高考數學運算核心素養的試題評價研究對命題設計的啟示

周小英

【摘? 要】? 為發展學生的數學運算核心素養，做好試題命制和教學備考工作，本文基于SOLO分類理論與高考評價體系，提出數學運算水平的四級評價框架，分析2019—2022年高考數學中“三角函數與解三角形”試題考查的數學運算水平，呈現數學運算的考查特點，為培養學生數學運算核心素養提供教學和命題方面的啟示.

【關鍵詞】? SOLO分類理論;核心素養；高中數學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出了基于“三會”的數學學科核心素養，并將“三會”作為培養數學核心素養的指導思想.與之相對的數學學科核心素養包括：數學抽象與直觀想象，邏輯推理與數學抽象，數學建模與數據分析.近四年廣西高考試題在“三角函數與解三角形”知識內容上較好地考查了數學運算核心素養.本文通過分析高考真題的數學運算水平層次，為高三數學備考及試題命制提供啟示.

1? 核心概念與理論基礎

1.1? 數學運算

“數學運算”作為六大數學學科核心素養之一，是在明晰運算對象的基礎上，根據運算法則解決數學問題．主要內容為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果［1］．數學運算能力是要求學生從小學到高中都應該有所發展的基本能力，是學生參加高考的必備素養．

1.2? SOLO分類理論

“SOLO”指可觀察的學習結果的結構，是一種學業評價的理論和方法．該理論將學習者的認知由低到高分為5個層次：前結構水平（P）、單一結構水平（U）、多元結構水平（M）、關聯水平（R）、拓展抽象水平（E）［2］.其中，拓展結構水平分為E1和E2兩個層次.SOLO分類理論為學生的學習發展提供了系統的描述方法．

2? 研究思路

聚焦“三角函數與解三角形”內容，以2019—2022年廣西理科高考數學真題為研究對象，研究者按照普通高中數學課程標準中的學業質量水平要求，首先采用SOLO分類劃分相應試題的數學運算水平層次，然后進行統計分析，為數學運算核心素養的精確考查提出命題建議，同時為高三復習精準備考提供啟示．

3? 研究框架

高考評價體系是高考命題的藍圖，高考應注重考查基礎性、綜合性、應用性和創新性（“四翼”）.“四翼”既能有效地評價學生素質的高低，也能精準地評價高考試題的質量［3］.參考已有的相關研究[4]，注意到“四翼”考查要求與SOLO分類理論的一致性，研究者將二者結合，在此基礎上進一步分析命題路徑和對應的數學水平特征，構建四級評價框架，即“考查要求-命題路徑-SOLO層次-對應數學水平特征”，如表1所示.后續將采用該框架對高考真題進行評價分析.

表1

考查要求 命題路徑 SOLO層次 對應水平特征

基礎性

強調雙基扎實．能在簡單的數學問題情境中了解運算對象，對學生能按照順序運算，有簡化運算的意識以及用運算結果說明問題的能力進行測量與評價.

單一結構水平（U） 能找到解決問題的單個運算對象，并且能根據單個的運算對象解決問題，整體上對“數學運算”核心素養的要求低.

多元結構水平（M） 能找到解決問題的多個運算對象，不需要有機結合運算對象就能解決問題，整體上對“數學運算”核心素養的要求一般.

綜合性 強調融會貫通．能在較復雜的情境中理解運算對象，從數學思想方法的高度認識算理，對學生能夠合理運算和用運算探討問題的能力進行測量與評價.

關聯結構水平

（R） 能找到解決問題的多個運算對象，并且有機結合運算對象才能解決問題，整體上對“數學運算”核心素養的要求中等.

應用性 強調學以致用．能在綜合的復雜情境中把問題轉化為運算求解問題，對學生簡潔運算、理解運算和用運算探討問題的能力進行測量與評價.

拓展抽象水平

（E1） 能發現隱含的信息，應用學科思想方法分析問題，對問題進行抽象概括，從理論的高度來分析問題，并且能夠深化問題，歸納出新的更抽象的知識，得出開放性的答案，整體上對“數學運算”核心素養的要求高［3］.

創新性 強調創新意識及思維．能在新穎復雜的情境中把問題轉化為運算求解的問題，對學生完成開放、探究性的任務，找到新問題、發現新規律、設計運算程序并解決問題的能力進行測量與評價.

拓展抽象水平

（E2）

4? 試題評價研究

4.1? 試題運算層次

根據上述四級評價框架對2019—2022年廣西高考理科數學真題中的相關典型試題進行分析．所選試題均屬于三角函數與解三角形知識范圍，本文給出數學運算各個水平試題的范例，具體結果如下.

單點結構（Ｕ）運算層次范例

例1? （2019年全國Ⅲ卷4題）若，則（? ?）

（A） .? ? ? ? ? ?（B） .? ? ? ? （C） .? ? ? ?（D） .

評析? 試題情境簡單、熟悉，考查的知識是倍角公式，要求考生能找出單個數學對象并進行運算，屬于單點結構（Ｕ）水平.

多點結構（Ｍ）運算層次范例

例2? （2020年全國Ⅲ卷16題）關于函數有如下四個命題：

①的圖象關于y軸對稱．? ? ? ? ? ? ②的圖象關于原點對稱．

②的圖象關于直線對稱．? ? ? ④的最小值為2．

其中所有真命題的序號是_____．

評析? 情境簡單，各選項的運算對象單一，試題每個選項的運算層次都屬于單點結構水平，解決的是單個運算問題，選項間無直接關聯，各運算對象間無需有機結合，試題屬于多點結構水平．

關聯結構（Ｒ）運算層次范例

例3? （2021年全國甲卷9題）若，則（? ?）

（A） .? ? ? ? ?（B） .? ? ? ? ?（C） .? ? ? ? ? （D） .

評析? 試題以三角函數等式化簡為載體，考查正切倍角公式以及同角三角函數關系式等知識的綜合運用，需要依據公式進行有機結合的合理運算，故本題屬于關聯結構水平．

低拓展抽象結構（E1）運算層次范例

例4? （2022年全國甲卷11題）設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（? ?）

（A） .? ? ? ? （B） .? ? ? ? ?（C） .? ? ? ? ?（D） .

評析? 試題以正弦型函數的極值點、零點的個數為載體，求的取值范圍，屬于綜合情境.考查學生通過圖象發現隱含的信息，找到運算對象（關于的不等式），并運算求解的能力.試題要求學生能夠正確理解正弦函數相關性質的運算，對數學運算要求較高，屬于低拓展抽象結構水平．

高拓展抽象結構（Ｅ2）運算層次范例

例5? （2022年全國甲卷12題） 已知，則（? ?）

（A） .? ? ? ?（B） .? ? ? ? ? （C） .? ? ? ?（D） .

評析? 試題創設了新穎的探索情境，具備一定的開放性.試題要求考生借助數值比較大小的探究，通過觀察、抽象和探究發現隱含的信息，構造出運算對象（函數）.試題需要對問題進行抽象概括，要求考生具備一定的創新意識和較高運算能力，屬于高拓展抽象結構水平.

4.2? 試題運算層次分析

根據表1所示的分析框架，研究者對2019—2022年廣西高考理科數學卷中考查“三角函數與解三角形”知識的試題做了數學運算核心素養水平層次的SOLO分類，得到最終劃分結果，見表2.

表2

2022 2021 2020 2019

U 第7題，33% 第4、15題，31%

M 第5題，25% 第16題，33%

R 第16題，25% 第9題，33% 第9題，33% 第9，18（1）題，34%

E1 第11題，25% 第8，16題，67% 第12，18（2）題，34%

E2 第12題，25%

表2是近四年試題題型的分布及數學運算水平情況.在試題題型方面，由題號不難發現，“三角函數與解三角形”知識僅在2019年以大題的形式出現，往后的年份中均只考小題.試題知識點分布情況為：一道解三角形，兩道解三角函數.

分析近四年該知識點相關試題的數學運算水平，對關于該知識點的各年高考真題對應的SOLO運算層次進行統計，根據各年真題所屬運算水平對應的分值分布初步分析高考命題的考查要求及試題質量.2019年和2020年分別有三道相關的真題，各屬于三個不同的運算水平層次.2019年卷數學運算水平層次單點結構、關聯結構和低拓展抽象結構的分值比例依次為31％、34％和34％；2020年卷單點結構、多點結構、關聯結構的分值比例依次為33％、33％和33％.由此可見，這兩年的“三角函數與解三角形”真題所屬三種水平層次試題的分值比例較為接近，反映了這兩年高考對學生的數學運算能力從低到高都有所要求，即對基礎性、綜合性、應用性進行了全方位考查，突出要求學生能夠在較為熟悉、比較復雜的情境中進行問題分析和解決.

2021年卷含三道題目，考查了兩個數學運算水平層次；2022年則增加了一道小題，考查了四個數學運算水平層次.2021年卷關聯結構和低拓展抽象結構分值比例依次為33％，67％，低拓展抽象結構試題的分值比例較高；2022年卷各結構分值比例依次為25％、25％、25％、25％，拓展抽象結構分值比例比往年高，對數學運算的要求更為突出．由此可見，2019—2022年廣西高考對“三角函數和解三角形”中的“數學運算”的考查要求逐年提高，考查此內容或將維持在關聯結構水平和拓展結構水平，未來有將此內容作一大一小兩個試題進行考查的趨勢.

5? 研究啟示

基于上述分析，研究者在試題命制設計和高三教學備考兩個方面得到如下啟示．

5.1? 命題導向

由試題數學運算層次分析可知，水平層次屬于單點結構和多點結構的試題比例不低，平均值為30.5％，凸顯了高考試題深化基礎性考查和對基礎較弱的學生的關注；關聯結構和拓展抽象結構試題比例的平均值為69.5％，該較高的比例顯示高考注重考查學生的關鍵能力和核心素養，強調對學生數學運算能力的考查，體現了對基礎較好的學生的選拔.因此，在命制“三角函數與解三角形”的試題時，可以考慮將此知識按五種層次數學運算水平的試題比例依次設置為13％，20％，32％，30％，5％，以更好地考查數學運算核心素養．眾所周知，好試題不等于好試卷，試卷質量的優劣還取決于整張試卷產生的效應，不僅僅是個別試題產生的效應.因此，試題命制需要關注知識內容和題型結構等方面在運算水平層次上的合理分布，命題人應綜合各方面因素以提高試題質量．

5.2? 教學導向

數學運算核心素養是有層次的、分階段發展的，不可能一蹴而就，教師應根據學生的數學運算能力層次實施精準評價和有針對性的教學.首先，教學中需重視情景的合理設置，逐步提高學生找到運算對象、發現運算問題和轉化運算問題的能力，形成運算思維.情景的設置應符合學生的實際學情，體現新時代對創新型人才的要求.其次，教學中應重視知識體系的構建.知識體系的構建應著眼于發展學生的學科素養和學科能力，注重知識縱橫間聯系及結構化的問題解決，體現數學運算核心素養發展的整體性、階段性和連續性.日常教學要注重從情境到問題、從概念形成到知識建構的整體性，有序幫助學生構建系統化的知識體系，使知識之間互聯互通、形成結構.讓學生在明確運算對象時，能自然地聯想運算對象之間的關聯，找到解決問題的辦法.

6? 結語

數學運算核心素養導向下的高考試題具有層次性，對現階段數學運算核心素養的培養與教學提出了新要求.數學運算核心素養導向下的教學應目標明確、具有梯度，遵循循序漸進的原則，尊重學生的個性化特點，精準施教.數學素養的形成是一個長期的過程，在日常教學和考試命題中應特別關注數學學習過程中思維品質和關鍵能力的逐漸形成，促進學生喜歡數學，提高學生會學數學和會用數學的能力.

【課題名稱：“在高中學考中有效考查數學運算核心素養的命題設計與研究”課題編號：2022ZJY2334】

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]王亞婷，周瑩.新課標背景下高考數學試題SOLO思維層次研究：以2019年高考數學全國卷為例[J].教育測量與評價，2020（04）：17-24.

[3]教育部考試中心.中國高考評價體系說明（2019年版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4]于濤.基于SOLO分類理論的高考數學試題評價研究——以2020—2021年全國新高考數學Ⅰ卷為例[J].中學數學月刊，2022（04）：49-53.