幾何直觀素養(yǎng)的內(nèi)涵、表現(xiàn)形式和教學(xué)建議

編者按：為了幫助廣大教師深入領(lǐng)會(huì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）精神，依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求開展教學(xué)活動(dòng)，中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)于2022年下半年設(shè)立了“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究（初中）專項(xiàng)課題”. 為了及時(shí)反映研究成果，本刊設(shè)置“課題研究”專欄，不定期刊登課題研究中產(chǎn)生的論文.

本期刊登的課題研究文章是對(duì)幾何直觀素養(yǎng)的內(nèi)涵及其表現(xiàn)形式的解讀，并結(jié)合具體案例給出了教學(xué)建議，相信對(duì)廣大教師在教學(xué)中更好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)會(huì)有所啟發(fā).

摘" 要：幾何直觀素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，指向“數(shù)學(xué)眼光”的發(fā)展. 幾何直觀和抽象能力、推理能力及空間觀念等密切相關(guān)，幾何直觀從基于操作經(jīng)驗(yàn)的感悟逐步過渡到基于概念的推理，形成初步的直覺想象. 文章對(duì)幾何直觀的內(nèi)涵及其表現(xiàn)形式進(jìn)行解讀，并給出了化抽象為具體、觸摸幾何結(jié)構(gòu)、解釋代數(shù)公式、幾何代數(shù)互映、借助現(xiàn)代技術(shù)等教學(xué)建議．

關(guān)鍵詞：幾何直觀；內(nèi)涵；表現(xiàn)形式；教學(xué)建議

幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的工具之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）把幾何直觀作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，特別是作為“數(shù)學(xué)眼光”的主要表現(xiàn). 學(xué)生通過觀察對(duì)象，直觀感知現(xiàn)實(shí)世界中圖形的組成元素與特征，直觀理解將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)；通過尺規(guī)作圖等直觀手段分析圖形的性質(zhì)，逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的視角觀察圖形的意識(shí)與習(xí)慣；探索運(yùn)用圖表描述、圖表分析等方法發(fā)現(xiàn)和提出問題，尋求分析問題和解決問題的方法. 幾何直觀和抽象能力、推理能力及空間觀念等密切相關(guān)，本文通過對(duì)幾何直觀素養(yǎng)內(nèi)涵的解讀，梳理什么是幾何直觀、幾何直觀的意義和幾何直觀的表現(xiàn)形式，并給出幾何直觀素養(yǎng)的行為指標(biāo)，以及幾何直觀的教學(xué)策略和建議.

一、幾何直觀的內(nèi)涵解讀

幾何研究的對(duì)象是圖形，幾何學(xué)的直觀性和簡(jiǎn)潔性也是幾何學(xué)之所以完美的核心所在. 幾何直觀不僅能為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)、進(jìn)行幾何探究與推理提供便利，而且能為學(xué)生理解與洞察其他更為抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)搭建橋梁. 幾何直觀是啟發(fā)問題解決思路的基本策略.

幾何直觀的工具是圖表，圖表的直觀性和解釋性對(duì)發(fā)現(xiàn)問題和分析問題都獨(dú)具價(jià)值，有助于實(shí)現(xiàn)從直觀感知到概念形成的過程. 因此，可以認(rèn)為“幾何直觀是借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力. 幾何直觀與小學(xué)階段的空間觀念、高中階段的直觀想象有內(nèi)在關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)素養(yǎng)發(fā)展的階段性特征.

1. 什么是幾何直觀

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)幾何直觀行為特征的描述為：“幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣. 能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；根據(jù)語(yǔ)言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路. 幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑.”

（1）幾何直觀在“三會(huì)”中的功能.

“數(shù)學(xué)眼光”在高中階段對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象，在初中階段對(duì)應(yīng)抽象能力、空間觀念和幾何直觀，在小學(xué)階段對(duì)應(yīng)符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、量感（新增）、空間觀念、幾何直觀. 幾何直觀就是將復(fù)雜或者抽象的問題用圖表等方法直觀化，用圖表的直觀來描述、解釋問題，借助圖表的解釋功能分析、解決問題.

如圖1，例1的結(jié)果顯然是可以看出來的. 借助圖形直觀可以把復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)明、形象的圖形，為探索問題的解決提供思路，有利于結(jié)果的預(yù)測(cè)，有助于對(duì)數(shù)學(xué)（無限）的理解.

同樣地，通過幾何直觀可以實(shí)現(xiàn)對(duì)研究對(duì)象的整體把握，有助于揭示不同對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)，如例2.

（2）與小學(xué)階段的幾何直觀及高中階段的直觀想象的關(guān)聯(lián).

核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性. 小學(xué)階段和初中階段都稱幾何直觀，到了高中階段則稱為直觀想象，體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的階段性特征. 小學(xué)階段側(cè)重空間觀念的發(fā)展，借助社會(huì)生活等現(xiàn)實(shí)世界中的情境、科學(xué)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和日常生活的經(jīng)驗(yàn)得以發(fā)展，是具體真實(shí)的直接反映；初中階段的幾何直觀則需要借助課程的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，是后天習(xí)得的結(jié)果，此時(shí)學(xué)生的直觀思維已經(jīng)具備一定的抽象特征；到了高中階段，空間觀念、幾何直觀將進(jìn)一步發(fā)展為直觀想象，此時(shí)的“直觀”已不再局限于幾何圖表，還包括符號(hào)形式的直觀，空間想象也將逐漸減少對(duì)空間觀念的依賴，更多地建立在邏輯的基礎(chǔ)上，需要學(xué)生具備一定的推理能力.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）中，幾何直觀作為十個(gè)核心概念之一提出，是一種特殊的直觀. 第7版《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》對(duì)“直觀”的解釋是“用感觀直接接受的或直接觀察的”. 康德同樣認(rèn)為人類的直觀方式只能是感性的. 也就是說，“直觀”是主體直接作用于對(duì)象的認(rèn)識(shí)方式，不需要媒介；概念則是間接作用于對(duì)象，需要借助直觀作為媒介. 康德認(rèn)為人類對(duì)于對(duì)象的認(rèn)識(shí)“始于直觀，形成概念，邏輯使之嚴(yán)密”. 由此可知，初中階段的幾何直觀已經(jīng)過渡到基于概念的推理，形成初步的幾何直覺，是人們認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象（或者其他具有幾何屬性的對(duì)象）的鑰匙.

（3）幾何直觀與形式直觀.

形式直觀是一種比圖形直觀更為廣泛的直觀思維途徑. 形式直觀無需依賴幾何圖形，是借助視覺形象產(chǎn)生的對(duì)于事物之間邏輯關(guān)系的一種直接的、形象的推斷和理解，常常表現(xiàn)為人們對(duì)復(fù)雜“程序”的理所當(dāng)然的理解.

解法1：n2 -[n-1]2 = 2n - 1，

[n-1]2 -[n-2]2 = 2n - 3，

…

22 - 12 = 2 × 2 - 1.

把上述n - 1個(gè)式子相加，得

n2 - 12 = 2 ×[2+3+ … +n]-[n-1].

代數(shù)公式是形式直觀在代數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式，解法1依賴于平方差公式及字母計(jì)算，是一種對(duì)發(fā)現(xiàn)公式本身無助的驗(yàn)證算法. 解法2的合理性建立在這種程序劃分的形式直觀之上，這種途徑不但能夠證明公式，而且也是一種發(fā)現(xiàn)公式的途徑.

例4" [312+22+32+…+n2=1+2+3+…+n2n+1.]

在如圖4所示的數(shù)陣中，每一行的和都恰好是該行數(shù)的平方，如第2行中（n - 1）個(gè)n - 1就是n - 1的平方. 因此，這個(gè)數(shù)陣圖中所有數(shù)的和就是12 + 22 + 32 + … + n2.

把圖4中的數(shù)陣旋轉(zhuǎn)為圖5中的數(shù)陣②和③，這時(shí)三個(gè)數(shù)陣圖中的數(shù)都一樣，只是排列方式不一樣. 容易發(fā)現(xiàn)①②③三個(gè)數(shù)陣中相同位置的三個(gè)數(shù)和都是2n + 1（圖5中的數(shù)陣④）. 因此，這三個(gè)數(shù)陣圖的所有數(shù)的和是[1+2+3+…+n2n+1].

又因?yàn)槊總€(gè)數(shù)陣都是連續(xù)自然數(shù)的平方和，所以可得等式[312+22+32+…+n2=1+2+3+…+n2n+1.]

顯然，這種形式直觀一旦關(guān)聯(lián)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，便可以直接產(chǎn)生對(duì)事物內(nèi)在規(guī)律的直觀解釋，甚至可以發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律.

（4）幾何直觀與空間觀念、直觀幾何.

幾何直觀與空間觀念、直觀幾何都與“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容密切相關(guān)，且不局限于該領(lǐng)域. 空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，是發(fā)展空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)；空間觀念的本質(zhì)是空間想象力，幾何直觀是一種感性認(rèn)識(shí)，兩者互為基礎(chǔ). 直觀幾何是用直觀的方式呈現(xiàn)幾何，幾何直觀是指如何直觀地理解幾何.

（5）幾何直觀與以往大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)聯(lián).

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中的6個(gè)核心概念增加到了10個(gè)，“幾何直觀”是增加的核心概念之一，其內(nèi)涵表述為：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題. 借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果. 幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.”

顯然，《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》極大地豐富了幾何直觀素養(yǎng)的內(nèi)涵，跳出了幾何圈，適用范圍從“圖形”擴(kuò)大到了“圖表”，細(xì)化了幾何直觀在研究幾何圖形時(shí)的具體操作：感知圖形及其要素——圖形分類；根據(jù)語(yǔ)言描述——畫圖、分析性質(zhì)；建立數(shù)形聯(lián)系——直觀模型；利用圖表——探索研究思路.

2. 幾何直觀的意義

彭加勒認(rèn)為，邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)明的工具. 依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑. 事實(shí)上，幾何直觀是在非邏輯語(yǔ)言上進(jìn)行的. 因此，思考問題時(shí)就能跳出數(shù)學(xué)的符號(hào)系統(tǒng)，依靠數(shù)學(xué)對(duì)象自身的結(jié)構(gòu)“不言而喻”地進(jìn)行，而且借助幾何直觀可以把看不見的抽象思維直觀顯現(xiàn)出來，有助于學(xué)生進(jìn)一步思考和探索.

（1）幾何直觀在數(shù)學(xué)發(fā)展中的意義.

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，幾何直觀對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有著重要的意義. 例如，廣義的平方差公式可以表示為[4mn=m+n2-m-n2]；勾股定理的代數(shù)表達(dá)為x2 + y2 = z2. 從公式的幾何直觀出發(fā)，容易發(fā)現(xiàn)[m+n2=][m-n2+4mn]，若令m = x2，n = y2（x，y ∈ N*），則[x2+y22=x2-y22+2xy2]，這樣就證明了命題：勾股數(shù)有無窮多組，或者說方程x2 + y2 = z2有無數(shù)組正整數(shù)解. 由此自然聯(lián)想：若n ≥ 3，方程xn + yn = zn有沒有正整數(shù)解？這便是費(fèi)馬大定理. 從這個(gè)意義上說，幾何直觀是發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的動(dòng)力. 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)也是一個(gè)典型的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的例子.

例5" 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn). 邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線如何度量？

幾何直觀告訴我們這樣的過程永無休止！也就是說，上述正方形對(duì)角線的長(zhǎng)不可以被邊長(zhǎng)“公度”，因此其不會(huì)是一個(gè)有理數(shù)！

（2）幾何直觀在幾何概念、推理學(xué)習(xí)中的意義.

在概念教學(xué)中，借助幾何直觀的直觀表征可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，能夠降低概念學(xué)習(xí)的難度，甚至直觀發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的性質(zhì). 例如，學(xué)習(xí)“兩點(diǎn)之間線段最短”時(shí)，通過展示圖7，可以讓學(xué)生非常直觀地明白在連接A，B兩點(diǎn)的所有道路中，直線段AB最短. 又如，學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時(shí)，可以通過圖8揭示兩個(gè)變量間“唯一確定”的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

幾何學(xué)習(xí)之所以被認(rèn)為是培養(yǎng)邏輯推理的最佳途徑，一個(gè)重要的原因是幾何推理具有一定的直觀性，可以借助圖形的直觀為推理過程提供啟發(fā)與驗(yàn)證，直觀理解推理的過程. 例如，學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)“不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向”，即“如果a lt; b，那么a ± c lt; b ± c”時(shí)，可以用圖9和圖10來直觀解釋.

同樣地，幾何作圖對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力有重要作用，幾何作圖是將“想象”的幾何概念“構(gòu)造”（存在性）出來的基本途徑，有助于學(xué)生對(duì)幾何概念及其關(guān)系的直觀理解，形成初步的推理能力. 菲茨拜因認(rèn)為，對(duì)幾何圖形進(jìn)行推理的過程中，思維中會(huì)出現(xiàn)一種在思維中建構(gòu)出來的“非感知”的“圖形”，同時(shí)具有圖形的形象和概念的抽象的雙重屬性.

如圖11，在一個(gè)半徑為5的四分之一圓中，長(zhǎng)方形ABCO內(nèi)接于扇形ODE，如何求解長(zhǎng)方形ABCO的對(duì)角線AC的長(zhǎng)度？學(xué)生在思維過程中調(diào)用已有知識(shí)“矩形的對(duì)角線相等”，通過非感知的方式構(gòu)建出矩形ABCO的另一條對(duì)角線OB，從而知道AC = 5. 這是典型的通過幾何直觀，用非感知構(gòu)圖的方式推理的過程.

（3）幾何直觀在理解其他抽象的數(shù)學(xué)概念、命題、方法中的意義.

例6" 負(fù)負(fù)得正的理解.

如圖12，因?yàn)? × i = i，其幾何直觀是實(shí)軸上的點(diǎn)1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到虛軸上的i位置，同樣i × i = -1，即把虛軸上的i再一次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到實(shí)軸-1的位置. 這意味著（1 × i） × i = 1 × （i × i） = 1 × （-1） = -1，即一個(gè)數(shù)乘-1就是把原來的數(shù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到其相反數(shù). 也就是說，（-1） × （-1）就是把-1再一次按照逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，回到了原來1的位置，即（-1） × （-1） = 1.

利用直觀解釋“負(fù)負(fù)得正”，不僅容易理解其原理，而且使得原本難以理解的“人為規(guī)定”變得生動(dòng)、活潑. 這樣解釋不僅揭示了本質(zhì)，而且拓寬了視野.

例7" 垂線段最短的直觀理解.

如圖13，將直線AB外一點(diǎn)P處的“平靜水面”滴入一滴水，這樣就可以產(chǎn)生一系列同心圓形狀的漣漪，當(dāng)這組同心圓的一個(gè)圓與直線有“接觸”（tangent）的那一刻，即該圓與直線相切時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)到點(diǎn)P的距離最小，而此時(shí)過切點(diǎn)的半徑垂直于直線，即通過直觀的方式解釋了“垂線段最短”.

例8" 等周問題.

在周長(zhǎng)一定的情況下，正方形的面積最大.

直覺：減小矩形的長(zhǎng)，等量增加矩形的寬，矩形的面積增大；當(dāng)矩形長(zhǎng)和寬相等，矩形成為一個(gè)正方形時(shí)面積最大.

幾何直觀：如圖14，矩形ABCD中，將邊AB截去BF = n，在邊AD上接上DE = n，得到新的矩形AEGF.

因?yàn)閍 gt; b，所以an gt; bn.

所以S矩形AEGF - S矩形ABCD = S矩形DEGH - S矩形BCHF = an - bn gt; 0.

所以當(dāng)矩形的長(zhǎng)等于寬時(shí)，面積最大.

（4）幾何直觀的教育價(jià)值（思維發(fā)展）.

幾何直觀是以直觀為基礎(chǔ)，形象、直觀地表達(dá)思維過程的一種思維方式. 發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)能幫助學(xué)生找到學(xué)好數(shù)學(xué)的“直覺”，是鏈接學(xué)生思維和學(xué)科本質(zhì)的橋梁，把看到的圖形關(guān)系、空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行直觀感知、整體把握. 通過模型觀察、代數(shù)表征等方式引導(dǎo)學(xué)生抽象數(shù)學(xué)概念，表征對(duì)象結(jié)構(gòu)與關(guān)系，挖掘內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以及歸納問題解決過程中的策略等，并用直觀的圖式進(jìn)行呈現(xiàn)，借助圖形、表格、符號(hào)等形成具有高度組織性的結(jié)構(gòu)圖. 例如，對(duì)幾何圖形形狀、大小、位置關(guān)系的直觀理解；利用圖表形成、表示思維過程，建立數(shù)與形之間的聯(lián)系；等等. 學(xué)生容易把碎片化的知識(shí)加工為經(jīng)驗(yàn)圖式，并進(jìn)一步內(nèi)化為心智圖式.

例9" 平面圖形面積和立體圖形表面積計(jì)算公式.

如圖15，通過這種有組織的結(jié)構(gòu)圖，能直觀呈現(xiàn)圖形之間的聯(lián)系，即“直”的圖形的性質(zhì)和“曲”的圖形的性質(zhì)之間的相似性，直接沖擊學(xué)生的認(rèn)知，這種沖擊有助于創(chuàng)造發(fā)明的發(fā)生.

例10" 設(shè)小明有n個(gè)球，將它們?nèi)我夥殖蓛啥眩?jì)算出這兩堆球個(gè)數(shù)的乘積，再將每堆球任意分成兩堆，計(jì)算出這兩堆球個(gè)數(shù)的乘積，依此類推，直到不能再分為止，求所有乘積的和.

通過例9和例10說明幾何直觀在教思維上有很高的價(jià)值.

（5）幾何直觀負(fù)遷移.

由于直觀并沒有經(jīng)過邏輯推理的檢驗(yàn)，是對(duì)象的性質(zhì)在感覺層面的反映，因此直覺的判斷可能引發(fā)誤導(dǎo)，特別是直觀反映對(duì)象的初級(jí)性質(zhì)時(shí)，越是顯然，負(fù)遷移就越容易發(fā)生. 例11是反映這一特點(diǎn)的非常典型的例子.

例11" 所有三角形都是等腰三角形.

如圖17，線段BC的中垂線l與∠BAC的平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，連接PB，PC. 顯然，PB = PC，PE = PF. 所以Rt△PBE ≌ Rt△PCF. 所以BE = CF. 又因?yàn)镽t△PAE ≌ Rt△PAF，所以AE = AF. 所以AE + BE = AF + CF，即AB = AC， 即△ABC是等腰三角形. 這顯然是荒謬的.

事實(shí)上，線段BC垂直平分線的位置應(yīng)該是如圖18所示的位置，這樣盡管BE = CF，AE = AF依舊成立，也無法推出AB = AC.

同樣，圖19很容易使人產(chǎn)生這些直線不平行的錯(cuò)覺. 但不應(yīng)該由此否定直覺，包括幾何直觀. 幾何直觀并不會(huì)獨(dú)立于邏輯推理而存在，而是與一個(gè)人的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的積累、分析和推理的能力有密切聯(lián)系. 因此，直觀只是思維的過程，而非思維的最終目標(biāo)，是為了幫助學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)概念與理論.

3. 幾何直觀的表現(xiàn)形式

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》列舉了與發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，并闡述了其培養(yǎng)路徑，如表1所示.

幾何直觀的培養(yǎng)需要從基于操作經(jīng)驗(yàn)的感悟逐步過渡到基于概念的推理，形成初步的幾何直覺. 其表現(xiàn)形式可以概括為以下幾個(gè)方面.

① 能通過尺規(guī)作圖、折紙、剪拼等具體的畫圖和識(shí)圖等操作活動(dòng)，感知圖形的組成要素、結(jié)構(gòu)特征和簡(jiǎn)單分類.

② 會(huì)利用自然語(yǔ)言、幾何語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言表示、理解和解釋幾何概念、數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)性質(zhì)，并能進(jìn)行幾何推理.

③ 能夠在具體的問題情境中用“數(shù)”與“形”兩種方式刻畫圖形的基本結(jié)構(gòu)，通過聯(lián)系形成刻畫空間本質(zhì)的直觀模型.

④ 能利用圖形變化、坐標(biāo)表示等方式刻畫圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與性質(zhì)，感悟數(shù)形結(jié)合思想.

⑤ 能運(yùn)用圖表工具表示、分析問題情境中的數(shù)量關(guān)系、模型構(gòu)建并解決問題.

二、幾何直觀的行為表現(xiàn)

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中給出的幾何直觀的具體表現(xiàn)，以及對(duì)應(yīng)的行為指標(biāo)如表2所示.

三、幾何直觀的教學(xué)策略

1. 創(chuàng)設(shè)教學(xué)活動(dòng)，化抽象為具體

通過創(chuàng)設(shè)合適的活動(dòng)，觀察現(xiàn)實(shí)世界中的基本數(shù)量關(guān)系與空間形式，學(xué)生能直觀理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)及其現(xiàn)實(shí)背景. 例如，引導(dǎo)學(xué)生觀察、測(cè)量實(shí)物、模型等，使之從整體上感知數(shù)學(xué)對(duì)象，逐步積累豐富的幾何直觀；引導(dǎo)學(xué)生將文字語(yǔ)言翻譯成直觀的符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，實(shí)現(xiàn)抽象到直觀的轉(zhuǎn)化；引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸研究數(shù)的大小關(guān)系，初步感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法；引導(dǎo)學(xué)生借助函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，從圖象直觀研究抽象函數(shù)的性質(zhì)；等等.

例12" 對(duì)平方差公式[a-ba+b]= a2 - b2的直觀解釋，如圖20所示.

2. 實(shí)踐動(dòng)手操作，觸摸幾何結(jié)構(gòu)

平面幾何圖形教學(xué)通過“畫一畫”開始，可以讓學(xué)生觸摸到幾何圖形的基本結(jié)構(gòu)；空間圖形教學(xué)通過“做一做”幾何模型開始，使學(xué)生從視覺、觸覺和大腦三位一體理解空間幾何體的形狀、大小、位置關(guān)系和要素之間的模型結(jié)構(gòu).

3. 構(gòu)造幾何圖形，解釋代數(shù)公式

當(dāng)學(xué)生面對(duì)[a+b2]= a2 + 2ab + b2等復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)公式時(shí)，可以構(gòu)造矩形面積來推導(dǎo)和解釋公式；在用方程、不等式或者函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，能把數(shù)學(xué)問題用畫圖的方法直觀形象地呈現(xiàn)出來，表示出問題情境中有價(jià)值的信息. 例如，例13中的a2 + 1（b2 + 1類似）可以表達(dá)為直角邊長(zhǎng)分別為a和1的直角三角形的斜邊，ab = 1則可以用射影定理表達(dá)，這樣就形成了對(duì)問題的如下解釋.

4. 善用數(shù)形結(jié)合，幾何代數(shù)互映

例如，在利用數(shù)軸研究實(shí)數(shù)的性質(zhì)的過程中，學(xué)生會(huì)深刻體會(huì)數(shù)與直線上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)，也是因?yàn)檫@種一一對(duì)應(yīng)，使得研究數(shù)的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為研究點(diǎn)的位置關(guān)系，點(diǎn)的位置關(guān)系反映了數(shù)的大小關(guān)系，為未來學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)，甚至學(xué)習(xí)解析幾何提供了基礎(chǔ)，明白數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系.

5. 借助現(xiàn)代信息技術(shù)，動(dòng)態(tài)突破難點(diǎn)

平面幾何中有很多性質(zhì)很難通過直覺來發(fā)現(xiàn)，此時(shí)可以借助信息技術(shù)來突破難點(diǎn). 例如，連接四邊形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，借助現(xiàn)代信息技術(shù)，拖動(dòng)外面的四邊形，很容易發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的不變性；又如，平行四邊形四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和，可以借助軟件中的測(cè)量功能直觀感知；等等.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］鮑建生，章建躍. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之三：幾何直觀［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（7 / 8）：3-9.

［3］孔凡哲，史寧中. 關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式：對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)［J］. 課程·教材·教法，2012，32（7）：92-97.

［4］史寧中. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂與核心素養(yǎng)［J］." 教育研究與評(píng)論，2022（5）：18-27.

［5］中國(guó)社會(huì)科學(xué)院語(yǔ)言研究所詞典編輯室. 現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典［M］. 第7版. 北京：商務(wù)印書館，2021.

［6］康德. 純粹理性批判［M］. 藍(lán)公武，譯. 北京：商務(wù)印書館，1960.

［7］劉云章，馬復(fù). 數(shù)學(xué)直覺與發(fā)現(xiàn)［M］. 合肥：安徽教育出版社，1991.

［8］吳福能. 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的奧秘：試論數(shù)學(xué)直覺思維的形式［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1987（7）：1-3.

［9］王紅權(quán). 怎樣教好無理數(shù)［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（6）：18-22.

［10］FISCHBEIN E. The Theory of Figural Concepts［J］. Educational Studies in Mathematics，1993，24（2）：139-162.