剖析位置特征·量化線段關系·凸顯尺規(guī)本質

摘" 要：通過闡述尺規(guī)作圖的發(fā)展與認識及尺規(guī)作圖的數(shù)理分析，挖掘尺規(guī)作圖背后的五種運算組成，揭示尺規(guī)作圖的本質，并結合近幾年中考試卷中的經(jīng)典作圖題，借助量化分析，生成一般性作法策略，為尺規(guī)作圖打開另一種思路．

關鍵詞：尺規(guī)作圖；量化分析；推理能力；數(shù)理本質

一、尺規(guī)的發(fā)展與認識

1. 問題由來

當人們凝視古希臘的各類數(shù)學成就時，無不感嘆其思想的精深和奇妙. 其中最引人入勝的內(nèi)容便是尺規(guī)作圖，即在只有圓規(guī)和無刻度直尺的條件下，解決不同的平面幾何作圖問題. 古希臘的尺規(guī)作圖和幾何證明一樣，需要天才式思維與豐富的經(jīng)驗和機敏，是較好的鍛煉思維的方式. 然而，那個時期的人們對這兩種作圖工具的真正作用并不了解，對圖形是否可作也不清楚，因此出現(xiàn)過古希臘三大作圖難題. 到了19世紀，隨著解析幾何和代數(shù)學的發(fā)展，圓規(guī)和直尺在作圖中的作用被徹底弄清，自此尺規(guī)作圖不再是難題. 簡單來說，給定一個作圖問題，就可以用既定的方法來判斷它是否有解，再由解的類型找出作圖方法.

2. 判定方法

圖的關鍵. 總而言之，考查尺規(guī)作圖的可能性，就是考查由一些已知的定點經(jīng)過尺規(guī)能作出什么樣的交點.

尺規(guī)作圖所得交點可以分成三類：（1）直線與直線相交所得；（2）圓與圓相交所得；（3）直線與圓相交所得. 繼續(xù)量化分析這些交點背后的運算組成，類型（1）的交點坐標可以由兩個上述的一次函數(shù)聯(lián)立求得，易知求得的交點坐標都是由定點坐標經(jīng)過加、減、乘、除運算所得；類型（2）的交點坐標可以由兩個上述圓的方程聯(lián)立求得，易知求得的交點坐標都是由定點坐標經(jīng)過加、減、乘、除、開平方運算所得；類型（3）的交點坐標和類型（2）類似，也是由加、減、乘、除、開平方運算所得. 因此，所有能作的尺規(guī)作圖問題都可以認為是由加、減、乘、除、開平方這五種運算的作圖疊加而來，即判定一個尺規(guī)作圖問題是否可作圖，只需觀察量化后的結果是否由這五種運算組成.

3. 運算作圖

（1）（2）由線段截取即可作出，略.

（4）如圖3，同理（3），過程略.

這五種運算的基本作圖是復雜運算作圖的基礎，所有尺規(guī)可作的圖形都可由上述這五種運算的基本作圖反復疊加而成.

二、作圖的量化與分析

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）對尺規(guī)作圖的要求如下.

（1）能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線.

（2）會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

（3）會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形.

（4）在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.

不難發(fā)現(xiàn)，《標準》中提出的要求包含“學生不僅要知道作圖的步驟，而且要知道實施這些步驟的理由”，即“能作”且“明理”的要求. 筆者在教學實踐過程中發(fā)現(xiàn)，學生對于尺規(guī)作圖中“理”的分析，多數(shù)是基于“形”的位置關系去分析推理產(chǎn)生作法，或者用到少量簡單的數(shù)量關系，而基于“數(shù)”的角度去量化分析、尋求作法的思考策略并不多見. 恰恰在一些多法作圖或較復雜的作圖問題上，量化分析的方法更能直擊本質，這是一種大道至簡的分析方法.

筆者結合教學實踐，以幾道經(jīng)典作圖題為例進行探究，目的并不是探尋最優(yōu)作法，而是意在剖析作圖背后的數(shù)量關系，從量化角度生成一般性的作法策略，揭示尺規(guī)作圖中蘊含的數(shù)理本質，為學生的尺規(guī)作圖作法思路再次打開一扇窗.

1. 以圓為背景的量化作圖

例1" 如圖5，已知P是⊙O外一點. 用兩種不同的方法過點P作⊙O的一條切線. 要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

量化分析：學生最易想到的方法是利用“直徑所對的圓周角是直角”，從構造位置關系入手，以OP為直徑作圓，交⊙O于點Q，則直線PQ即為所求. 要求再用一種方法作圖，部分學生沒有思路，此時還可以從量化數(shù)量關系入手尋找作法.

如圖6，連接PO，交⊙O于點A，延長AO，交⊙O于點B. 由于點P與⊙O是確定的，因此PA，PB，PO與半徑r的長度都是確定的. 假設PQ為⊙O的切線，由相切可確定直角，所以PQ長度的量化有兩種方法.（1）在Rt△PQO中，由勾股定理，得PQ2 = PO2 - r2；（2）由△PQA ∽ △PBQ，得PQ2 = PA·PB. 故生成如下作圖思路. 為突出量化過程，以下作圖不保留作圖痕跡.

作圖思路1：（1）如圖7，作直角三角形，使得a = 半徑r，c = PO；（2）以點P為圓心、b的長為半徑畫弧交⊙O于點Q，連接PQ. 則PQ即為所求.

作圖思路2：（1）如圖9，過點A作AC⊥PB，交以PB為直徑的圓于點C；（2）以點P為圓心、PC長為半徑畫弧交⊙O于點Q，連接PQ. 則PQ即為所求.

變式1：如圖5，已知P是⊙O外一點. 過點P作⊙O的一條弦AB，使PB = 2PA.

量化分析：畫出如圖10所示的PB = 2PA的示意圖，作直線PO交⊙O于點E，F(xiàn)，過點P作⊙O的切線PQ，過點O作OG⊥AB，垂足為點G. 連接OA，OQ.

由于點P與⊙O是確定的，則PE，PF，PO與半徑r的長度都是確定的，點P到⊙O的切線長PQ也是確定的，接下來只需由這些已知長度量化出PA的長即可完成作圖.

作圖思路：（1）如圖11，過點P作⊙O的切線PQ；（2）作PQ的垂直平分線交以PQ為直徑的圓于點C；（3）以點P為圓心、PC長為半徑畫弧交⊙O于點A，延長PA得到與⊙O的另一交點B. 則弦AB即為所求.

此題還可以變式，將“P是⊙O外一點”改成“P是⊙O內(nèi)一點”，過點P作⊙O的一條弦AB，使PB = 2PA. 量化作圖思路與變式1如出一轍，在此不再贅述.

變式2：如圖12，在△ABC中，∠ACB = 90°，E為AC上一定點. 作⊙O，使其過點C，E，且與AB相切.

量化分析：此題只需確定切點的位置，即可由“不在同一直線上的三點確定一個圓”完成作圖. 因為⊙O的圓心和半徑都不確定，很難從位置關系上入手作圖，有別于常見的作圖題，所以學生的得分率非常低. 不妨從量化數(shù)量關系入手，畫出示意圖（如圖13），設⊙O與AB相切時切點為點Q，連接OA，OE，過點O作OF⊥AC，垂足為點F. 與⊙O相關的量AE和AF的長度是確定的，接下來只需量化出AQ的長即可.

在Rt△AOF和Rt△EOF中，由勾股定理，得AO2 - AF2 = OE2 - EF2，即AO2 - r2 = AF2 - EF2，所以AQ2 = AF2 - EF2. 還可以同理例1和變式1中的相似方法，可直接量化得到AQ2 = AE·AC. 故生成以下兩種對應作法.

作圖思路1：（1）作EC的中點F，以AF長為斜邊，EF長為一直角邊，作直角三角形，則另一直角邊b的長即為AQ的長；（2）以點A為圓心、b的長為半徑畫弧交AB于點Q；（3）作△EQC的外接圓⊙O. 則⊙O即為所求.（圖略）

作圖思路2：（1）如圖14，過點E作ED⊥AC交以AC為直徑的圓于點D；（2）以點A為圓心、AD長為半徑畫弧交AB于點Q；（3）作△EQC的外接圓⊙O. 則⊙O即為所求.

上述問題皆可理解成“一點一圓”的量化問題，即由一點和一圓能確定哪些關鍵的量. 按位置分類可知：若點在圓外，則點心距和點到圓的切線長確定；若點在圓上，則過此點的半徑和過此點的切線確定；若點在圓內(nèi)，則點心距和過此點且垂直于點心距的弦確定. 所以由這些關鍵量，利用圓中常見的勾股定理和三角形相似進行計算，借助運算作圖，量化思路應是順理成章的.

2. 以三角形為背景的量化作圖

例2" 如圖15，已知等邊三角形ABC，試用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖.

（1）作△ABC的外心O；

（2）設D是AB邊上一點，在圖中作出一個正六邊形DEFGHI，使點F和點H分別在邊BC和AC上.

文獻［2］和文獻［3］中對此題已給出了詳細的解法分析. 第（2）小題的重點就是作等邊三角形DFH. 本文從量化視角再提供一種作△DFH的思路.

作圖思路：（1）如圖17，作△JLN，使得JL = R，JN = a；（2）在JL上截取JK = r，作∠JKM = ∠L交JN于點M，則JM = b；（3）如圖18，以點D為圓心、JM的長為半徑畫弧交BC于點F（若有兩個交點，依據(jù)圖示舍去一個），交AC于點H；（3）依次連接D，F(xiàn)，H三點. 則△DFH即為所求.

或許相比于直接截取BF = CH = AD來說，此題的量化作法稍顯煩瑣，但幾何題中這種“數(shù)理”的意識是難能可貴的，這種視角更有助于學生長遠地發(fā)展. 另外，在一些復雜作圖中，僅憑圖形的幾何特征很難確定位置時，這種量化思路也許會有意想不到的效果.

變式：如圖19，已知等邊三角形ABC，試用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作邊長為b的等邊三角形DEF，使點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上.

作圖思路：（1）如圖20，作△JLM，使得JL = OA = R，JM = AB = a；（2）在JM上截取JN = b，作∠JNK = ∠M，交JL于點K；（3）如圖21，作△ABC的外心O；（4）以點O為圓心、JK長為半徑作⊙O交△ABC于點D，D′，E，E′，F(xiàn)，F(xiàn)′；（5）依次連接D，E，F(xiàn)三點和D′，E′，F(xiàn)′三點. 則△DEF和△D′E′F′即為所求.

三角形背景下的作圖，經(jīng)量化分析更容易出現(xiàn)比例關系，所以上述問題皆利用了運算作圖（1） ～ （4），量化作法也更加得心應手.

3. 不可能作圖的量化解釋

尺規(guī)并非能作出一切幾何圖形，它的作圖是有限的，其中最著名的當屬古希臘的三大尺規(guī)作圖難題，即立方倍積、化圓為方、三等分角問題. 直到19世紀，人們才通過尺規(guī)背后的數(shù)理本質證明出三個作圖難題是不可能問題.

例3 （1）給定一個棱長為a的立方體A，求作一個立方體B，使B的體積為A的2倍.

（2）作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積.

（3）將一個任意定角三等分.

得到正五邊形ABCDE.

由此可見，量化思路不僅可以通過剖析數(shù)量關系來獲得作法，還可以由此判斷圖形是否可作及不可作的原因，攻守兼?zhèn)?，一舉兩得，真正觸及到了作圖背后的數(shù)理本質.

三、實踐的收獲與感悟

1. 收獲——挖掘圖形位置蘊含的數(shù)量關系，以數(shù)構形，培養(yǎng)數(shù)形結合意識

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，這是華羅庚教授對數(shù)形結合思想深刻透徹的闡釋. 每一種位置關系的背后一定蘊含著對應的數(shù)量關系，如平行的背后是同位角相等，垂直的背后是90°，直線與圓的位置關系的背后是距離d和半徑r的大小關系等，所以用數(shù)量去刻畫位置在幾何教學中是處處可見的. 可是尺規(guī)作圖，由于沒有直觀的數(shù)量顯現(xiàn)，學生在分析時都是從圖形性質入手，重“形”輕“數(shù)”，這種思維是不全面的. 作圖題中已知圖形上確定的元素都具有數(shù)量特征，“以數(shù)構形”就是用這些數(shù)量關系去刻畫目標圖形的位置特征，從而獲得作法. 若學生不善于應用這樣的思維方式，是因為教師在作圖教學中缺少量化意識的滲透. 筆者經(jīng)過多年的實踐發(fā)現(xiàn)，掌握了量化分析的學生，在多法作圖題中游刃有余，而且在解決較難作圖問題時，運用量化這一方法能讓他們的作圖思路形成得更快、更直接. 因此，筆者認為，在作圖教學中，教師應幫助學生打開“以數(shù)構形”的視角.

2. 感悟——重視作圖背后的推理教學，量化分析，提升代數(shù)推理能力

尺規(guī)作圖是體現(xiàn)推理能力的教學內(nèi)容. 推理不應僅限于幾何部分“形”的推理，還應重視“數(shù)”的推理. 現(xiàn)階段代數(shù)推理恰恰是學生需要提升的能力之一，而量化分析正是將圖形的部分信息或全部信息轉換成“數(shù)”的信息，弱化或消除“形”的推理，從而將“形”的問題轉化為“數(shù)”的推理. 所以作圖教學中，教師要重視量化分析，引導學生從不同視角挖掘圖形內(nèi)部的關系，讓學生經(jīng)歷不同的方法，充分感受圖形位置中蘊含的數(shù)量關系，發(fā)展代數(shù)推理能力. 若學生善于尋找圖形關系背后的數(shù)理本質，數(shù)學學習就能更通透，走得更長遠，也更適應未來高中階段的學習.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.

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［3］顧香才. 歸納來“推斷”，演繹去“驗證”：在“尺規(guī)作圖”教學中領悟波利亞的解題思想［J］. 中學數(shù)學（初中版），2021（2）：21-22，25.