用一題多解激活學生的發散思維

李天竹 肖業亮 陳昊 嚴維軍

摘?要：發散思維是一種從不同層面分析問題、從多個維度尋求答案的一種開放性思維，是思維結構的核心，具有流暢性、變通性和獨特性三個主要特征.在數學教學中培養學生的發散思維，使學生具有較高的思維品質和思維能力是教學改革的一個重要課題.本文利用插項法、遞推法、定積分公式、Dirichlet核、歐拉公式和留數定理等知識給出定積分∫π0sinnxsinxdx（n=0，1，…）的多種解法.通過一題多解，提升學生思維的發散性與系統性，激發學生學習興趣，培養學生自主學習和創新能力.

關鍵詞：一題多解;發散思維；定積分

一、概述

數學教學的核心任務之一是提升學生的創新思維能力，而創新思維的一個重要組成部分即為發散思維.發散思維又稱為開放式思維，是指人們在進行科學研究、實驗設計、發明創造等活動時，針對要解決的問題，突破思維定勢的局限，對已有的知識重新組合，探索多種解決問題方案的思維形式［1］.在數學教學中，一題多解是培養學生發散思維能力的一種重要方法和手段［2］.所謂一題多解，指的是從不同角度、多渠道和大范圍去剖析同一問題中的各種關系，促使問題解決系統向目標狀態運轉，實現用不同解法求出相同的結果.一題多解可以加深學生對所學知識的理解，強化學生對數學理論和求解方法的嫻熟運用，幫助學生建立數學各知識塊間的整體聯系，鍛煉學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和批判性，激發學生去發明、發現和創造.本文對定積分In=∫π0sinnxsinxdx（n=0，1，…）的多種解法進行了探究，并對其予以拓展.

二、一題多解

（一）插項法

解法一：

sin（2n－1）x=∑n－1k=1sin（2k+1）x－sin（2k－1）x+sinx

=sinx（1+2∑n－1k=1cos2kx），n=2，3，….（1）

同理，

sin2nx=2sinx∑nk=1cos（2k－1）x，n=1，2，….（2）

于是，

I2n－1=∫π01+2∑n－1k=1cos2kxdx=π，n=2，3，….（3）

被積函數fn（x）=sinnxsinx（n=2，3，4，5）

在積分區間［0，π］上的圖像

I2n=2∫π0∑nk=1cos（2k－1）xdx=0，n=1，2，….（4）

又I0=0，I1=π，所以

In=0，當n取非負偶數時;π，當n取正的奇數時.（5）

（二）遞推公式

解法二：

In=∫π0sin（n－1）xcosx+cos（n－1）xsinxsinxdx

=12∫π0sinnx+sin（n－2）xsinxdx

=12（In+In－2），n=2，3，…，（6）

即

In=In－2，n=2，3，….（7）

又I0=0，I1=π，結合（7）式知，（5）式成立.

解法三：

In=∫π0sin（n－2）x+2cos（n－1）xsinxsinxdx

=∫π0sin（n－2）xsinxdx+2∫π0cos（n－1）xdx

=In－2，n=2，3，….（8）

由解法二知，（5）式成立.

解法四：

利用（1）式，當n=2，3，…時，

In+In－1=∫π0sinnx+sin（n－1）xsinxdx

=∫π02sin（n－12）xcosx22sinx2cosx2dx

====x=2t2∫π20sin（2n－1）tsintdt

=2∫π201+2∑n－1k=1cos2ktdt=π.（9）

于是，當n=3，4，…時，

In=－In－1+π=－（－In－2+π）+π=In－2.（10）

因I0=I2=0，I1=π，由解法二知，（5）式成立.

（三）定積分公式

解法五：

積分區間對稱原理［3］：設函數f（x）在a，b上連續，則

∫baf（x）dx=12∫baf（x）+f（a+b－x）dx.（11）

積分區間折半公式［4］：設函數g（x）在0，2a上連續，則

∫2a0gxdx=∫a0gx+g2a－xdx.（12）

當n=0，1，…時，根據（11）式，

I2n=12∫π0sin2nxsinx+sin2n（π－x）sin（π－x）dx=0.（13）

當n=1，2，…時，利用（12）式，

I2n－1=∫π20sin（2n－1）xsinx+sin（2n－1）（π－x）sin（π－x）dx

=2∫π20sin（2n－1）xsinxdx（14）

=2∫π20sin2nx+sin2（n－1）xsin2xdx

====x=t2∫π0sinnt+sin（n－1）tsintdt=In+In－1.（15）

因I1=π，I2=0，I3=I2+I1=π，利用（13）（15）式，并根據第二數學歸納法可證得

I2n－1=π（n=1，2，…）.（16）

結合（13）（16）式知，（5）式成立.

注：在推導積分結果（16）式時，我們借用了I2n（n=0，1，…）的計算公式（13）.若題目只是要求計算I2n－1（n=1，2，…），則上述解法顯然不夠直接.為此，可使用下面的方法求解I2n－1.

解法六：

令Jn=∫π20sinnxsinxdx（n=1，2，…），由（12）式，

J2n－1=∫π20sin（2n－1）xsinxdx

=∫π40sin（2n－1）xsinx+sin（2n－1）（π2－x）sin（π2－x）dx

=∫π40sin（2n－1）xsinx+－1n－1cos（2n－1）xcosxdx

=2∫π40sin2n－1+－1n－1xsin2xdx

====x=t2∫π20sinn－1+－1n2tsintdt

=Jn，當n為正的奇數時;Jn－1，當n為正的偶數時.（17）

因J1=π2，利用（17）式，并結合第二數學歸納法，得

J2n－1=π2（n=1，2，…）.（18）

根據（14）（18）式知，（16）式成立.

（四）Dirichlet核的性質

解法七：

設函數f（x）在a，b上連續，則［5］

∫baf（x）dx=====x=a+b2+t∫b－a2－b－a2fa+b2+tdt.（19）

于是，當n=0，1，…時，

I2n=∫π2－π2sin2n（π2+t）sin（π2+t）dt

=－1n∫π2－π2sin2ntcostdt

=0.（20）

我們知道，Dirichlet核

Dn（t）=sinn+12t2sint2（t≠2kπ，k∈Z，n∈N）（21）

具有下面的性質［6］：

∫x0Dn（t）dt=x2+∑nk=1sinkxk（x∈（0，2π））.（22）

于是，當n=1，2，…時，利用（22）式，

I2n+1====x=t2∫2π0sin（n+12）t2sint2dt

=x2+∑nk=1sinkxkx=2π

=π.（23）

又I1=π，綜上知，（5）式成立.

（五）歐拉公式

解法八：

由歐拉公式eix=cosx+isinx，當n=3，4，…時，

sinnxsinx=（eix）n－（e－ix）neix－e－ix=∑nk=1ei（n－2k+1）x

=1+2∑m－1j=1cos2jx，當n=2m－1時;2∑mj=1cos（2j－1）x，當n=2m時.（24）

因為∫π0coslxdx=0（l∈N），又I0=I2=0，I1=π，易知（5）式成立.

（六）留數定理

解法九：

設函數f（x）在－a，a上連續，則［4］

∫a－afxdx=∫a0fx+f－xdx.（25）

根據（25）式，當n=1，2，…時，

∫π-πsinnxsinxdx=∫π0sinnxsinx+sinn（－x）sin（－x）dx=2In.（26）

易知I0=0.令z=eix=cosx+isinx.

當n=1，2，…時，根據（26）式及留數定理［7］，

In=12∫π－πsinnxsinxdx

=12∫z=1zn－z－nz－z－1dziz

=12i∫z=1∑nk=1zn－2kdz

=0，當n為正的偶數時;π，當n為正的奇數時.

三、拓展

通過一題多解的訓練，學生在思維的廣度和靈活性方面會有較大的進步和提高.為了提升學生認知的高度和思維的深度，可通過一題多變對原題做如下拓展：

（1）計算∫kπ0sinnxsinxdx，其中n∈N，k=12或k∈Z.

（2）求極限limn→

四、反思

以上我們給出了定積分In（n=0，1，…）的九種計算方法.從中可以看出，使用一題多解的方法從多維度、多視角、多方位對典型的數學題進行剖析，不僅能使學生熟練掌握數學模式題的通用解法，還能實現同一學科各部分知識之間的串聯與并聯，以及不同學科之間的滲透與綜合，達到舉一反三、融會貫通的目的.一題多解方法的恰當使用不僅有助于提升學生思維的廣度、高度與深度，還能激發學生學習的興趣、培養學生科學探索能力.

參考文獻：

［1］J.P.吉爾福德.創造性才能——它們的性質、用途與培養［M］.施良方，沈劍平，唐曉杰，譯.北京：人民教育出版社，2006.

［2］胡新利，王凱明.一題多解對學生創造性思維的培養［J］.高等數學研究，2021（24）：4143.

［3］周本虎，任耀峰.大學生數學競賽輔導——高等數學題型、方法、技巧［M］.北京：科學出版社，2015.

［4］劉志高.二分法在非對稱區間積分中的應用［J］.菏澤學院學報，2022（44）：69.

［5］王建平，張香偉.RMI原理在非對稱區間積分中的應用［J］.菏澤學院學報，2019（41）：101104.

［6］孟凡友，金俊，王冰.在微積分中Dirichlet核的性質及應用［J］.數學的實踐與認識，2012（20）：260267.

［7］盧玉峰，劉西民，李崇君.復變函數：第3版［M］.北京：高等教育出版社，2020.

資金資助：遼寧省教育科學規劃“十四五”項目“高校創新型教學團隊建設研究與實踐”（編號：JG22DB047）;遼寧省教育科學規劃“十四五”項目“新時代應用型本科公共基礎課混合式教學研究”（編號：JG22DB055）

作者簡介：李天竹（1989—?），女，遼寧大連人，碩士，研究方向為人工神經網絡。