興趣作引 算理為階

《“有理數的混合運算”教學設計》（以下統稱“文章”）一文發表在《中國數學教育》（初中版）2020年第4期，被中國人民大學《復印報刊資料（初中數學教與學）》2020年第6期全文轉載. 文章以浙教版《義務教育教科書·數學》七年級上冊“有理數的混合運算”一課為例，介紹了教師的備課理念、內容設計和教學反思. 文章具體說明了在數學教學活動中教師如何根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的要求、教材內容和學生的學情進行教學設計，通過激發學生的興趣，架設思維階梯，讓學生掌握有理數混合運算的法則，理解運算的合理性，優化算法，提升學生的運算能力.

一、文章的寫作背景

運算是義務教育階段數學課程的重要內容，它不僅是學習“數與代數”領域的基礎，也是“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”領域中不可或缺的部分. 對于學生來說，運算是必須具備的一種最基本、最重要的技能，是解決諸多數學問題的必要工具.《標準》在課程總目標的“數學思考”中提出了運算能力，說明運算能力是數學思考的重要內涵. 換言之，運算能力這一核心素養的培養，不僅要關注運算技能的提升，更要注重運算思維的培養，在技能與思維的有機結合中提升運算能力.

近幾年的初中數學學業水平考試對學生運算能力的要求不斷提高. 在閱卷的過程中，發現有相當一部分學生因對運算對象和運算法則不清晰、運算不合理等問題導致運算過程失分. 在運算教學的實施過程中，教師僅僅關注學生運算的準確性，并以題海戰術讓學生熟練掌握運算操作的情況屢見不鮮. 可以說，學生對運算課的印象普遍是形式單一、內容枯燥，難以產生學習興趣.

基于以上問題，文章作者從核心素養的立意出發，對“有理數的混合運算”一課進行了教學設計和實踐，并在第十一屆初中青年數學教師優秀課展示與培訓活動中進行了展示，獲得了一致好評. 文章是對這一節課的備課理念、內容設計及教學反思的整理和總結.

二、文章旨在說明的問題

如何在運算課中發展學生的運算能力，教師在教學設計時需從學生的需求和發展這兩個方面來考慮.

1. 創設兩類情境，激發學生的運算興趣

《標準》指出，無論是設計、實施課堂教學方案，還是組織各類教學活動，不僅要重視讓學生獲得知識技能，而且要激發學生的學習興趣. 在運算課的教學中，培養學生的學習興趣能促使學生積極分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，逐步提升運算能力. 如何激發學生的運算興趣？教師除了要設計具有趣味性的教學活動，還應關注學生的學習需求和學習期待，創設體現知識生長和知識價值的問題情境，啟發學生主動思考“為什么要學這種運算”“學了這種運算有什么作用”“接下來還有哪些運算”等問題，讓學生在情境中體會學習運算的必要性和價值.

學習需求即學習知識技能的需要. 對于學生來說，因所學知識技能的局限性導致問題無法解決，便會產生學習需求. 所以在教學設計時，教師要把即將學的運算知識置于整體的運算知識體系中，了解學生的最近發展區，創設體現知識生長的問題情境. 以設置懸念、產生認知沖突等方式激發學生的好奇心，促進學生主動思考“之前學了什么”“現在要學什么”“為什么要學”，使學生理解知識的來龍去脈，深刻體會學習運算知識的必要性，真正觸發學生學習的需求. 文章中的教學設計設置了“普通版24點”和“升級版24點”這兩個游戲. 學生在進行升級版游戲時，既可以利用小學四則混合運算的經驗去嘗試，也需要利用有理數混合運算的法則來支撐，由此體會到學習有理數混合運算的必要性. 通過這一方式激發學生的學習需求.

學習期待是個體對學習活動所要達到目標的主觀意向. 對于學生來說，知識的應用、問題的解決是讓他們對學習產生期待的有效途徑. 因此，在教學設計時，教師可以創設體現知識價值的應用情境，讓學生能利用所學知識解決問題，從而感受到成功的喜悅，體會數學學習的樂趣和價值. 在這類情境的創設中，教師既可以創設純運算的數學問題，也可以創設用運算解決的實際問題，還可以在學生已有經驗的基礎上創設具有挑戰性的運算問題，讓學生的學習期待具有持續性. 文章所給的教學設計中設置了一個實際問題情境，讓學生在解決的過程中體會有理數混合運算的實際價值，激發了學生對后續相關知識的學習期待.

2. 架設思維階梯，發展學生的運算能力

能夠按照一定的程序與步驟進行運算，稱為運算技能. 不僅會根據法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據條件尋求正確的、最優的運算途徑，稱為運算能力. 可見，運算能力不僅僅是一種操作層面的運算技能，更是一種思維層面的能力. 也就是說，從運算技能發展到運算能力，需要經歷圖1中的三個階段. 嚴格遵循運算法則，追求運算正確，熟練掌握運算技能，只是停留在低階思維. 既能理解運算的合理性，又能通過分析、比較，使運算變得靈活和簡潔，這便是高階思維的體現. 如何讓學生的運算思維在學習中拾級而上？需要教師在教學設計中架設合理的思維階梯.

由于學生對運算的普遍認識是“算對即可”，所以從運算法則到運算算理的進階是有一定難度的. 在教學設計時，教師需要引導學生去思考“怎樣算”“為什么要這樣算”等一系列問題，讓學生理解運算的合理性，即使運算符號增加、數系擴充，學生也能根據法則進行正確地運算. 教師可以從外力和內驅兩個維度為學生架設思維的階梯. 外力維度的架設，即在學生運用法則進行運算后，教師不僅要評價運算的正確性，更要對運算的合理性進行追問，引導學生回顧法則的產生過程和原理，幫助學生理解算理，厘清運算途徑，提升運算思維能力；內驅維度的架設，則更注重激發學生主動思考運算合理性的需要. 在教學設計時，教師需要考慮在學生按照法則運算正確的情況下，如何引發學生主動思考“為什么要這樣算”. 首先，教師要了解學生在運算中出現的常見錯解，然后將它們有機整合，呈現在學生的學習過程中. 在分析錯解產生的原因時，學生的運算思維將主動從法則走向算理，在追求運算合理性的過程中自主提升. 文章中的教學設計中設置了“練習2”這個環節，結合學生在解決“練習1”時出現的錯解，讓學生以“先獨立，后合作”的形式進行糾錯，有效利用預設、生成的錯解資源激發學生思考運算的合理性，讓學生的運算思維主動走向算理.

當學生能在理解算理的前提下按照法則進行運算時，教師還應注重學生運算能力的發展. 從運算能力的特征來看，教師應著重圍繞運算的靈活和簡潔來為學生架設思維的階梯. 在實施混合運算的過程中，由于某些算式結構的特殊性，一題多解的情況是十分普遍的，且一題多解恰恰體現了運算的靈活性. 教師在設計混合運算的教學時，可以在例題和練習題中設計一些結構較特殊的算式，使學生不僅可以按照混合運算的順序法則進行運算，又可以利用運算律、通分和約分等進行簡便運算. 這樣的一題多解既使學生鞏固了運算的法則、混合運算的順序法則，又培養了學生運算思維的靈活性. 此外，教師還應注重培養學生追求運算簡潔的主觀意識，在學生能靈活選擇多種方法進行運算時，教師可以從運算難度、時間、步驟等角度創設對比情境，讓學生在對比的過程中去繁求簡、自覺擇優，在分析、綜合、評價的過程發展高階思維，提升運算能力. 文章中的教學設計在例題和練習環節都設計了一定數量的具有特殊結構的算式，且逐步弱化結構的特殊性，在引導學生多途徑運算并對比擇優時，也注重培養學生分析運算條件的主觀意識.

三、結束語

總之，運算課的教學要以發展學生的運算能力這一核心素養為導向，教師在教學設計中要根據學生的認知水平、學習需求和學習期望激發學生學習運算的興趣，在學生能根據法則進行正確運算時，架設思維階梯，引導學生進一步理解算理、優化運算、追求簡潔，逐步優化運算思維，發展運算能力.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］沈瑩琪.“有理數的混合運算”教學設計［J］. 中國數學教育（初中版），2020（4）：21-24.