巧妙組合出新題 突出本質(zhì)考素養(yǎng)

摘" 要：近年來，很多中考數(shù)學試題由教材中的討論、習題和數(shù)學活動中的有關問題巧妙組合而來，詮釋了“題在書外，根在書內(nèi)”的命題原則，體現(xiàn)了中考命題的公平性，重點考查學生的推理能力、抽象能力、模型觀念、幾何直觀、運算能力等數(shù)學核心素養(yǎng). 通過對一道中考試題的研究，可以得到教學啟示：深度研究教材，培養(yǎng)學生的問題意識；培養(yǎng)理性精神，有效發(fā)展核心素養(yǎng)；重視“數(shù)學活動”，透過現(xiàn)象抓住本質(zhì).

關鍵詞：追根溯源；解法研究；教學啟示

2020年中考江蘇泰州卷第25題是一道很有創(chuàng)意的試題，凸顯了數(shù)學本質(zhì)，考查了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，思維含量高，具有較好的區(qū)分度. 本文從試題溯源、功能分析、解法研究幾個方面出發(fā)進行研究，并給出教學啟示，供研討.

一、試題呈現(xiàn)

題目" 如圖1，正方形[ABCD]的邊長為6，M為[AB]的中點，[△MBE]為等邊三角形，過點[E]作[ME]的垂線分別與邊AD，BC相交于點F，G，點P，Q分別在線段EF，BC上運動，且滿足[∠PMQ=60°]，連接PQ.

（1）求證：[△MEP≌△MBQ]．

（2）當點[Q]在線段[GC]上時，試判斷[PF+GQ]的值是否變化？如果不變，求出這個值；如果變化，試說明理由．

（3）設[∠QMB=α]，點[B]關于[QM]的對稱點為[B′]，若點[B′]落在[△MPQ]的內(nèi)部，試寫出[α]的范圍，并說明理由．

二、試題溯源

該道中考試題取材于蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“蘇科版教材”）中相關的討論、習題和數(shù)學活動（在此稱之為“源題”）. 試題溯源具體如下.

源題1" 如圖2，∠A = ∠B，∠1 = ∠2，EA = EB. 你能證明AC = BD嗎？（蘇科版教材八年級上冊“1.3 探索三角形全等的條件”第21頁“討論”中的第1題.）

源題2" 已知：如圖3，E是正方形ABCD對角線BD上的一點，且BE = BC，EF⊥BD，交DC于點F. 求證：DE = CF.（蘇科版教材八年級下冊“9.4 矩形、菱形、正方形”習題9.4第12題.）

源題3" 在正方形ABCD中，如圖4，如果點E，F(xiàn)，G分別在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足為M，那么GE與BF相等嗎？證明你的結(jié)論.（蘇科版教材八年級下冊第9章“中心對稱圖形——平行四邊形”復習題第19題第（2）小題.）

源題4" 折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法. 例如，在△ABC中，AB gt; AC（如圖5），怎樣證明∠C gt; ∠B呢？把AC沿∠A的平分線翻折，因為AB gt; AC，所以點C落在AB上的點C′處（如圖6）……（蘇科版教材八年級上冊第2章“軸對稱圖形”中的“數(shù)學活動 折紙與證明”.）

命題者首先將圖2中的△ACE和△BDE特殊化為大小不等的兩個等邊三角形，其中較小等邊三角形的邊長等于正方形ABCD邊長的一半，再將圖2嵌入正方形，使得較小等邊三角形的一邊與正方形ABCD邊AB上的BM重合，然后結(jié)合源題3，將大等邊三角形的一個頂點落在過點[E]且與[ME]垂直的直線FG上（點G，F(xiàn)分別在BC和AD上），另一個頂點落在GC上，即可得到圖1，題目中的第（1）小題的解答也水到渠成.

聯(lián)系源題2的解題思路，連接MF和MG，可以得到AF = EF，BG = GE，以及含有30°角的Rt△AMF，Rt△EMF，Rt△BMG，Rt△EMG. 又由（1）有BQ = EP，不難發(fā)現(xiàn)線段PF和GQ均與正方形的邊長有關，于是思考[PF+GQ]的值是否是定值的第（2）小題應運而生.

將源題4中的折紙表述為作對稱變換，很明顯，圖6中隨著AC與折痕夾角大小的變化，點C關于折痕的對稱點可能在三角形的內(nèi)部、邊AB上、三角形的外部. 因此，在圖1中，考慮點B關于[QM]的對稱點[B′]落在[△MPQ]的內(nèi)部、邊MP上、[△MPQ]的外部的問題浮出水面. 選擇前者，一道新穎的探索性試題呈現(xiàn)在我們眼前.

三、試題功能

1. 引領研究教材

這道中考試題是一道難度適中的幾何綜合題，它充分發(fā)揮了教材中素材的功能，詮釋了“題在書外，根在書內(nèi)”的中考命題理念，背景為所有學生所熟悉，減少了學生解題時的陌生感，體現(xiàn)了公平、公正的命題原則. 它有效打破了寄希望于通過大量“刷題”來提高學生應試能力的題海戰(zhàn)術，發(fā)揮了中考試題回歸教材、源于教材、變式拓展、優(yōu)化組合教材素材的良好導向作用，引領一線教師參與整合教材、研發(fā)教材、拓展教材，挖掘教材中素材的“生長點”“綜合點”“延伸點”，值得教師認真學習、仔細體會、自覺實踐、及時反思，不斷提升自己“用教材”的能力.

2. 突出數(shù)學本質(zhì)

根據(jù)中考數(shù)學命題改革的要求，中考數(shù)學綜合題必須突出數(shù)學本質(zhì)，緊扣核心知識，在核心知識的交會處設計，以考查學生的數(shù)學關鍵能力. 該中考試題題干簡約，內(nèi)涵豐富. 它以三角形和正方形為載體，強化了對幾何基本圖形的理解和線段、角等幾何元素間相互關系的轉(zhuǎn)化，涉及等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)、圖形的旋轉(zhuǎn)與翻折、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定、代數(shù)式的運算、不等式組的解法等初中數(shù)學的核心知識，凸顯了對數(shù)學基礎知識、基本技能（如線段和差倍分問題的處理策略）、基本方法（如探索性問題的常用思考方法等）和基本活動經(jīng)驗（如常用輔助線的添加等）的考查，較好地突出了數(shù)學學科的本質(zhì).

3. 考查核心素養(yǎng)

該中考試題立意新穎，融合自然，對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查層次分明. 第（1）小題屬于考查邏輯推理的基礎題，一般學生都能得分，它為解決難度較大的第（2）小題作了鋪墊. 第（2）小題則需要借助源題2中添加輔助線的經(jīng)驗，構(gòu)造出兩組全等的含30°角的直角三角形模型，借助圖形直觀，結(jié)合第（1）小題中的結(jié)論得到PE = BQ，可以想象線段PF和GQ均應與正方形的邊長有關，于是猜想PF + GQ是一個定值. 再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)，將PF和GQ分別用含PE和BQ的代數(shù)式表示出來，將說明PF + GQ是一個定值抽象成代數(shù)式的運算問題，通過數(shù)學運算即可得到答案. 對于第（3）小題，要求角的范圍，是個具有思考力度的探索性問題，學生必須通過畫圖操作弄清楚點B′落點的兩個極限位置，將內(nèi)隱的變化趨勢外顯，從整體上把握角的變化趨勢，再從數(shù)和形兩個不同角度進行探究，構(gòu)建數(shù)學模型，即可得到多種解決問題的方案. 不難看出，這道試題有效考查了學生的推理能力、抽象能力、模型觀念、幾何直觀、運算能力等素養(yǎng).

四、解法探究

第（1）小題比較簡單，就是將源題1中由∠1 = ∠2，利用“等量加等量，和相等”，推導出∠AEC = ∠BED，改為由∠BME = ∠QMP = 60°，利用“等量減等量，差相等”，推導出∠BMQ = ∠EMP. 但是這里的∠BME = ∠QMP = 60°，MB = ME，∠MBQ = ∠MEP = 90°等判定三角形全等的條件都需要通過邏輯推理得到. 閱卷情況表明，很多學生解題時缺少必要的邏輯推理過程，過度利用直觀，不能做到推理有據(jù)，得分率并不理想.

第（2）小題是一道典型的探索性問題，隨著解題者思考視角的不同，解法也不同. 現(xiàn)介紹三種常規(guī)的思路.

受源題2中輔助線作法的啟發(fā)，得到思路1.

受源題2中利用45°角證明線段相等的啟發(fā)，得到思路2.

由PF + GQ聯(lián)想到將它們轉(zhuǎn)化為一條線段，再求出這條線段的長即可得到結(jié)論. 由于線段GF是定長，因此可以將線段GQ轉(zhuǎn)化到線段FG上. 由此得到思路3.

第（3）小題要求點[B′]落在[△MPQ]的內(nèi)部時[α]的范圍，這是由圖形的位置關系推出數(shù)量關系，需要進行形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，由角的變化范圍構(gòu)造出角的數(shù)值不等式組，進而求出[α]的范圍. 隨著轉(zhuǎn)化視角的不同，思路也各異. 主要有以下幾種思路.

思路1：如圖10，由點[B′]落在[△MPQ]內(nèi)部需滿足的兩角間的大小關系，可以得到[∠B′MQlt;∠PMQ]，且[∠B′QMlt;∠PQM]. 因為[∠QMB=α]，∠ABC = 90°，所以∠BQM = 90° -[α]. 由折疊，得[∠B′MQ]=[∠QMB=α]，[∠B′QM]= 90° -[α]. 于是有[α]lt; 60°，且90° -[α]lt; 60°. 解得30°lt;[α]lt; 60°.

思路2：如圖10，由確保點[B′]落在[△MPQ]內(nèi)部的兩組角之間的大小關系，得到0° lt;[∠B′MP]lt; ∠PMQ，且0° lt;[∠B′QP]lt; ∠PQM. 同上可得[∠B′MQ]=[∠QMB=α]，[∠B′QM]= 90° -[α]. 因為∠PMQ = ∠PQM = 60°，所以[∠B′MP]= 60° -[α]，[∠B′QP]= 60°- （90° -[α]） =[α]- 30°.于是有0° lt; 60° -[α]lt; 60°且0° lt;[α]- 30° lt; 60°，解得30° lt;[α]lt; 60°.

思路3：從點[B′]分別落在PM和PQ上的兩種極端位置考慮，求出[α]的值，進而夾逼出點[B′]落在[△MPQ]內(nèi)部時[α]的范圍. 如圖11，當點[B′]落在線段PM上時，由（2）可知△MPQ是等邊三角形. 由折疊可知∠BMQ =[∠B′MQ]= ∠PMQ = 60°，即[α]= 60°；如圖12，當點[B′]落在線段PQ上時，由（2）可知△MPQ是等邊三角形，由折疊可知∠BQM =[∠B′QM]= ∠PQM = 60°. 所以∠BMQ = 30°，即[α]= 30°. 所以30° lt;[α]lt; 60°.

五、教學啟示

1. 深度研究教材，培養(yǎng)學生的問題意識

該道中考試題是由教材中的素材巧妙組合而成的，它告訴我們，以教材中的問題、例題、練習題、習題、復習題、數(shù)學活動、數(shù)學實驗、數(shù)學閱讀等為“根”，進行巧妙組合，開發(fā)利用，就可以生長出許多絢麗多彩的問題. 事實上，對于上述中考試題，若引導學生注意源題2中的正方形對角線，將此題與正方形的對角線組合，讓學生通過獨立思考、小組合作，又可以提出一些難度較大的新的問題. 例如，在點Q從點B向點C運動的過程中（不與點B，C重合），其他條件不變，可以提出以下問題：（1）若點P落在對角線BD上，求BQ的長；（2）若點P落在對角線AC上，求BQ的長；等等. 這啟發(fā)我們在平時的課堂教學中切不可舍本逐末，丟開教材而去依賴教輔資料，要引導學生深度研究教材中素材的開發(fā)利用，探究如何將教材中的相關素材進行改編、組合、變式、拓展等再創(chuàng)造，推陳出新，從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，讓學生在探究中潛移默化地學會發(fā)現(xiàn)和提出新問題，并分析和解決問題，不斷培養(yǎng)學生的問題意識，使之學會探索、學會發(fā)現(xiàn)、學會研究、學會創(chuàng)造.

2. 培養(yǎng)理性精神，有效發(fā)展核心素養(yǎng)

此題既通過證明三角形全等考查了演繹推理，又讓學生通過直觀、折疊、畫圖、測量猜想PF + GQ是否為定值、探索[α]的取值范圍等考查了合情推理，并利用數(shù)據(jù)分析、代數(shù)運算、構(gòu)造模型等對合情推理得到的猜想PF + GQ為定值和30°lt;[α]lt; 60°進行驗證、求解，實現(xiàn)了從能力立意到素養(yǎng)導向的轉(zhuǎn)變. 但考試結(jié)果表明，許多學生對兩種推理掌握的情況不太理想.《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》要求數(shù)學教學應關注對學生理性精神的培養(yǎng)，這是數(shù)學教學的重要任務之一. 數(shù)學中的每一個推理都必須有理有據(jù)，整個推理過程必須持之以理. 因此，數(shù)學教學可以看成是一種精神的培養(yǎng)，一種理性素養(yǎng)的培養(yǎng). 在教學中，教師既要關注學生言必有據(jù)、演繹推理素養(yǎng)的培養(yǎng)，又要重視學生直觀感知、合情推理能力的提升，要強化學生兩種推理能力的同步發(fā)展，讓學生的幾何直觀、數(shù)據(jù)分析、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識等素養(yǎng)得到有效發(fā)展，確保學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在課堂上落地生根.

3. 重視數(shù)學活動，透過現(xiàn)象抓本質(zhì)

此題的設計融入了蘇科版教材中數(shù)學活動的素材（用折紙的方法探索、證明三角形邊角的不等關系），說明“數(shù)學活動”已走進中考，這使得試題形式變得豐富多彩，不再是“已知—求證（解）—證明（解答）”的老面孔，而是像此題這樣將操作思考、畫圖建模、觀察猜想、計算說理等多方面能力的考查融于一體，使數(shù)學變得靈動起來，有趣好玩，這不僅拉近了數(shù)學與學生的距離，更有效改變了學生的數(shù)學學習方式，使學生在操作與體驗中主動參與、主動實踐、主動思考、主動探索、主動創(chuàng)造，積累基本活動經(jīng)驗，加深對數(shù)學本質(zhì)的領悟與理解. 值得一提的是，數(shù)學活動只是載體，是外在的表現(xiàn)，而思維才是關鍵，是內(nèi)在的核心，這對數(shù)學活動的教學與研究提出了更高要求. 因此，在數(shù)學活動的教學中，教師要切實轉(zhuǎn)變教學行為，精心設計教學過程，引導學生變“聽數(shù)學”為“做數(shù)學”，變“看演示”為“動手操作”，變“機械接受”為“主動探究”，使之學會透過活動現(xiàn)象看清數(shù)學本質(zhì)（如此題中的折疊本質(zhì)是軸對稱變換），引領自己的數(shù)學思考，尋找不同的說理途徑，最終實現(xiàn)用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］陳德前. 一道江蘇省泰州市中考試題賞析［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2015（9）：57-60.

［3］季春龍，陳德前.“折”出新精彩“展”出新天地：對一道中考數(shù)學實驗試題的賞析［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2019（10）：30-33，42.

［4］季春龍，陳德前. 立足教材習題" 凸顯核心素養(yǎng)［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2020（11）：46-51．