運動變化觀點在數學解題中的應用策略

摘" 要：運用運動變化的觀點分析解決關于圖形、圖象的數學問題，采取以靜制動、化靜為動、動靜分離、無中生有、重畫圖形等具體策略尋找解題方向、探索解題思路，有助于學生發現數學知識之間的內在聯系，對數學進行更加深入的研究．

關鍵詞：運動變化；解題研究；知識聯系

在現實世界中，運動是絕對的，靜止是相對的，這兩者間既對立又統一的辯證關系，啟發我們在數學中用運動變化的觀點來尋求數學問題的解決方案，探索數學知識之間的聯系．

一、以靜制動，利用靜止瞬間研究圖形變化

對于動點、動線或圖形運動的問題，經常采取化動為靜的方法，即選取具有代表性和特殊性的靜止瞬間，特別是對圖形由一種狀態向另一種狀態變化的臨界點進行研究. 根據運動到臨界點前后圖形的不同情況進行分類，確定對應量的取值范圍．

例1" 如圖1，在菱形[ABCD]中，[∠B=60°]，[AB=2]，動點[P]從點[B]出發，以每秒1個單位長度的速度沿折線[BA→AC]運動到點[C]，同時動點[Q]從點[A]出發，以相同速度沿折線[AC→CD]運動到點[D]，當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動. 設[△APQ]的面積為[y]，運動時間為[x]秒，則下列圖象能大致反映[y]與[x]之間函數關系的是（" " ）.

解析：數學中對變量及其相互之間關系的研究，主要是利用函數（映射）來實現的．此題中函數關系的形成，源于動點P，Q分別沿兩條折線同時等速運動. 由菱形[ABCD]中[∠B=60°]可知，兩點同時到達折線轉折點和終點，故轉折點就是臨界點，在此前后劃分出兩種情況. 在這兩種運動變化的情況下，各取一個靜止瞬間的圖形作為代表，通過對這一個特定圖形的研究，得到同一類動態圖形中所有圖形共同具備的[y]與[x]之間函數關系．

（1）如圖2，當點[P，Q]分別在[AB，AC]上運動時，過點[Q]作[QH⊥AB]于點[H].

由菱形ABCD中[∠B=60°]可知，[△ABC]和[△ACD]都是邊長為2的等邊三角形.

可得[y=12AP·QH=122-x×32x=-34x2+32x=][-34x-12+34][0≤x≤2].

所以此時的函數圖象為開口向下的拋物線，且最大值為[34].

（2）如圖3，當點[P，Q]分別在[AC，DC]上運動時，同理，可得[y=34x-22][2≤x≤4].

所以拋物線開口向上，且取值范圍內的最大值為[3]. 故此題選擇選項A．

二、化靜為動，借助圖形變換尋求解題方案

在解決幾何問題時，經常需要根據圖形的特殊性添加輔助線. 例如，在等腰三角形問題中，利用軸對稱性質補充圖形；在等邊三角形或正方形問題中，利用旋轉性質變換圖形的位置. 甚至總結了一些特定的解題方法. 例如，解決三角形中線相關問題時采用的“倍長中線法”，就是利用中心對稱構造一個新三角形，將分散的條件集中起來進行研究. 除此之外，我們還可以用運動的觀點解決函數圖象問題，讓靜止的函數圖象“動起來”，呈現出解題線索．

三、動靜分離，聯系固定圖形發現變化特征

動態圖形往往是在一些靜態圖形基礎之上進行構圖的. 如果能先排除動態圖形的干擾，把變化過程中始終保持不變的圖形特征挖掘出來，然后增加動態圖形的相關因素，則會為全面解決問題帶來穩定可靠的背景依托．

例3" 如圖7，正方形ABCD的邊長為4，E是邊CD的中點，點P是邊BC上的一個動點，⊙O經過A，B，P三點，交射線AE于點Q．

（1）若BP = 3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關系，并說明理由.

（2）當AP平分∠EAB時，求tan∠EAP的值.

解析：在整個圖形中，⊙O的大小和位置隨著點P在邊BC上的運動而變化. 如果隱去這些動態元素，那么剩下的圖形就是正方形ABCD及其邊CD的中點E，這是一個始終不變的靜態圖形，如圖8所示，它的特征是穩定可靠的，我們可以先從這個圖形進行分析. 如圖8，正方形ABCD的邊長為4，則CE = DE = 2. 由勾股定理，可得AE =[25]. 若點F為邊AB的中點，則EF一定經過圓心O，且把正方形ABCD等分為兩個矩形. 這樣，我們就從一個相對復雜的“動靜結合”的圖形中分離出了一部分固定不變的靜止圖形，可以此作為基礎和依托，進一步結合其他動態圖形特征解題．

（1）如圖9，取AB的中點F，連接EF. 由已知可得OF =[12]BP =[32]，OE = EF - OF =[52]. 在Rt△ABP中，AP =[BP2+AB2]= 5. 則⊙O的半徑長為[52]. 所以點E在⊙O上，即邊CD所在直線與⊙O相切．

（2）如圖10，連接PQ，則PQ⊥AE，且PQ = PB，AQ = AB = 4.

四、無中生有，增加圖形變化揭示問題本質

在一些問題中原本沒有運動變化的圖形，但是為了揭示問題的本質特征，我們可以構造一個圖形，并且讓這個圖形根據解題需要進行運動變化，從而把相關的問題集中、串聯起來進行研究. 這樣既反映了各個元素之間的密切關系，也為深入研究問題奠定了基礎.

例4" 如圖11，現要在拋物線[y=x4-x]上找一點[Pa，b]，針對b的不同取值，所找點P的個數，三人的說法如下.

解析：在圖11的平面直角坐標系中只有一條確定的拋物線，不存在動態圖形. 但是甲、乙、丙三人對在b的不同取值情況下拋物線[y=x4-x]上滿足要求的點[Pa，b]的個數進行了探討，說明這是一個動態問題. 如圖12，結合題意可以添加一條新的動態直線y = b，通過它的上下平移把三種情況聯系起來．

由拋物線[y=x4-x]與x軸的兩個交點橫坐標分別為0，4，可得拋物線的對稱軸為x = 2. 把x = 2代入解析式，求出拋物線的頂點（最高點）坐標為[2，4]．判斷點P的個數實質上就是判斷直線y = b與拋物線的交點個數. 顯然，當b gt; 4時，直線y = b位于拋物線頂點的上方，與拋物線沒有交點，即滿足要求的點P的個數為0；當b = 4時，直線y = b經過拋物線頂點，則滿足要求的點P的個數為1；當b lt; 4時，直線y = b位于拋物線頂點的下方，與拋物線有2個交點，即滿足要求的點P的個數為2. 由這個更具有普遍性的結論，不難發現甲和乙的說法正確，丙的說法錯誤，故此題選擇選項C．

五、重畫圖形，根據畫圖過程探索解題思路

圖形是幾何問題的重要組成部分，很多題目呈現的圖形是一個最后結果. 如果只是對照題干中的條件逐個識別圖形的形狀、大小和位置，那么就是一個靜態的思維模式. 如果把圖形看作是通過逐步添加幾何元素、從無到有直至成型的動態生成過程，那么就會發現在圖形的生成步驟中往往蘊含著有益的解題思路．

例5" 如圖13，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB = AC，∠BAC = 90°，DE = DF，∠EDF = 90°，D為邊BC的中點，連接AF，且A，F，E三點恰好在一條直線上，EF交BC于點H，連接BF，CE. 求證：AF = CE．

解析：如果按照題干中敘述的先后順序，畫出△ABC和△DEF后，再在邊[BC]上找到點[D]，顯然不合理，何況要保證A，F，E三點恰好在一條直線上，也很難做到. 由此可見，根據題意畫出圖形的步驟，并不一定是按照條件出現的先后順序，而應該遵循符合邏輯關系的數學原理來畫圖．

首先，根據“AB = AC，∠BAC = 90°”與“D為邊BC中點”，畫出等腰直角三角形ABC，并確定斜邊BC的中點D，如圖14所示．

其次，要畫出符合題意的等腰直角三角形DEF，由“DE = DF，∠EDF = 90°”，可知△DEF的直角頂點為D．要使得“A，F，E三點恰好在一條直線上”，可以通過將△DEF繞點D旋轉得到. 對此，可以先根據畫圖習慣和常規思維，假定旋轉的初始狀態如圖15所示.

然后，繞點D順時針旋轉△DEF，當到達某一個適當位置時，A，F，E三點恰好在一條直線上，如圖16所示. 由旋轉的初始狀態可以聯想到添加輔助線的方法為過點D作BC的垂線，而這與等腰三角形“三線合一”的常見輔助線不謀而合. 故連接AD，CE，可證得△ADF ≌ △CDE（SAS），則AF = CE．

進一步，繼續旋轉△DEF至如圖17所示的位置；或者改變△DEF的大小，使兩個等腰直角三角形的斜邊所在直線相交于點H，如圖18所示，也仍然有△ADF ≌ △CDE，則AF = CE．

以上證法抓住了等腰直角三角形的重要性質，通過重現圖形的作圖順序，探尋問題的解題思路. 在對畫圖步驟的探究中，使問題的解決思路趨于明朗，既清晰展現了圖形之間的依賴關系和邏輯關系，又使輔助線的產生顯得更加自然，并且很容易推廣發現新的結論．

六、結束語

很多時候，教師作為“過來人”，會站在已經掌握了數學知識和解題方法的高度上，來審視要教給學生的新知識和新問題，但是這些知識或方法對于學生而言往往是陌生的，學生在解題過程中產生的困惑便是解題教學的難點. 例如，在解決圖形或圖象問題時，學生會疑惑“為什么要分類討論？怎樣分類？為什么要添加輔助線？添加怎樣的輔助線？怎樣進行圖形的分解或組合？不確定的圖象有哪些特征？如何讓這些特征更加明顯？”采用運動變化的觀念審視數學問題，無疑為學生提供了一種值得嘗試的思維策略，既能讓“動”的圖形“靜”下來，又能讓“靜”的圖形“動”起來，使數學元素之間、數學知識之間、數學問題之間的聯系得到凸顯，為進一步解決問題創造有利條件，引導學生學會思考問題的方法，促使學生的數學思維得到有效發展，逐步培養學生學會用數學的邏輯、科學的方法、理性的態度去觀察和認識現實世界．

參考文獻：

［1］周春荔. 數學思維概論［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012．

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

作者簡介：張振興（1971— ），男，正高級教師，主要從事初中數學教學研究．