因題而思·思而求變·變而得法

摘" 要：以一道中考幾何壓軸題為例，深入分析了一種初中常見的幾何模型——“手拉手”模型. 通過一題多思、一題多變，突出體現分析問題和解題突破時應該注重模型的呈現、聯想、構造、應用等過程，鍛煉學生的思維，提升學生的應變能力.

關鍵詞：一題多變；幾何模型；思想方法

幾何模型是中學階段幾何學習不可或缺的一部分. 不難發現，初中幾何所涉及的經典模型往往都有自己的特點和獨特的解法. 其中有一類幾何問題滿足如下條件：① 有公共頂點的兩個等腰三角形；② 頂角相等. 像這樣的模型通常被稱為“手拉手”模型. 此類模型具有什么特點和解法呢？2021年中考湖北武漢卷第23題就考查了“手拉手”模型，試題的難度相對以往不算大，但對于中等生來說還是有一定的難度. 此題的難點在于分析出問題的本質，將平時學過的相關模型運用到解題過程中. 學生往往是容易找到解題的切入點，但又不能完全解決問題. 下文將結合2021年中考湖北武漢卷第23題和大家一起討論解決此類問題的關鍵與本質，以期對教學有所幫助.

一、原題呈現

題目" 問題提出：如圖1，在[△ABC]和[△DEC]中，[∠ACB=∠DCE=90°]，[BC=AC]，[EC=DC]，點[E]在[△ABC]內部，直線[AD]與[BE]交于點[F]. 線段AF，BF，CF之間存在怎樣的數量關系？

問題探究：（1）先將問題特殊化. 如圖2，當點D，F重合時，直接寫出一個等式，表示線段AF，BF，CF之間的數量關系；

（2）再探究一般情形. 如圖1，當點D，F不重合時，證明（1）中的結論仍然成立.

問題拓展：如圖3，在[△ABC]和[△DEC]中，[∠ACB=][∠DCE=90°]，[BC=kAC]，[EC=kDC]（[k]是常數），點[E]在△ABC內部，直線[AD]與[BE]交于點[F]. 直接寫出一個等式，表示線段AF，BF，CF之間的數量關系.

二、解法研究

第（1）小題要求直接寫出結論，由已知條件很容易得到[△BEC≌ △ADC]，轉化線段就可以得出三邊關系. 第（2）小題中，當點E在其他位置，點D，F不重合時，實際上是對第（1）小題考查的知識進行遷移，可以通過構造新的“手拉手”模型，利用三角形全等得到三條線段的數量關系. “問題拓展”將已知條件中的線段相等變成了成比例問題，于是猜想：是否可以將問題中的全等問題變為相似問題？于是順著這個思路，想到了構造類似的“手拉手”模型來解決問題.

下面針對此題給出一種具體的解答過程.

（2）證明：如圖4，過點[C]作[CG⊥CF]交[BE]于點[G]，

則[∠FCG=∠ACB=90°].

所以[∠BCG=∠ACF].

因為[∠ACB=∠DCE=90°]，

所以[∠BCE=∠ACD].

因為[AC=BC，DC=EC]，

所以[△ACD≌△BCE].

所以[∠CAF=∠CBG].

進而得[△ACF≌△BCG].

所以[AF=BG，CF=CG].

問題拓展：如圖5，在BF上取點G，使得[BG=kAF].

因為[BC=kAC]，[EC=kDC]，

因為[∠ACB=∠DCE=90°]，

可證得[△BCE]∽[△ACD].

可得[∠CBG=∠DAC].

因為[BG=kAF]，

三、模型歸納與解題反思

1. 模型歸納

回顧此題中的圖2，可以發現[△ABC]和[△DEC]是有一個公共頂點[C]的兩個等腰直角三角形，且頂角都為[90°]，因而其本質是以點[C]為公共頂點的兩個等腰直角三角形的“手拉手”模型. 要弄清楚圖2中的三條線段AF，BF，CF之間的關系，關鍵是要得到[AF=][BE]，可以通過證明兩個三角形全等得到. 也可以將問題理解為：將[△BCE]繞點[C]順時針旋轉[90°]得到[△ACD]，也就是旋轉全等.

綜觀整道試題，其實質是三角形旋轉全等、旋轉相似的典型例子.“問題探究”中的兩個問題實質是旋轉全等，第（1）小題是完整的旋轉全等圖，第（2）小題需要添加輔助線變為旋轉全等圖. 常遇到的圖形是將三角形旋轉90°和60°，基本圖形分別如圖6和圖7所示.

“問題拓展”的實質是旋轉相似問題，從條件中可知[△BCA]與[△ECD]相似，而旋轉相似必成對，可以得到[△BCE]與[△ACD]也相似. 類比“問題探究”的解題方法，根據解題思想的一致性，可以考慮將線段[FC]旋轉[90°]構造類似的相似，這里是構造了[BG=kAF]，可以證得[△BCG]與[△ACF]相似. 此類問題是常見的旋轉相似，基本圖形如圖8所示.

2. 解題反思

通過對近幾年中考數學試卷的分析，發現很多地區的中考試卷中都存在基本圖形或者類似此類問題命題的方式. 試題中常常包含三個部分：第一個部分一般直接告訴相關模型基本圖形或基本方法，第二個部分是在第一個部分的基礎上進行適當變形，第三個部分是對整個問題的拓展研究，需要準確把握模型的動向，發散思維. 每個問題貌似相互獨立，實則聯系緊密，層層遞進. 在對基本圖形進行分析時，我們要善于找到基本圖形中的隱線，順藤摸瓜，發現問題的本質. 學生只有追根溯源，找到模型的共通點，找準基本模型的核心要素，才能提升數學核心素養.

四、拓展研究

回顧對題目的分析，仍然有許多思考. 在這一系列的問題中，題目中分別限定了點E的位置，固定了角度，以及三角形的兩條邊相等三個條件. 于是猜想：當改變這幾個條件中的部分限制條件時，結論會發生怎樣的改變？解題方法是否還能延續？于是有了下面的想法.

（1）位置變化.

當點E的位置發生改變，上述其他條件不改變時，“問題探究”第（2）小題中的結論是否仍然成立？

（2）角度變化.

當問題中的角度發生變化，其他條件不變時，上述結論會發生怎樣的改變？

下面分別從兩種情況來討論. 情況1：當[∠ACB=]

[∠ECD=60°]時；情況2：當[∠ACB=∠ECD=α]，即為任意角時.

情況1：如圖11，過點[C]作[∠FCG=][60°]交[BE]于點[G]，由已知可得[△ACD≌△BCE]，再證[△ACF≌][△BCG]，易得[△CGF]是等邊三角形. 所以[BF-AF=][BF-BG=GF=CF].

（3）當角度和比值都變化時.

當角度和比值都發生改變時，也討論兩種情況：∠ACB = ∠ECD = 60°且邊的比值為[k]的情況與角為任意角，邊的比值為[k]的情況.

① 如圖13，在[△ABC]和[△DEC]中，[∠ACB=∠DCE=]

[60°]，[BC=kAC]，[EC=kDC]（[k]是常數），點[E]在[△ABC]內部，直線[AD]與[BE]交于點[F]. 則線段AF，BF，CF之間的數量關系是什么？

② 如圖14，在[△ABC]和[△DEC]中，[∠ACB=∠DCE=][α，] [BC=kAC]，[EC=kDC]（[k]是常數），點[E]在[△ABC]內部，直線[AD]與[BE]交于點[F]. 則線段AF，BF，CF之間的數量關系是什么？

基本思想：在BF上取點G，使得[BG=kAF]，同理得[∠GCF=∠BCA=α]. 對于[△GCF]，有[∠GCF=α]，可

五、回顧總結

“手拉手”模型是幾何基本圖形中的一種常見模型，在三角形全等、相似，等邊三角形、等腰三角形的判定，截長補短，角平分線性質，四點共圓的性質與判定等幾何問題中應用廣泛，也常常用來求最值. 教師應該多思考如何啟發學生發現基本圖形. 在教學幾何解題的過程中，要注重培養學生對基本幾何知識掌握的熟練程度，引導學生主動識別、提煉基本圖形. 同時，要積極引導學生的思維順著基本圖形的隱線前進，有效促進學生的思維正向遷移，將發散思維的訓練滲透在每一節課的教學中. 在平時的教學中，在進行模型滲透時，要多關注解題思路的分析和解法的自然生成，加強對試題內涵的解讀，注重提煉思想方法，整個過程的關鍵在于題型設計和思維的擴散，讓學生內化思想、形成己見. 這既是數學的魅力，也是數學的藝術. 要想學生數學核心素養的培養扎實推進，教師一定要注重教學的預見性和針對性，讓教學更接地氣.

參考文獻：

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［3］陳耀忠. 基于核心素養的試題研究：以雙等腰直角三角形旋轉圖形為例［J］. 中國數學教育（初中版），2017（7 / 8）：21-25.