對含贖回權或回售權債券的估值模型驗證

摘要：本文基于柳樹模型和Hull-White模型，采用平行建模的驗證方式，選取業務中的真實成交實例，對含有贖回權或回售權的債券進行估值驗證，實證檢驗該方法的可行性和準確性。結果顯示，該方法結果與中債估值和真實成交價格雖然存在一定誤差，但誤差方向與經濟含義一致，揭示了含權債嵌套期權的價值，可與中債估值互為驗證，對含有回售權或贖回權債券的交易開展和估值計量具有一定的參考意義。

關鍵詞：含權債 柳樹模型 Hull-White模型

引言

（一）基本背景

含權債指的是除產生利息收入之外，債券條款中還含有期權條款的債券。在權利大類上，一般分為可贖回債券和可回售債券。可贖回債券，是指發行方有權按照事先約定的價格（贖回價格）買回其發行的尚未到期債券的一類含權債，可視為債券與看漲期權的結合體，相當于投資方在購買債券的同時賣出一份標的物為債券的看漲期權，因此其價格相比同樣條件不含權債的價格更低。當未來利率下跌時發行方可行使贖回權，為其提供利率下跌的保護。而可回售債券相反，相當于投資方在購買債券的同時購買一份標的物為債券的看跌期權，當未來利率上行時投資方有權按事先約定的價格將債券提前賣給發行方，為其提供利率上行的保護，因此其價格比相同條件不含權債的價格更高。

含權債對于豐富債券市場品種具有重要意義，可以為發行方和投資方提供有效的利率風險對沖。美國在1917年即已開始發行含可贖回權利的債券。我國銀行間債券市場含權債始于21世紀初，2001年國家開發銀行（以下簡稱“國開行”）發行了第一只含權債，在隨后的10年內，國開行共發行含權債26次，發行規模合計4853.9億元。2019年2月20日，廣東省發行首單含權地方政府債券，規模為416億元。根據萬得（Wind）數據，截至2022年10月末，國內銀行間債券市場存量含權債發行數量達5697只，余額為85941.01億元。其中，可贖回債券1801只，余額為55885.25億元；可回售債券3895只，余額為30055.76億元。

（二）研究意義

含權債具備“進可攻、退可守”的優點，當下市場整體處于低利率環境，可回售債券的投資價值更為凸顯。但含權債復雜的個性化條款提高了準確估值的難度，也帶來了較高的投資門檻。實務中，機構投資方普遍直接采用外部估值或使用內部資金交易系統結果，但除中債估值提供較為完整的方法論外，其他一般為“黑匣”模型，難以完全穿透并還原具體建模過程，因此獨立研究并掌握含權債的估值定價是機構的內生需求。

隨著數字化轉型不斷深入，監管機構對市場參與主體的模型自主可控能力提出了明確要求，如《關于銀行業保險業數字化轉型的指導意見》（銀保監辦發〔2022〕2號）提出，要建立對模型和算法風險的全面管理框架，確保模型的可解釋性和可審計性；模型管理核心環節要自主掌控。對于實施資本計量高級方法的商業銀行，監管機構更是要求對風險價值系統中的單個產品定價和估值模型進行驗證，以掌握模型定價方法，避免“定價黑匣”帶來的損失。根據《商業銀行資本管理辦法（試行）》（中國銀監會令2012年第1號），商業銀行應根據模型開發文檔，對不同產品定價模型進行逐項推導，評估其準確性和合理性；應通過自行建模、平行計算或提取第三方機構公布的定價數據等方式進行驗算，以確保模型的準確性。

總體而言，對于專業的機構投資者，無論是前臺實際交易，還是中后臺估值定價、損益計量及模型驗證，自主掌控含權債估值模型都具有重要意義。

估值方法綜述

含權債本質是債券和利率衍生品的組合，對于債券部分估值較為簡單，可直接采用息票貼現方法，在貼現率中考慮發行方的信用風險因素。對利率衍生品部分的估值是主要難點，具體體現為：利率衍生品種類及組合較多，既有單獨包含回售權或贖回權的情況，也有回售權+贖回權、贖回權+票面利率調整權等組合的情況；既有歐式期權，也有美式期權，甚至包含百慕大期權；內含的期權衍生品使得含權債具有不確定的到期日或不確定的行權日后息票；債券中一般含有多個期權衍生品，彼此之間存在依存關系，比如在回售權行使之后，贖回權就自動消失，因此估值必須將權利看作一個整體。

利率衍生品的估值方法理論上分為解析方法和數值方法，前者包括通用的BS模型、針對利率衍生品的Black模型等，后者包括二叉樹方法、蒙特卡洛模擬及有限差分方程。債券涉及對利率價格的模擬，又可以采用單因素均衡模型（Vasicek模型等）、雙因素均衡模型（Heath，Jarrow and Morton模型）及無套利模型（Ho-Lee模型、Hull-White模型等）。

文獻方面，Brennan和Schwarts（1977）最早研究含權債定價，在不考慮信用風險的情況下假定短期利率服從隨機游走，比較了不同含權債的價格關系。Andrew J.Kalotay、George O.Williams 和Frank J.Fabozzi（1993）介紹了含權債的通用估值方法，采用二叉樹模型給可贖回債券定價，主要方法是計算期權調整利差（OAS），利用該利差對內嵌期權的債券的收益率進行調整，從而對比分析普通債券和內嵌期權型債券的價值，再計算出贖回期權的價值，并分析了債券價格對于市場利率的敏感程度。Buttler（1995）使用有限差分對百慕大期權債券定價，認為該方法誤差較大，不適用于實際投資。Michael Curran（2001）提出了一種替代標準二叉樹和三叉樹的柳樹方法，認為柳樹方法在計算效率上優于標準二叉樹和三叉樹，該方法目前也被主流的市場風險管理系統提供商ALGO所采用。國內文獻較多采用二叉樹方法進行定價研究，如鄭振龍、康朝鋒（2006）基于BDT模型，用二叉樹模型對國開債的可贖回、可回售債券進行定價分析。程昊、何睿（2021）基于OAS和Black模型兩種方法，分別對內嵌“回售權+調整票面權”條款的債券定價進行考察，結論是更推薦OAS方法。此外，中債估值中心于2020年12月發布《含投資人回售權和發行方調整票面利率選擇權的付息式固定利率債券估值方法》，詳細披露了內嵌“回售權+調整票面權”條款債券的中債估值方法，主要通過遠期利率走向判斷行權的可能性，具體過程為先計算預期均衡票面利率，再比較預期均衡票面利率和約定的票面利率可調整范圍，以判斷是否行權并推薦按長期限或短期限估值，最終根據推薦方向按現金流折現模型進行估值。

柳樹模型

（一）基本方法論

下文將借鑒ALGO的思路，基于柳樹模型方法本身，采取平行建模的方式，對含有贖回權或回售權的債券進行估值建模。主要考慮在于：含權債內嵌期權具有強路徑依賴關系，使用傳統的二叉樹或者三叉樹方法，前期節點過少，誤差較大，后期節點又過多，會產生大量冗余計算，而柳樹方法可有效避開這一弊端。該方法使用的離散馬爾科夫鏈近似布朗運動，通過選取合適的轉移矩陣可保證馬爾科夫鏈收斂至布朗運動，柳樹從第一個時間步便迅速打開。在后續時間步，整棵樹又被限制在正態分布置信度范圍內。與二叉樹和三叉樹方法相比，柳樹模型在理論上具有計算速度更快、更加準確、更加穩定的優點。

（二）建模步驟

建立柳樹模型的具體步驟如下：

首先將正態分布分成n個節點，并且為每個節點分配一個正態變量Z1，Z2 ，…Zn，用于代表其所在的區間，對應的概率為q1，q2，…qn。令。隨后假設{Xi∶i=1，2，3...}

是一個非時齊馬爾科夫鏈并有{1，2...n}個狀態，并定義隨機過程{Yti∶ti≥0}：當Xi在狀態k的時候，，其中代表每個時

間區間，總的時間長度為t。在轉移矩陣滿足一定條件的情況下，當n→∞，hj→0時，Yti收斂于一個布朗運動。求出滿足條件的轉移矩陣pij，表示從狀態i變到狀態j的概率，即求解下面這個優化問題：

對每一個時間步k，都求解上述優化問題獲得對應的轉移矩陣。本文通過python代碼完成這一過程，最終構建的柳樹形狀如圖1所示。

圖中所顯示的柳樹有10個時間步，每步有12個節點，對應12個正態變量Zi。

Hull-White模型

上文中的柳樹模型完成了對布朗運動的近似模擬，基于柳樹模型，可以對更為復雜的隨機過程進行建模。接下來要對短期利率進行建模，目前較為主流的是Hull-White單因子無套利均衡模型（1990），該模型是對Vasicek模型（1977）的拓展，既考慮利率均值回歸的特點，又充分吸收當前利率期限結構的信息。

（一）構建初始利率樹

假設短期利率服從Hull-White單因子無套利均衡模型：

其中a、σ是常數，分別代表均值回歸常數和利率波動率，為了更加方便地構建利率樹，首先將上式作變形，令

且滿足以下關系：

令y（t）=eat（t），通過伊藤公式可以求出

并令，根據伊藤積分的性質，可得。

結合上文構建的柳樹，可以構造初始利率如下：

上式表示時間步長為t，第k個節點的短期利率。

（二）校準利率樹

上文通過對Hull-White模型進行變形，構建了初始利率樹，現在需要根據當前市場的利率期限結構對所構建的利率樹進行校準，即求出（2）式中的α（t）。校準方式是用利率樹對不同期限的面值為1的零息債券進行估值，通過調整α（t）使得通過利率樹對零息債券的估值結果與市場價格一致。具體步驟如下：

首先可以根據對應的當前市場的折現曲線和信用點差曲線，通過現金流折現公式計算零息債券的市場價格：

其中rd、rs是在對應的折現曲線和信用點差曲線上通過線性插值的方法獲取，對每只含權債，按照業務特征選擇對應業務品種、發行方信用等級或行業類別的折現曲線和信用點差曲線。

隨后通過使用利率樹計算每個時間步的折現因子，初始點的α（0）可以通過

求得，然后定義如下變量：

求得α（0）、df （t0， t1）后，根據（7）式中的定義及（6）式在各個時間步的計算結果，通過迭代的方法一步步求出后續每個時間步的α（t），最終經過當前市場利率期限結構校準的利率樹各個節點的利率值為（t，k）+α（t）。

（三）使用校準后的利率樹對含權債估值

至此已經獲得校準后的利率樹，對含權債估值的步驟為從利率樹最后1個時間步即含權債到期日開始向前遞推，通過（8）式向前遞推求值：

其中V（T，i）=Notional+Coupon，到期日的價值等于含權債本金加最后一期利息；對于每個付息日時間節點，價值V等于通過（8）式計算得到的價值加上該期利息；對于行權日，價值V由通過（8）式計算得到的價值與含權債條款規定的贖回價和回售價K作比較得到，即如果是可回售債券，則行權日V=max（K， V），如果是可贖回債券，則行權日V=min（K， V）。

當求得V（1， i）后，可以通過（9）式計算得到當前估值時點含權債的價格：

含權債估值檢驗

基于上述柳樹模型和Hull-White模型，本文使用Python代碼實現模型構建和估值過程，在現有含權債中分別隨機選取了2只可贖回債券和2只可回售債券進行估值。中債估值是目前實際交易最重要的參考價格，故本文將基于柳樹模型和Hull-White模型對含權債的估值結果，分別與中債估值和實際市場成交價格（為估值日當日市場真實成交價格的加權均價）作對比，論證模型估值的實用性和合理性。

4只債券的基本信息如表1所示，其中2只可回售債券帶有發行方調整票面利率權。

在柳樹模型構建過程中，過長的時間步長會導致時間步過少，模型收斂精度差，過短的時間步長會導致計算效率大幅降低，因此根據所選債券剩余期限，我們將時間步長設為30天，并將所有行權日單獨設成1個時間步，故對于上述可贖回債券1共有87個時間步，可贖回債券2共有71個時間步，而上述可回售債券1共有55個時間步，可回售債券2共有59個時間步。每個時間步設12個節點，對應12個正態變量Zi。

用于可回售債券1估值的柳樹如圖2所示。

用于可贖回債券2估值的柳樹如圖3所示。

對于Hull-White單因子模型，我們參照經驗將均值回歸常數設為0.001，參考估值日利率波動率曲面（用于利率期權如利率上下限、利率掉期期權）將波動率設為0.005，最終4只債券的估值結果和中債估值及真實成交價格如表2所示。

結果顯示，對于可贖回債券，模型估值lt;真實成交價格≈中債估值；對可回售債券，模型估值gt;真實成交價格≈中債估值。造成這一現象的原因在于模型估值較多考慮了含權債嵌套期權的價值，從而導致對發行方有利的可贖回債券模型估值小于中債估值，對投資方有利的可回售債券模型估值大于中債估值。市場真實成交價格通常位于模型估值與中債估值之間且更接近中債估值，說明交易員在真實交易時大多還是以中債估值為基礎，附加的期權價值較小。從最后結果誤差來看，模型估值結果與中債估值及真實成交價格的誤差在0.5%以內，誤差的來源主要是對嵌套期權價值的計量。因此，筆者認為通過該模型進行估值，可以較充分地計量含權債嵌套期權的價值，對真實交易具有參考價值。

筆者進一步測試了估值結果對模型中每個時間步節點數的敏感度。將柳樹模型每個時間步節點數增加至30，對比4只債券估值結果的差異程度，結果如表3所示。

從結果可以看出，節點數12和30的估值結果在保留2位小數精度的前提下幾乎一致，說明將節點數設為12時，柳樹模型已經可以得到收斂的結果，柳樹模型收斂速度較快、穩定性好。本模型是針對贖回權和回售權這兩類最重要的利率衍生品的含權債估值模型，如果含權債包含其他的特殊權利，也可以在本模型基礎上作適當拓展。

結論

本文利用柳樹模型和Hull-White模型，對含有贖回權或回售權的債券進行平行建模，通過對比其與中債估值和債券市場真實成交價格，發現該模型結果與中債估值和真實成交價格存在約0.5%的誤差，主要是因為模型結果較多考慮了含權債嵌套期權的價值，但整體誤差在可控范圍內，且對比模型結果與中債估值能直觀地獲取含權債嵌套期權的價值。同時，柳樹模型的重要參數，如節點之間的轉移矩陣，只需求解一次，后續便可儲存下來重復使用，因此使用該模型對含權債估值較為便捷，只需根據當前市場利率期限結構對存儲的樹進行校準即可用于估值。柳樹模型也具有良好的拓展性，可進一步推廣到其他權益類衍生品的估值定價。總體而言，該模型具有收斂性較好、運行便捷、適用性廣等優點，可為機構投資者開展含權債業務提供有效參考。

參考文獻

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