芻議高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用

趙帥

摘? 要：近幾年，隨著素質(zhì)教育的不斷推行，學(xué)生的綜合素質(zhì)得到了更多的關(guān)注。數(shù)學(xué)作為一種抽象、有理論意義的學(xué)科，在高中階段是一個(gè)重要而又困難的課題。學(xué)生在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由于問(wèn)題的復(fù)雜性，求解的方法和步驟比較煩瑣，因此影響了求解的效率和精確度。為了優(yōu)化求解過(guò)程，教師教授了各種特定的解法。構(gòu)造函數(shù)法是一種常見(jiàn)的問(wèn)題求解方式，可以較好地解決某些困難的類(lèi)型問(wèn)題，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。基于此，文章在分析構(gòu)造函數(shù)法基本含義的基礎(chǔ)上，對(duì)其在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中的一些應(yīng)用進(jìn)行了探討，以達(dá)到提高問(wèn)題求解效率的主要目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題方法；構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造函數(shù)法是一種應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)換思想，主要是把復(fù)雜、抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成常見(jiàn)的問(wèn)題，從而使問(wèn)題更容易得到解答。在實(shí)際中，學(xué)生必須先對(duì)已有的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析，用構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行算術(shù)、方程和向量的構(gòu)造，再根據(jù)問(wèn)題的條件給出求解的辦法。在高中數(shù)學(xué)中，構(gòu)造函數(shù)法是一種具有多重特點(diǎn)的解題方式，需要學(xué)生掌握相應(yīng)的解題方法。

一、構(gòu)造函數(shù)法概述

構(gòu)造函數(shù)法就是運(yùn)用函數(shù)的概念和屬性來(lái)構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，在該過(guò)程中，要找出輔助函數(shù)中能反映主題特性的功能，并利用功能的特性來(lái)解決問(wèn)題。構(gòu)造函數(shù)法是一種更具彈性、創(chuàng)意的問(wèn)題解決模式，學(xué)生必須遵守下列準(zhǔn)則：首先，構(gòu)造函數(shù)法一定要和原來(lái)的任務(wù)相聯(lián)系；其次，建立一個(gè)主題要比原來(lái)的問(wèn)題處理簡(jiǎn)單得多；最后，構(gòu)造函數(shù)法要符合最初的主題，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，同時(shí)還應(yīng)對(duì)條件、結(jié)論等進(jìn)行分析。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生需要對(duì)構(gòu)造出的函數(shù)邏輯進(jìn)行優(yōu)化，并依據(jù)對(duì)象的具體情況對(duì)其進(jìn)行整合，從而達(dá)到設(shè)計(jì)的目的。

在問(wèn)題解決期間，學(xué)生所建立的功能要符合下列需求：首先，函數(shù)一定要和最初的問(wèn)題聯(lián)系在一起。其次，所建立的構(gòu)造函數(shù)一定要比普通的方法更易于處理。函數(shù)必須符合問(wèn)題的范圍，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，避免出現(xiàn)功能上的錯(cuò)誤。最后，函數(shù)的構(gòu)造要基于任務(wù)條件。在構(gòu)造函數(shù)時(shí)，學(xué)生必須對(duì)句子的條件、結(jié)論、特征進(jìn)行分析，然后根據(jù)題目情況對(duì)問(wèn)題進(jìn)行重組，得到問(wèn)題的解題方法，該方法更符合邏輯，便于求解，適用面廣，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種非常有效的教學(xué)手段。

二、構(gòu)造函數(shù)法的基本內(nèi)涵

通過(guò)對(duì)高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的大量實(shí)踐研究可知，運(yùn)用設(shè)計(jì)的思想與方法來(lái)解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以極大地減少數(shù)學(xué)問(wèn)題的復(fù)雜性。學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)基本問(wèn)題的梳理，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的分析，運(yùn)用新的函數(shù)、圖形等方法，能夠使數(shù)學(xué)中的抽象、復(fù)雜、模糊問(wèn)題變得具體、簡(jiǎn)單、清晰，并能使數(shù)學(xué)中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題得到解答。構(gòu)造函數(shù)法是一種特殊的函數(shù)形式，可以有效地求解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。對(duì)此教師要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入解析，建立相關(guān)的功能關(guān)系，并將所構(gòu)造的功能與題目相結(jié)合，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面的分析、分類(lèi)，以保證學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題中應(yīng)用該方法。

為了更清楚地了解問(wèn)題的不確定性，減少問(wèn)題的復(fù)雜程度，學(xué)生可以用新的圖形、方法或功能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題，這也是一種結(jié)構(gòu)化的方法。結(jié)構(gòu)化的方法是一種靈活、有創(chuàng)意的解決問(wèn)題的方式，而構(gòu)造法則是以功能的方式來(lái)解答問(wèn)題。問(wèn)題的求解方法是創(chuàng)建與初始任務(wù)緊密聯(lián)系的功能，然后對(duì)功能進(jìn)行分析和系統(tǒng)化，從而得到正確的結(jié)果。

在運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，要注意到，數(shù)學(xué)的功能一定要具備下列特點(diǎn)：第一，建立一個(gè)功能，必須和最初的問(wèn)題相結(jié)合；第二，要保證所建立的功能比原來(lái)的方法簡(jiǎn)單；第三，構(gòu)造函數(shù)法必須能解決周期性、奇偶性、單調(diào)性、值字段等問(wèn)題，從而有效避免構(gòu)造器的錯(cuò)誤；第四，要與主題內(nèi)容相結(jié)合，建構(gòu)對(duì)應(yīng)的功能架構(gòu)；第五，在建立函數(shù)時(shí)，必須注意條件、結(jié)論、特征等。要對(duì)建議進(jìn)行分析，不要只考慮邏輯、觀點(diǎn)等，可以根據(jù)題目情況，將其重新組合，從而得到具有建設(shè)性作用的問(wèn)題。

三、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用意義

（一）提升學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)知

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)教學(xué)是較為重要的一部分。然而，由于傳統(tǒng)教學(xué)模式中，教師對(duì)函數(shù)知識(shí)的講解較為單一，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的認(rèn)知較為膚淺，無(wú)法進(jìn)一步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要對(duì)學(xué)生加強(qiáng)講解函數(shù)知識(shí)。而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法教學(xué)可以幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握函數(shù)的概念與性質(zhì)，進(jìn)而提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師要積極地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法解題，從而提升學(xué)生的認(rèn)知水平。

（二）促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展

構(gòu)造函數(shù)法主要是對(duì)函數(shù)的一些性質(zhì)進(jìn)行研究，然后將這些性質(zhì)與題目中的信息結(jié)合起來(lái)，從而得到一個(gè)新的函數(shù)。因此通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠給學(xué)生提供一種解題思路，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)難題。同時(shí)構(gòu)造函數(shù)法在解題中的運(yùn)用還可以幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)水平。因此高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，應(yīng)該注重對(duì)構(gòu)造函數(shù)法的運(yùn)用，并引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造函數(shù)法解題。對(duì)學(xué)生而言，他們數(shù)學(xué)思維的形成與發(fā)展，需要經(jīng)過(guò)一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法解題可以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知更加深刻，從而提高學(xué)生的解題能力。此外，在運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法解題時(shí)，還可以鍛煉學(xué)生的推理能力、邏輯思維能力等。由此可見(jiàn)，構(gòu)造函數(shù)法不僅可以豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知，還能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維。

四、構(gòu)造函數(shù)法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用范圍

（一）利用構(gòu)造函數(shù)求解或證明參數(shù)范圍

在高中數(shù)學(xué)中，解參數(shù)區(qū)間是一個(gè)很受歡迎的題型。不同的習(xí)題，其解題思路是不一樣的，這要求學(xué)生對(duì)已有的條件有深刻的了解，再通過(guò)構(gòu)建新的函數(shù)來(lái)使原來(lái)的問(wèn)題變得熟悉。對(duì)同一格式的已知問(wèn)題，通常要運(yùn)用“同構(gòu)”的方法將已知的條件進(jìn)行變形，構(gòu)造新的函數(shù)，并對(duì)新的函數(shù)特性進(jìn)行研究，從而得到所要解決的參數(shù)。

比如，函數(shù)f（x）=x（1-lnx），設(shè)a，b是兩個(gè)非等正數(shù)

（二）利用構(gòu)造函數(shù)計(jì)算變量的值

在高中數(shù)學(xué)中，計(jì)算變量的數(shù)值是比較普遍的。解題時(shí)，往往要借用函數(shù)的單元性，所以，如何在有限元法中靈活地使用各種方法，正確地確定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵。在這些問(wèn)題中，為了減少求解困難，必須建立新的功能。雖然比較簡(jiǎn)單，但卻是指數(shù)和對(duì)數(shù)的結(jié)合，如果思維不準(zhǔn)確，將很難得到正確的答案。如果想解決這個(gè)問(wèn)題，首先要將已知的條件進(jìn)行變化，由異變同，由虛變實(shí)，再構(gòu)造出兩個(gè)新的函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上，對(duì)這兩個(gè)新的函數(shù)的單元性進(jìn)行分析，找出其中的兩個(gè)特定點(diǎn)。

高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維具有很強(qiáng)的靈活性，在運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法時(shí)，學(xué)生要仔細(xì)地分析問(wèn)題，認(rèn)真地研究函數(shù)的表達(dá)式，只有確定問(wèn)題的思路和方向，才能有效地解決問(wèn)題。建構(gòu)函數(shù)法是高中數(shù)學(xué)解題的一種主要方法，在課堂上，教師要注意對(duì)結(jié)構(gòu)式的理解，在日常教學(xué)中讓學(xué)生體驗(yàn)到具體的運(yùn)用，并通過(guò)對(duì)問(wèn)題的總結(jié)和思考讓學(xué)生積累知識(shí)，使學(xué)生在練習(xí)中得到更多的經(jīng)驗(yàn)，不斷地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)水平。

五、高中構(gòu)造函數(shù)法在具體數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

鑒于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性以及階段教學(xué)的緊迫性，教師必須對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納，尤其是在各個(gè)學(xué)科間尋找相似點(diǎn)，并不斷完善，以歸納的方式來(lái)解決問(wèn)題。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，均衡與等值級(jí)數(shù)是一個(gè)非常重要的概念。同時(shí)，高中數(shù)學(xué)往往會(huì)把數(shù)理知識(shí)和其他的數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，并且非常注重學(xué)生對(duì)數(shù)字知識(shí)的綜合運(yùn)用。在高中階段，教師不但要教導(dǎo)學(xué)生統(tǒng)一級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)，而且要使學(xué)生得到一個(gè)通式的常用公式，以及觀察與總結(jié)。同時(shí)，教師也需要教授如何運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)其他數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)際的問(wèn)題分析。

（一）運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法解析數(shù)學(xué)不等式

不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)，內(nèi)容比較抽象，很容易根據(jù)不等式的基本性質(zhì)改變題型，有些題型則結(jié)合其知識(shí)點(diǎn)來(lái)考查學(xué)生的能力，因此很難直觀看出不等式是否成立以及學(xué)生不能快速解析不等式。為此，教師必須利用構(gòu)造函數(shù)的方法來(lái)解析不等式，其基本步驟是：依據(jù)題目的情況，合理地利用函數(shù)的特性，將不等式的條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行分析，反復(fù)試驗(yàn)，使問(wèn)題得到最優(yōu)解。

（二）二次函數(shù)構(gòu)造的運(yùn)用

在求解某些數(shù)字的數(shù)值區(qū)間時(shí)，可以用二次函數(shù)的構(gòu)造來(lái)獲得。舉例而言，a²+b²+c²=1，a+b+c=1，a、b、c為常量，解a的值范圍。

在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)構(gòu)造法的觀點(diǎn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，并進(jìn)行合理的分析，得出1-a=c+b，1-a²=c²+（x-b）²=2×2-（b+c）²=0，則4（c+b）²-8（c²+b²）=0，就可以得到a的值區(qū)間。這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于，要將b²+c²和b+c看作一個(gè)完整的函數(shù)值，然后用二次函數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，最后由不等式得到一個(gè)值區(qū)間。

（三）一次函數(shù)構(gòu)造的運(yùn)用

對(duì)某些基本不等式，或與圖像相結(jié)合的問(wèn)題，教師可以先分析問(wèn)題中的條件邏輯，然后依據(jù)方便原理構(gòu)造一次函數(shù)，再利用數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行直觀求解。這種一次函數(shù)與圖像相結(jié)合的方式，既能將題目條件與解題方式相結(jié)合，又能通過(guò)圖表直觀地分析出推理過(guò)程，有助于學(xué)生對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念的了解，從而使學(xué)生形成科學(xué)的數(shù)學(xué)思考能力。

（四）在數(shù)列題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列包括了等比、等差數(shù)列等內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常困難的問(wèn)題。關(guān)于數(shù)列的知識(shí)，往往要結(jié)合其他的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行命題，這是一個(gè)難點(diǎn)。在解決這類(lèi)綜合性問(wèn)題時(shí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生熟悉各種類(lèi)型的數(shù)列概念，以及通項(xiàng)公式的求解方法，打好數(shù)列學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)；同時(shí)，教師要選取具有典型意義的問(wèn)題，讓學(xué)生練習(xí)，在解決問(wèn)題的同時(shí)，不斷地總結(jié)技巧，不斷地獲得經(jīng)驗(yàn)。

例題：已知｛a_n｝為等比數(shù)列，且a₁=2，a₈=4，函數(shù)f（x）=x（x-a₁）（x-a₁）（x-a₁）…（x-a₁）。求f′（0）的值。

這是一道關(guān)于函數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題，解決問(wèn)題的重點(diǎn)是對(duì)函數(shù)表達(dá)式及求解內(nèi)容進(jìn)行細(xì)致的解析，使用構(gòu)造函數(shù)法列式：f（x）=xg（x），然后通過(guò)數(shù)列的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。令g（x）=（x-a₁）（x-a₂）（x-a₃）…（x-a₈），因此f（x）=xg（x），求導(dǎo)后得出f′（x）=g（x）+xg′（x）。可知，f′（0）=g（0）=a₁·a₂·a₃·…·a₈，因a₁=2，a₈=4，可知g（0）=a₁·a₂·a₃·…·a₈=（2×4）4=212。

六、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，由于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到了許多困難，因此教師必須不斷尋求更加科學(xué)的學(xué)習(xí)方式，并充分了解構(gòu)造函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)和應(yīng)用范圍。在教學(xué)過(guò)程中，教師不但要教授有關(guān)的概念、理論，還要運(yùn)用具體的數(shù)學(xué)實(shí)踐例子，引導(dǎo)學(xué)生逐漸發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思考能力，幫助學(xué)生解決問(wèn)題。教師要鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)視角探究同樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生能夠從事例中得到結(jié)論，并不斷優(yōu)化問(wèn)題的解決方案，從而發(fā)展學(xué)生的解題能力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)造函數(shù)法的運(yùn)用是一種十分重要的解題思路，對(duì)提高解題效率、解題質(zhì)量具有十分重要的意義。因此，高中生要正確理解問(wèn)題解決思維的重要性，掌握問(wèn)題的本質(zhì)與形式，并以此為依據(jù)，靈活地應(yīng)用問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而有效提高實(shí)際問(wèn)題的解決能力。

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（責(zé)任編輯：向志莉）