基于素養考查的中考壓軸題解讀與解法評析

摘" 要：中考壓軸題通常以原創引領、解法多元為特征，注重考查學生的綜合能力，體現核心素養的考查意圖. 以一道中考壓軸題為例，從素養特色解讀、解法評析和教學導向反思三個方面進行了分析和思考，對指導解題教學、提升學生的解題能力具有重要意義.

關鍵詞：核心素養；解題教學；綜合能力

綜觀近幾年全國各地區中考試卷中的壓軸題，都能把核心素養理念落實到試題當中. 2020年中考甘肅張掖卷第28題以經典的數學范例為基礎，試題設置由易到難，立足模型，解法多元，彰顯思想，注重考查學生的綜合能力，體現了數學素養的考查意圖.

題目" 如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線[y=][ax2+bx-2]交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，且OA = 2OC = 8OB. 點P是第三象限內拋物線上的一動點.

（1）求此拋物線的表達式；

（2）若PC∥AB，求點P的坐標；

（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標.

一、素養特色解讀

題目以二次函數為背景，綜合動點、面積、最大值等熱點問題進行設計，把代數與幾何問題有機融合，其中蘊含了方程思想、模型思想、數形結合等數學思想，有效考查了學生的運算能力、模型觀念、幾何直觀等數學核心素養.

1. 梯度明顯，挖掘經典

題目設置了3道小題，層次分明，梯度明顯，過渡自然.

第（1）小題求拋物線的表達式和第（3）小題求三角形面積的最大值都是經典問題. 第（2）小題求點的坐標是從特殊到一般的思維過渡，是點到方程的典型問題. 第（1）小題中，從已給信息可知，拋物線的表達式有兩個未知數a和b，要求拋物線的表達式至少要知道拋物線上兩個點的坐標，該題中并沒有直接給出點的坐標，通過線段間的數量關系求出相關點的坐標，進而求出拋物線的表達式. 第（2）小題求點的坐標，題目難度比第（1）小題大. 第（3）小題求三角形面積的最大值及此時動點P的坐標，具有知識覆蓋面廣、靈活性強、方法多元、難度系數大等特點. 因此，從學業水平測試和考查學生數學能力的角度來看，該題真正體現了讓不同的學生有不同的收獲.

2. 立足模型，解法多元

該題立足基本數學模型，多向思考，解法多元. 題目將拋物線表達式的典型結構和三角形面積的最大值問題整合在一起，周密設計了幾種常見的數學模型，可以通過不同的方法來解決. 解題的關鍵是靈活運用多種數學模型，化生為熟，化繁為簡. 第（1）小題求拋物線的表達式，常用的方法有一般式、交點式、頂點式，這是用待定系數法求二次函數表達式的通用數學模型. 第（2）小題求點P的坐標，立足模型思想，一般從點到式、式到方程、方程到解、解到坐標的思維過程去解決，引領學生經歷從特殊到一般的認知過程，彰顯了對數學核心素養的考查要求. 第（3）小題求三角形面積的最大值，需要添設輔助線構造相關模型，常用的方法有割補法、解析法. 這樣的試題有利于發展學生的運算能力、幾何直觀、推理能力、空間觀念、應用意識和創新意識等，對于學生數學核心素養的提高有一定的導向作用.

3. 數形結合，彰顯思想

該題通過平面直角坐標系將拋物線與三角形等基本圖形結合，彰顯了數形結合思想. 第（1）小題通過已知線段的數量關系得到點的坐標，考查數形結合的思想方法，達到“以形助數”的效果. 解第（2）小題，需要學生從已知出發畫出圖形，由圖形的直觀性求解. 第（3）小題求三角形面積的最大值，要添加輔助線“補”“割”圖形來解決問題，使幾何和代數統一為整體，充分發揮了數與形的雙重優勢，真正體現了“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.

二、解法探究

探究解法是提高解題能力的有效途徑，是中考復習深度教學的起點，教師只有教會學生尋找解題的通性通法，突破思維，疏通思路，深度思考，才能體現中考壓軸題的價值和意義，達到以學定教的目的.

1. 第（1）小題的解法探究

解法1（一般式）：由[y=ax2+bx-2]，點[C0，-2]，得OC = 2.

又因為OA = 2OC = 8OB，

【評析】一般式法是常用的求二次函數表達式的方法，主要考查學生從點到式、式到方程、方程到函數、抽象到直觀的思維過程，發展了學生的抽象能力、模型觀念、運算能力等，促進學生養成深度思考的數學學習習慣.

【評析】交點式法是一種特殊的，運算量較小的求二次函數表達式的方法，主要考查已知點的坐標與交點式模型的聯系等. 從“二元”轉換到“一元”，構建一元一次方程的思維過程，把問題化難為易，減小了運算量，體現了化歸思想.

【評析】頂點式法是一種簡約、高效地求拋物線表達式的方法，主要考查學生對頂點式模型的理解和綜合應用能力. 如果知道頂點坐標、對稱軸、最值，可以建構頂點式模型，然后找到求拋物線的表達式的路徑，發展學生數學思維的靈活性和深刻性，提高學生分析問題和解決問題的能力，最終達到提升學生運用數學模型解決實際問題的能力.

2. 第（2）小題的解法探究

解：如圖2，當PC∥AB時，根據平行于x軸的直線上點的特征，得點P和點C的縱坐標都等于-2.

【評析】根據在平面直角坐標系中，平行于x軸的直線上所有點的縱坐標相等，提煉出已知數和未知數的等量關系，建立方程模型，列出一元二次方程，體現了數形結合的數學思想. 這一過程很好地發展了學生的抽象能力和模型觀念.

3. 第（3）小題的解法探究

假設第三象限內的拋物線上存在點[Px，y]（x lt; 0，y lt; 0）使得△PAC的面積最大，可得如下解法.

【評析】通過分割把一個不規則的三角形轉化成規則的、易于表示的三角形的和差來解決，即三角形的面積等于四邊形的面積減去直角三角形的面積，而四邊形的面積又可分割成兩個新的易于表示的三角形面積的和，使學生經歷從一般到特殊、從直觀到演繹的思維過程，化難為易，化繁為簡，在分析圖形、構造圖形、推理論證的過程中提升學生的幾何直觀和推理能力.

【評析】通過補形把不規則圖形補成規則圖形，利用幾個特殊的圖形的和差來解決問題，即三角形的面積等于直角梯形的面積減去兩個直角三角形的面積，達到了化不規則為規則的目的，開闊了學生的解題思路，從而提高學生的解題能力.

對于第（3）小題，除了上述的“分割”和“補形”這兩種通用方法，還有一些特殊的解題方法. 下面就以面積法為例進行說明.

解法3：如圖5，過點P作PD⊥AC，垂足為點D，作PE⊥OA，垂足為點E，交AC于點F，

所以當m = -2時，△PAC的面積最大，最大值為8.

【評析】直接應用面積法獲得結果，依靠了幾何直觀，而幾何直觀的前提是通過三角形相似或三角函數的知識，用含有未知量的代數式表示出邊AC上的高，直接表示出三角形的面積. 這就需要學生具備一定的符號意識和運算能力，利用二次函數的有關知識求出三角形面積的最大值和點P的坐標，這其中也應用了模型思想和演繹推理驗證. 教學中，教師要引導學生經歷完整的問題解決過程，讓數學核心素養自然發生，有效落地.

三、教學反思

1. 回歸教材，深挖細品

數學教材是落實數學課程目標、實施數學教學的重要資源. 因此，在講解綜合題的過程中，教師要注重梳理知識的來龍去脈，引領學生回歸教材，深挖細品. 教學中要讓學生知道試題中的數學知識“從哪里來”，又會“到哪里去”. 教師可以引導學生結合教材中的重點例題和習題復習核心概念，讓學生知道這些知識點的發生發展過程，加強學生對知識的整體建構能力.

2. 滲透思想，適時而用

數學思想的滲透是一個長期的過程. 二次函數這部分內容可滲透的數學思想較多，教師要緊密結合學情，引導學生綜合運用函數、方程、方程組、幾何圖形等數學模型，逐步培養學生用數學思想去思考問題、解決問題的習慣，發展學生的應用意識和創新意識. 第（3）小題要求在平面直角坐標系中求三角形面積的最大值，這是一個抽象的建模過程，首先要把它轉化成一個二次函數求最值的問題，再利用二次函數求最值的方法求出三角形面積的最大值. 因此，教師在教學中要逐步滲透和引導學生不斷感悟模型思想，從相對簡單到相對復雜，從相對具體到相對抽象，使學生逐步積累基本活動經驗，掌握數學建模方法，形成運用數學模型去思考問題的習慣，從而培養學生的數學核心素養.

3. 訓練思維，深度提升

數學是思維的體操. 教數學一定要教思維，如果將數學問題通過圖形的直觀加以理解，數形結合一定會讓學生更容易接受. 因此，教思維盡量要以基本圖形為載體，教學生逐步養成畫圖、看圖的好習慣，并鼓勵學生從圖形中發現和提出問題，達到研究“數”的目的，但也不能忽視從“數”的角度觀察、分析、歸納的代數推理能力，而是要學會從“數”和“形”兩個方面認識數學，引導學生養成“見數想形”“看形思數”的思維習慣，將相對抽象的思考對象“圖形化”，從“形”的方面感知數學，從“數”的方面解決問題，培養學生的直觀意識和創新精神.

總之，在日常教學中，著眼于學生的發展，教師要通過自然的幫助讓學生將每道題化生為熟，并將其改編成熟悉的經典模型；要引領學生積極思考，引導學生提出問題、分析問題，使思維逐步深入和提升，形成快捷、高效和實用的解題思路，養成多變思考、一題多解的解題習慣，最終達到解決問題的目的.

參考文獻：

［1］劉云章，馬復. 數學直覺與發現［M］. 合肥：安徽教育出版社，1991.

［2］李永明. 以靜制動" 自然生成：以2016年甘肅省張掖市中考數學卷第28題為例［J］. 中學數學，2017（8）：71-73.