關于極限的四則運算法則

摘 要： 極限理論在高等數(shù)學中占有重要的地位，它是建立許多數(shù)學概念（如函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)、定積分等）的必不可少的工具。因此，極限運算是高等數(shù)學課程中基本運算之一。每一個極限運算都有它適合的方法。一部分極限運算要使用極限的四則運算法則。使用極限的四則運算法則時，應注意它們的條件，當每個函數(shù)的極限都存在時，才可使用和、差、積的極限法則；當分子、分母的極限都存在，且分母的極限不為零時，才可使用商的極限法則。為了簡化極限的運算，我們往往需要對函數(shù)作代數(shù)或三角的恒等變形。

關鍵詞： 高等數(shù)學 極限運算 極限的四則運算法則

極限理論在高等數(shù)學中占有重要的地位，它是建立許多數(shù)學概念（如函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)、定積分等）的必不可少的工具。因此，極限的求法是高等數(shù)學課程中基本運算之一。針對每一個極限運算都有其適合的方法。而一部分極限運算需要使用極限的四則運算法則。

極限的四則運算法則為：設f（x）=A，g（x）=B，A、B為有限常數(shù)，則：

（1）［f（x）±g（x）］=f（x）±g（x）=A±B；

（2）f（x）g（x）=f（x）g（x）=AB；

（3）==（B≠0）。

以上四則運算法則對于自變量x的其它變化趨勢也同樣適用。

使用極限的四則運算法則時，我們應注意它們的條件，即當每個函數(shù)的極限都存在時，才可使用和、差、積的極限法則；當分子、分母的極限都存在，且分母的極限不為零時，才可使用商的極限法則。

為了使用極限的四則運算法則，我們往往需要對函數(shù)作代數(shù)或三角的恒等變形。例如：（1）當分子、分母的極限都是零時，有時可通過因式分解或有理化分子（或分母）消去分子、分母中極限為零的因式；（2）當分子、分母的極限都是無窮大時，分子、分母有時可同除以x（或n）的最高次冪；（3）作適當?shù)淖兞看鷵Q；（4）利用三角公式變形，等等。

下面通過例題來展示以上情形。

例1：求極限。

解：由于（-）=0，故不能直接使用商的極限運算法則。因此需把分子、分母分別有理化，得：

2：求極限。

解：當x→0時，arcsinx→0，故不能直接用商的極限運算法則。因為當x→0時，3tanx→0，令t=3tanx，利用ln（1+t）~t（t→0時），于是有l(wèi)n（1+3tanx）~3tanx~3x。類似的，arcsinx~x，所以：

例3：求極限。

解：當n→∞時，分子、分母的極限都是無窮大（極限不存在），故不能直接用商的極限運算法則。分子提取出因式3，分母提取出因式3，得：

注意，這里用到一個重要的結論：當|q|＜1時，q=0。

例4：求極限（-）。

解：由于=∞，故不能用差的極限運算法則。有理化后，得：

例5：求極限（-）。

解：由于=∞，故不能用差的極限運算法則。這時可先通分。

例6：求極限（×××…×）。

解：當n→∞時，乘積的項數(shù)在無限增多，故不能用積的極限運算法則。因為+++…+=，所以：

例7：求極限（sin-sin）。

解：當x→+∞時，sin及sin的極限都不存在，故不能用差的極限運算法則。利用和差化積的公式：sinα-sinβ=2sincos，得：

（sin-sin）

=2sincos

由于cos不存在，故不能用積的極限運算法則。但是，當x→+∞時，

sin=sin=sin→sin0=0，它是無窮小，而cos是有界函數(shù)（因|cos|≤1），

依照無窮小的性質(zhì)（有界函數(shù)與無窮小的乘積仍然是無窮小），當x→+∞時，sincos是無窮小，所以：

（sin-sin）=0

以上七個例題，很好地說明了使用極限的四則運算法則時，應注意它們的條件，即當每個函數(shù)的極限都存在時，才可使用和、差、積的極限法則；當分子、分母的極限都存在，且分母的極限不為零時，才可使用商的極限法則。為了簡化極限的運算，往往需要對函數(shù)作代數(shù)或三角的恒等變形。