基于深度交流的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

［ 摘 要 ］課堂交流的方式并非只有語(yǔ)言交流一種，還有思維碰撞、眼神交流、實(shí)踐操作、信息技術(shù)等輔助交流.多元化的交流方式能給課堂帶來(lái)無(wú)限的生機(jī)與活力.文章以“直角三角形全等的判定條件”教學(xué)為例，以教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)與學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平為載體，從“課前準(zhǔn)備”“提出并驗(yàn)證猜想”“證明定理”“練習(xí)訓(xùn)練”“提煉總結(jié)”等環(huán)節(jié)展開(kāi)實(shí)踐分析，以凸顯深度交流對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)的有效性.

［ 關(guān)鍵詞 ］深度交流；深度學(xué)習(xí)；教學(xué)設(shè)計(jì)；直角三角形全等

課堂是師生、生生雙邊積極互動(dòng)的場(chǎng)所，良好的交流不僅能給課堂營(yíng)造民主、和諧的教學(xué)氛圍，還能有效激活學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，獲得教學(xué)相長(zhǎng).課堂交流的方式并非只有語(yǔ)言交流一種，還有思維碰撞、眼神交流、實(shí)踐操作、信息技術(shù)等輔助交流.多元化的交流方式能給課堂帶來(lái)無(wú)限的生機(jī)與活力.在教學(xué)時(shí)，該如何選擇交流方式呢？實(shí)踐表明，選擇交流方式時(shí)，應(yīng)綜合考慮教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求以及學(xué)生的認(rèn)知能力.筆者以“直角三角形全等的判定條件”教學(xué)為例，展開(kāi)分析與思考.教學(xué)分析

1.教學(xué)重點(diǎn)與知識(shí)特點(diǎn)的分析

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)在于：通過(guò)科學(xué)合理的交流，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“HL”定理的理解，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)手腦協(xié)作實(shí)現(xiàn)“做中學(xué)”，掌握常規(guī)的作圖方法，培養(yǎng)靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)工具的能力.若將“畫(huà)圖”視為一種感性經(jīng)驗(yàn)的獲取途徑，那么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明則無(wú)疑是數(shù)學(xué)理性精神的精彩演繹.這兩者具有互相補(bǔ)充的作用，其中“畫(huà)圖”更具體直觀，而“證明”則更嚴(yán)謹(jǐn)、周密.

兩者的有機(jī)結(jié)合，使得整個(gè)教學(xué)過(guò)程更加嚴(yán)謹(jǐn)與合理，這不僅是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的基石，更是促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的關(guān)鍵.蘊(yùn)含“過(guò)程價(jià)值”的教學(xué)模式，能促使學(xué)生深入領(lǐng)悟數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性，此乃提升學(xué)習(xí)能力的核心所在.

2.學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平的分析

三角形全等條件的判定對(duì)于初中生而言，確實(shí)有一定的難度，學(xué)生思維的障礙點(diǎn)主要聚焦于定理證明上 . 部分教師為了完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，嘗試在課堂中設(shè)計(jì)多個(gè)交流活動(dòng)，但很難完成預(yù)期目標(biāo) . 實(shí)際上，教師可依據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，引導(dǎo)學(xué)生利用作圖與證明兩種交流方式去突破教學(xué)難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí) . 為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，教師可在課前發(fā)放一些微視頻，供學(xué)生復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，以此激活他們腦海中與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的記憶，從而為課堂教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)交流活動(dòng)

根據(jù)對(duì)交流內(nèi)容的分析，本文精心規(guī)劃了多個(gè)教學(xué)模塊，旨在全面覆蓋并深入講解本節(jié)課的核心內(nèi)容 . 尤其重要的是，本文針對(duì)每個(gè)模塊設(shè)計(jì)了豐富的交流活動(dòng)，旨在為學(xué)生搭建一個(gè)實(shí)踐探索的平臺(tái)，

進(jìn)而為他們的學(xué)力發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1.課前準(zhǔn)備

本節(jié)課之前的一天，在學(xué)生的家庭作業(yè)中設(shè)置了這樣一個(gè)問(wèn)題：“與研究一般三角形的全等條件進(jìn)行類(lèi)比，分析該如何探索直角三角形的全等條件.”要求學(xué)生將自己的想法記錄在便利貼上，并貼在教室的“展示角”，供所有學(xué)生在課間閱讀與交流，為課堂教學(xué)奠定基礎(chǔ).

課堂伊始，教師為學(xué)生預(yù)留了五分鐘的時(shí)間，鼓勵(lì)他們進(jìn)行小組合作與交流.待各組交流完畢，學(xué)生按照如下格式在班級(jí)內(nèi)展示結(jié)論：

“我們組XX同學(xué)的結(jié)論最合理，內(nèi)容為……與其他同學(xué)的結(jié)論進(jìn)行類(lèi)比，組內(nèi)成員一致認(rèn)為需將……更改成……再補(bǔ)充……則更完整.”各組展示完畢后，其他組對(duì)結(jié)論進(jìn)行評(píng)判，并提出相應(yīng)意見(jiàn).

設(shè)計(jì)意圖 課前思考、課間展示和課上交流的教學(xué)模式，充分展現(xiàn)了多種交流方式在一堂課中的應(yīng)用與融合情況.學(xué)生在獨(dú)立思考、書(shū)面展示、閱讀分析、合作交流和完善認(rèn)知的基礎(chǔ)上，對(duì)問(wèn)題的理解逐步深刻.這種將個(gè)人觀點(diǎn)與他人見(jiàn)解融合到一起進(jìn)行分析的學(xué)習(xí)方式，能夠切實(shí)激發(fā)學(xué)生的思考能力，使學(xué)生通過(guò)相互借鑒、彌補(bǔ)不足，逐步優(yōu)化并完善自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2.提出并驗(yàn)證猜想

直角三角形是一種特殊的三角形，它具備所有常規(guī)三角形所具有的性質(zhì).在探索直角三角形全等的條件時(shí)，可參考一般三角形全等的條件與性質(zhì).值得注意的是，直角三角形天然存在一個(gè)90°的直角，這本身就構(gòu)成了一個(gè)角相等的條件.

問(wèn)題1 如圖1，已知 △ABC 與△DEF 中的∠B與∠E均為直角.若要確保 △ABC 與 △DEF 全等，需要添加哪些條件？請(qǐng)將你們的想法表示出來(lái)，并說(shuō)明理由.

在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，學(xué)生參與了班級(jí)合作學(xué)習(xí)，共同驗(yàn)證與探索自己及同伴提出來(lái)的想法.當(dāng)學(xué)生提出需要添加的條件為兩個(gè)時(shí)，教師要求學(xué)生闡明添加兩個(gè)條件的理由.在教師的引導(dǎo)下，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)“兩個(gè)直角相等”的認(rèn)識(shí)，即存在三個(gè)已知條件.

師：大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，之所以將直角三角形稱(chēng)為特殊三角形，是因?yàn)槠渚邆湟话闳切尾灰欢ㄓ械臈l件.那么，在面對(duì)一般三角形不一定成立的情況下，能否確切地判定直角三角形是否依然成立呢？

在這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)下，學(xué)生展開(kāi)了討論，分別猜想增加一個(gè)條件的情況，并基于“反例”展開(kāi)交流.應(yīng)用反例時(shí)，教師借助學(xué)生手中的小型三角板與教具中的大型三角板進(jìn)行對(duì)比分析，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀觀察理解：僅增加一個(gè)條件，不足以判定兩個(gè)直角三角形全等.隨后，分別就添加兩個(gè)條件和三個(gè)條件的情況進(jìn)行交流，旨在幫助學(xué)生感知：添加兩個(gè)條件足以滿(mǎn)足題設(shè)需求，而添加三個(gè)條件則顯得多余，因?yàn)閿?shù)學(xué)本身就是一門(mén)追求簡(jiǎn)潔美的學(xué)科.

在交流結(jié)束后，鼓勵(lì)學(xué)生以“探索兩個(gè)直角三角形全等條件時(shí)，如果一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，即當(dāng)……時(shí)……反例如……”的模式展開(kāi)描述，以逐步強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知.設(shè)計(jì)意圖 猜想是創(chuàng)新的基礎(chǔ).

引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出猜想，能夠深化他們對(duì)直角三角形全等的理解，同時(shí)在交流中逐步構(gòu)建并完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而獲得猜想與驗(yàn)證的基本能力，為發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)夯牢基礎(chǔ).

3.證明定理

師：在之前的學(xué)習(xí)中，大家已經(jīng)明確了一般三角形可從SAS，SSS，ASA等角度進(jìn)行全等的判定，這幾種判定方法屬于基本事實(shí)，無(wú)須額外證明；但AAS是一種定理，需要嚴(yán)密的論證.問(wèn)題1所提出的兩個(gè)直角三角形全等的判定方法，同樣亟須嚴(yán)密的論證.用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行描述，具體為：關(guān)于△ABC與△A′B′C′，明確∠C，∠C′均為直角，且AB=A′B′，AC=A′C′.請(qǐng)

證明： △ABC △A′B′C′ .鼓勵(lì)學(xué)生深入思考以下四個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：①本題所提供的哪些條件是有用的？②判斷這兩個(gè)三角形全等的基本依據(jù)是什么？③通過(guò)對(duì)這些依據(jù)的思考，你們覺(jué)得還需要添加什么條件才能判定這兩個(gè)三角形全等？④解決本題給你們帶來(lái)了什么啟示？

學(xué)生帶著上述四個(gè)問(wèn)題展開(kāi)交流，最終一致認(rèn)為：當(dāng)現(xiàn)有圖形無(wú)法順利進(jìn)行條件的轉(zhuǎn)化時(shí)，需構(gòu)造新的圖形來(lái)分析，此為研究幾何類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的一種方法.

在圖形拼接環(huán)節(jié)中，若學(xué)生僅能拼接出一種，則教師可適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探討拼圖的要素，激勵(lì)學(xué)生自主分析應(yīng)用拼圖法求證的注意事項(xiàng).同時(shí)也可以引導(dǎo)學(xué)生用“延長(zhǎng)、截取”等詞語(yǔ)來(lái)描述拼圖過(guò)程.

在交流過(guò)程中，若遇到認(rèn)知水平稍遜的學(xué)生，他們確實(shí)無(wú)法主動(dòng)完成相應(yīng)的探索，則可以鼓勵(lì)他們復(fù)述別人的方法，逐步強(qiáng)化理解.實(shí)踐表明，師生、生生的交流過(guò)程就是暴露思維的過(guò)程，只有在鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考的前提下，方能促使學(xué)生主動(dòng)發(fā)掘問(wèn)題，并勇于交流探討.在探討過(guò)程中，教師要密切關(guān)注學(xué)生的思維瓶頸與挫敗經(jīng)歷，唯有及時(shí)反躬自省，方能實(shí)現(xiàn)持續(xù)進(jìn)步.

4.練習(xí)訓(xùn)練

問(wèn)題 2 如圖 2，已知 ∠ACB ，∠BDA 均為直角， AC 與 BD 于點(diǎn) O 處相交，且 AC = BD .證明： OA = OB ，OC = OD

關(guān)于本題，主要從以下幾個(gè)方面展開(kāi)交流與探索：①要求學(xué)生說(shuō)清楚根據(jù)現(xiàn)有圖形與條件可以獲得什么結(jié)論，本題需要求證的是什么；②鼓勵(lì)學(xué)生用“要證明……需先證明……現(xiàn)已知……僅需證明……”的形式描述證明思路；③探討學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，以增強(qiáng)其思辨能力；④要求學(xué)生主動(dòng)說(shuō)明整個(gè)證明思路.在求證過(guò)程中，首先鼓勵(lì)難以獨(dú)立解決問(wèn)題的學(xué)生闡述其思維受阻的根源，隨后通過(guò)引導(dǎo)與啟發(fā)，激活這部分學(xué)生的思維.基于此，教師應(yīng)當(dāng)致力于使每位學(xué)生都擁有出色的交流能力，以便他們能深刻理解問(wèn)題的本質(zhì).同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，判定兩個(gè)直角三角形全等的依據(jù)不只有“HL”一個(gè)，還存在多種其他方法.至于選擇哪一種方法，則需要根據(jù)具體情況來(lái)決定.

設(shè)計(jì)意圖 新知的建構(gòu)是否牢固，需要通過(guò)實(shí)際應(yīng)用來(lái)加以檢驗(yàn).本題的難度系數(shù)不大，學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)稍加思考，即可順利解決問(wèn)題.此為一道開(kāi)放性問(wèn)題，獲得結(jié)論的途徑有多種.如此設(shè)計(jì)旨在豐富學(xué)生的課堂交流素材，進(jìn)而加深并鞏固他們的認(rèn)知基礎(chǔ).

5.提煉總結(jié)

在上述幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生親歷了觀察、思考、推理等過(guò)程，并在逆命題的基礎(chǔ)上，對(duì)兩個(gè)三角形全等條件的個(gè)數(shù)與位置提出了猜想與驗(yàn)證，并借助反例法與分類(lèi)討論逐步獲得了結(jié)論.對(duì)于一些確實(shí)難以明確理解的內(nèi)容，則借助作圖或演繹推理的方法進(jìn)行了驗(yàn)證.在整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生親歷了互動(dòng)與交流，從而對(duì)特殊圖形與一般圖形之間的關(guān)系有了更為深刻的理解.

此環(huán)節(jié)作為課堂的尾聲部分，旨在引導(dǎo)學(xué)生從教學(xué)內(nèi)容、研究方法以及例題應(yīng)用等多個(gè)維度進(jìn)行全面總結(jié)與深入分析.通過(guò)這一過(guò)程，學(xué)生能夠提煉出數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建出完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為日后形成結(jié)構(gòu)化思維奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在總結(jié)時(shí)，可將問(wèn)題整理成清單，讓學(xué)生以填空的形式及時(shí)反思自己在課堂中的所知、所感、所悟，及時(shí)發(fā)現(xiàn)自身的不足，以便采取應(yīng)對(duì)措施.設(shè)計(jì)意圖 新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)尤為關(guān)注“過(guò)程性”，因此教師在總結(jié)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)教學(xué)過(guò)程，并讓學(xué)生將自己的想法用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)或用填空的方式描述出來(lái)，從而進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提升學(xué)生的思維能力.

交流感悟

1.關(guān)于命題發(fā)現(xiàn)與猜想的思考學(xué)生自主獲得新的命題，一般存在以下三條路徑：①基于問(wèn)題解決的視角及時(shí)發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題；②從已有知識(shí)出發(fā)，在原命題的基礎(chǔ)上構(gòu)造逆命題；③通過(guò)與已知命題的類(lèi)比，創(chuàng)造新的命題 ［1］ .關(guān)于本節(jié)課的命題，主要通過(guò)以下三種方式來(lái)獲取：①設(shè)計(jì)兩個(gè)直角三角形，且明確它們的一條直角邊與一條斜邊相等，探索這兩個(gè)直角三角形全等；②基于逆命題的維度，從全等三角形的性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合題設(shè)條件的個(gè)數(shù)展開(kāi)分析；③與一般三角進(jìn)行類(lèi)比分析，獲得命題.

本節(jié)課融合了②③兩種方式，旨在通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生深入探索特殊圖形與一般圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)他們“四基”與“四能”的全面發(fā)展，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).為了逐步激發(fā)學(xué)生的思維，教師引導(dǎo)學(xué)生從添加一個(gè)條件作為切入點(diǎn)，并借助“反例”進(jìn)行排除.隨著條件的逐步增加，學(xué)生的思路逐漸變得清晰，從而順利地發(fā)現(xiàn)并猜想出相應(yīng)的命題.

2.關(guān)于命題驗(yàn)證的思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)設(shè)計(jì)一些教學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生在自主實(shí)踐、觀察、分析與總結(jié)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，初步形成猜想，在求證中發(fā)展合情推理能力.學(xué)生在本節(jié)課的深度交流中發(fā)現(xiàn)，要確定結(jié)論是否正確，離不開(kāi)演繹推理的輔助.本節(jié)課深入探討了直角三角形全等的條件，這是對(duì)一般三角形全等條件的進(jìn)一步拓展.在該階段，學(xué)生已經(jīng)建立了堅(jiān)實(shí)的知識(shí)與方法基礎(chǔ).通過(guò)類(lèi)比分析，學(xué)生不僅遷移了已有的知識(shí)與方法，還通過(guò)獨(dú)立思考與合作交流的方式驗(yàn)證了相關(guān)命題，發(fā)展了邏輯推理能力.

3.關(guān)于命題應(yīng)用的思考

縱覽本節(jié)課的教學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)教師所設(shè)計(jì)的問(wèn)題具有開(kāi)放性，需要學(xué)生從不同維度進(jìn)行思考與分析，才能對(duì)直角三角形全等產(chǎn)生深刻的理解.這種摒棄以單一小問(wèn)題為導(dǎo)向的教學(xué)模式，彰顯了戰(zhàn)略性教學(xué)策略的重要性.學(xué)生在探索開(kāi)放性問(wèn)題的過(guò)程中，能夠深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特魅力.他們不僅掌握了解決問(wèn)題的一般方法，還有效地促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

總之，在課堂教學(xué)中，教師適時(shí)給予學(xué)生自主思考和交流展示的機(jī)會(huì)，將有助于促進(jìn)學(xué)生思維的碰撞和思想的共鳴.因智生慧，以慧生情；因情悟理，以理生智，促進(jìn)生生共同成長(zhǎng) ［2］ .

參考文獻(xiàn)：

［1］喬太華 . 在交流中學(xué)習(xí) 在交流中提高：以“探索三角形全等的條件”為例 ［J］. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（14）：7 - 10.

［2］呂同林 . 問(wèn)題引領(lǐng)，交流拓展，復(fù)習(xí)升華：“一次函數(shù) （復(fù)習(xí)課） ”的教學(xué)思考 ［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2017（19）：48 - 51.