尋徑顯思維·明理見本質·回顧促提升

摘" 要：尺規作圖具有“考查數學能力，凸顯數學思考；聚焦核心知識，突出知識整合；立足核心素養，關注方法探究”的作用. 文章借助波利亞的四步解題法，從“定”的位置關系和“定”的數量關系出發，剖析了不同的解題路徑，自然生成了不同的解法. 通過深入分析，獲得了“重尋徑，輕模仿；重明理，輕操練；重回顧，輕結果”的教學啟示.

關鍵詞：尺規作圖；作圖路徑；作圖原理

近年來，尺規作圖作為江蘇省南京市中考命題的熱點，不僅考查學生的作圖操作和知法明理，同時注重考查學生的思維能力和創新意識. 本文以2021年中考江蘇南京卷第25題為例，剖析了尺規作圖題的一些自然解法及對教學的啟示.

一、試題呈現

題目" 如圖1，已知P是⊙O外一點. 用兩種不同的方法過點P作⊙O的一條切線. 要求：（1）用直尺和圓規作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

二、試題解法探析

尺規作圖考查的不僅是作圖，也包括作圖前的精準分析和作圖后的嚴謹證明. 對于此題，學生在作圖前需思考如何作圓的切線. 解題的關鍵是根據題意畫出草圖，根據草圖進行建模構圖，再分解成基本作圖，逐步操作. 由分析得出作圓的切線即作直角，進而將問題轉化為如何作出直角，這是解決此題的難點，需要學生深入探究. 可聯想到產生直角的路徑有以下幾種：（1）直角三角形；（2）直徑所對的圓周角是直角；（3）勾股定理的逆定理；（4）等腰三角形“三線合一”的性質；（5）直角三角形斜邊中線定理的逆定理；（6）全等三角形；（7）相似三角形.

基于以上分析，從題目中的已知條件和未知條件及“定”的位置關系和數量關系出發，剖析不同的解題思路.

1. 抓住“定”的位置關系

由PO的位置是確定的，可以聯想到以PO為直徑作圓，也可以過PO上某一點作垂線.

思路1：構造以PO為直徑的圓.

分析：作切線即構造直角，可以將直角置于圓中，利用直徑所對的圓周角是直角，則直角頂點在以PO為直徑的圓上. 因為直角頂點同時在⊙O上，所以直角頂點為兩圓的交點. 此種構圖方式考查了學生的幾何直觀素養.

方法1：如圖2，連接OP，作線段OP的垂直平分線，得到線段OP的中點G；以點G為圓心、OG長為半徑作圓，⊙G交⊙O于點M，連接PM. 則直線PM即為所求.

【評析】作切線即構造直角，利用“直徑所對的圓周角是直角”解決問題，是容易聯想的方法.

思路2：作PO的垂線，借助三角形全等將直角復制到所求位置.

分析：要產生直角，可以先間接構造出直角，再將直角復制到所求位置. 題目中PO的位置是確定的，即在由點P，O和要求的切線的切點所構成的直角三角形中，斜邊PO的長和一條直角邊的長是確定的. 由此聯想到構造全等三角形，利用全等三角形對應角相等，恰能實現復制功能.

方法2：如圖3，連接OP，設OP與⊙O的交點為點M，過點M作OP的垂線MN；以點O為圓心、OP長為半徑作弧，交直線MN為點H，連接OH，交⊙O于點R，連接PR，則直線PR即為所求.

方法3：如圖4，連接PO并延長交⊙O于點E，過點E作PE的垂線EF；以點O為圓心、OP長為半徑作弧，交直線EF于點G，連接OG；以點P為圓心、GE長為半徑作弧，交⊙O為點S，連接PS，則直線PS即為所求.

【評析】方法2是利用“SAS”構造全等三角形，方法3是利用“SSS”構造全等三角形. 這兩種方法均由兩個三角形全等得對應角相等，將直角復制到所求位置，進而求得切線，方法巧妙.

思路3：作以PO為斜邊的直角三角形，借助同弧所對的圓周角相等，將直角轉移到所求位置.

分析：要作直角，聯想到作直角三角形，再利用同弧所對的圓周角相等，將直角轉移到圓上. 對于作直角三角形，則聯想到過直線外一點作已知直線的垂線和勾股定理的逆定理. 其中，借助勾股定理的逆定理的構圖方法對學生的幾何直觀素養要求較高.

方法4：如圖5，連接OP，作射線PE，過點O作射線PE的垂線，交PE為點F；作PF的垂直平分線，交PO為點Q；以點Q為圓心、OQ長為半徑作圓，交⊙O為點K，連接PK，則直線PK即為所求.

方法5：如圖6，連接OP，作射線OQ，以點O為圓心、任意長為半徑作弧，交射線OQ于點A；以點A為圓心、OA長為半徑作弧，交射線OQ為點B；以點B為圓心、OA長為半徑作弧，交射線OQ于點C；以點C為圓心、OA長為半徑作弧，交射線OQ于點D；以點D為圓心、OA長為半徑作弧，交射線OQ于點E，連接PE；分別作∠FDO = ∠GCO = ∠HBO = ∠IAO = ∠PEO，依次交PO為點F，G，H，I；以點P為圓心、PI長為半徑作弧；以點O為圓心，OG長為半徑作弧，兩弧交于點K，連接PK，OK；作PK的垂直平分線ST交PO為點J，以點J為圓心、OJ長為半徑作⊙J，交⊙O于點V，連接PV，則直線PV即為所求.

【評析】方法4由直角聯想到作直角三角形，也符合學生的思維路徑. 方法5運用勾股定理的逆定理構造直角，但是此題中只知道直角三角形的斜邊，因此需要將斜邊PO五等分. 設PO的長度為5，可得PI的長度為4，OG的長度為3，進而可以依據勾股定理的逆定理作出直角三角形. 但是最后仍然需回到方法4. 方法5的操作過程煩瑣，耗時較長，不是優解.

尺規作圖是一種不需要寫證明過程的證明題. 此題抓住“定”的位置關系分析、作圖，即根據題目中給出的已知條件，通過作圖，逐步靠近目標，最終獲得結論. 也可以從結論出發逐步尋求使其成立的條件，直到所需要的條件均為已知，即先假設結論成立，再逆推得出使結論成立的已知條件. 下面抓住“定”的數量關系，得出尺規作圖的解題步驟．

2. 抓住“定”的數量關系

分析：要作切線，只需要構造直角，要產生直

【評析】方法1中線段PO的中點G是通過作PO的垂直平分線得到的. 除此之外，容易聯想到由等腰三角形“三線合一”的性質得到線段PO的中點. 再運用直角三角形斜邊中線定理的逆定理——如果一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形（此結論的圖形語言是一種基本圖形，可作為解題經驗），也可以得到直角.

思路5：作2PO和2r長度的線段，借助“A字形”相似轉移直角.

方法7：如圖9，作射線PO，以點O為圓心、OP長為半徑作弧，交射線PO于點P′；設PP′與小⊙O交于點A，B，以點P′為圓心、AB長為半徑作圓，交大⊙O于點Q，連接PQ，QP′，過點O作線段PQ的垂線OH，交PQ于點D，則PD所在直線即為所求切線.

【評析】該方法利用相似三角形的對應角相等轉移直角，作圖方法簡潔，考查了學生的幾何直觀和推理能力.

思路6：作2r，借助等腰三角形“三線合一”構造直角.

分析：由切線垂直于過切點的半徑，聯想到利用等腰三角形“三線合一”的性質構造直角. 由于2r和PO的長度是確定的，容易聯想到構造腰為PO、底邊為2r的等腰三角形. 如圖10，假設PG為⊙O的切線，則∠PGO = 90°，又因為PH = PO，利用等腰三角形“三線合一”的性質可得OH = 2OG，所以需要將OG倍長，確定點H，即可作圖.

方法8：如圖11，連接PO并延長PO，交⊙O依次為點J，K，以點P為圓心、OP長為半徑作弧，以點O為圓心、JK長為半徑作弧，兩弧的交點為點H，連接PH，OH，OH交⊙O于點G，連接PG，則PG所在直線即為所求切線.

【評析】構造腰為PO、底邊長為⊙O直徑長度的等腰三角形，恰使底邊的中點落在⊙O上，利用等腰三角形“三線合一”的性質可以得到直角. 該方法作圖簡潔，易于聯想，是一種優解．

思路7：借助三角形相似，作與切線長相等的線段，轉換線段為切線長.

分析：切線的長度是確定的，切點是待定的，確定切點是作圖的關鍵環節. 由于圓外一點P到圓的最近距離和最遠距離是確定的，它們的乘積也是確定的，故聯想到利用射影定理和切割線定理確定切點的位置. 構造兩次三角形相似，即先作與切線長相等的線段，再將此線段轉換為切線長，這種方法的本質是將邊的數量關系轉化為形的位置關系.

如圖12，假設PD為⊙O的切線，切點為點D，連接DM，DN，DO，可得[∠PDO=90°，] 即[∠PDM+∠ODM=][90°.]因為MN為⊙O的直徑，所以[∠NDM=90°.] 可得[∠PDM=]∠ODN. 又因為∠ODN = ∠OND，所以∠PDM = ∠OND. 從而可以證得[△PDM∽△PND.] 得PD2 = PM·PN. 作以PN為直徑的圓，過點M作PN的垂線，交圓于點G，所以[∠PGN=90°，∠PMG=90°.] 由此可以證得[△PMG∽△PGN.] 得PG2 = PM·PN. 所以[PG=PD. ]所以先作出PG，再作出與PG等長的線段PD與⊙O相交于點D，即可完成作圖.

方法9：如圖13，連接OP，設OP與⊙O交于點M，延長PO交⊙O于點N，作PN的垂直平分線EF，交PN于點H；以點H為圓心、PH長為半徑作⊙H；過點M作PN的垂線交⊙H于點G，連接PG，GN，以點P為圓心、PG長為半徑作弧交⊙O于點D，連接PD，則PD所在直線即為所求切線.

【評析】這種方法要求學生對三角形相似、射影定理、切割線定理掌握得非常熟練，對學生的知識整合能力也提出了更高的要求.

3. 試題拓展

拓展1：題干同題目，若點P在⊙O上，用兩種不同方法過點P作⊙O的切線.

拓展2：在圖1的⊙O上求作一點Q，使得∠OQP = 60°.（要求：用兩種不同的方法.）

三、教學啟示

1. 重尋徑，輕模仿

對于綜合性的尺規作圖題，要引導學生依據試題給出的條件畫出草圖，根據草圖分析哪些元素是確定的，哪些元素是不確定的，并結合結論思考對于不確定的元素需要滿足什么條件，從而選擇適合的作圖方式. 例如，此題中要求作切線，即作直角，教師在教學中應引導學生思考有哪些途徑可以產生直角，讓學生聯想產生直角的路徑（如圖14），鎖定其中某種路徑后，再對選定路徑的具體步驟進行推敲，思考每一步需要哪些基本作圖. 因此，尺規作圖前的尋“徑”，能夠體現學生思維的靈活性和創新性.

2. 重明理，輕操練

教師在日常的教學中注重作圖技能傳授的基礎上，更應該注重教學生理解作圖方法中蘊含的數學本質. 也就是說，教師要引導學生把尺規作圖題當作幾何證明題，實現圖形、文字、符號語言之間的相互轉化，使學生對每一步的作圖要能“知其然，知其所以然”. 明理既能培養學生嚴謹的推理能力，又能促使學生鞏固相關知識并完成知識網的建構. 在尺規作圖教學中，筆者發現有的學生僅僅會作圖，但是不會用文字說明，更不知作圖的原理. 教師在教學中要讓學生多動手畫、多動口說、多動筆證，注重讓學生理解知識的生成過程，促使學生抓住問題的本質，強化學生對知識的應用，引導學生深刻體會作圖原理，準確提取作圖依據，并在此基礎上規范學生作圖語言的表達. 因此，只有明白作圖中蘊含的道理，方能理解尺規作圖的本質，從而將已有的知識和經驗遷移、內化.

3. 重回顧，輕結果

綜合作圖題本質上考查的是五種基本作圖、基本圖形及核心知識的融合，需要學生多維度、全方位、深層次地思考如何建構符合題意的圖形. 尺規作圖教學中，教師應該注重引導學生歸納作圖思路. 由探究發現，尺規作圖題的解題過程類似于波利亞的解題四步法，概括如下：（1）理解題意——畫出草圖（分析已知點和未知點）；（2）擬訂方案——建模構圖（根據未知點滿足的條件建模）；（3）執行方案——尺規作圖（作出滿足條件的未知點）；（4）回顧反思——推理論證（論證所作圖即為所求）. 在這四個步驟中，擬訂方案是關鍵，即如何建模構圖，同時強調回顧反思時的推理論證是不可缺少的環節. 回顧反思時，教師要注意引導學生思考是否還有其他作圖方法，并對不同作圖方法進行比較、分析，做到多解歸一. 在此基礎上，教師還可以對所探究的尺規作圖題進行變式，促進學生思維的縱深發展.

因此，對于綜合作圖題的教學，教師要讓學生經歷幾個關鍵環節：畫出草圖—分析作圖條件—探究作圖路徑—選擇作圖方法—明晰作圖原理—歸納作圖思路—變式拓展—回顧反思. 同時，要引導學生思考“作什么？怎么作？為什么這么作？會有不同作法嗎？”等問題，使學生不僅會作、會說、會證，還要會用不同方法作圖，在探究不同作圖方法的過程中彰顯創新思維，在明理的過程中發現圖形中蘊含的數學本質，在回顧反思的過程中促進思維能力的提升.

參考文獻：

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［3］王學先，楊興建，吳禹杰. 定目標·悟原理·尋路徑：2020年中考“尺規作圖”考查方式和命題特色分析［J］. 中國數學教育（初中版），2021（5）：36-43.