：A.

點評：合理合成處理，改變條件中代數關系式或目標代數式的結構特征，方便進一步利用基本不等式來合理變形與轉化.合成代數式的依據主要是結合題目條件與所求結論的代數式之間的聯系，巧妙構建二者之間的關聯，同時注意合成的逆向處理.

5 結束語

在利用基本不等式來分析與解決相應的數學問題時，首先要合理構建吻合基本不等式的適用條件（即等號成立的條件——“一正、二定、三相等”），進而結合題設中相關代數式結構特征的合理變化與轉化，從多個視角、多個層面加以恒等變換與巧妙處理，創新性地利用基本不等式進行放縮與變形，有效開拓解題思路，發散數學思維，提升數學品質，培養數學核心素養.

參考文獻：

[1]徐志蓮.掌握通性通法，以不變應萬變——基本不等式的應用技巧＼.高中數理化，2022（19）：51-52.

[2]田加貴.談談基本不等式應用中“項”的“拆分”＼.數理化解題研究，2022（25）：78-80.

[3]郭小松.巧用配湊法解決基本不等式相關問題＼.數理天地（高中版），2022（18）：6-7.