化數為形探解法 以形輔數究本源

摘" 要：在一元二次方程配方法的發展歷史中，幾何圖形一直是數學家們求解方程的輔助工具，這為配方法的教學帶來了新思路. 采用重構式設計一元二次方程配方法的教學，從“化數為形”到“補形成方”再到“以形輔數”回歸配方. 在教學中，要注重再現知識的發展過程，加深學生對知識的理解；要認識到融入數學史是手段，切忌數學史的滿堂灌；要重視解題巧法，拓展學生思維.

關鍵詞：一元二次方程；配方法；數學史；幾何解法

配方法是一元二次方程的重要解法之一. 而在以往的教學中，教師對配方法的教學往往側重于基本步驟的講授，較少關注配方法的由來. 因此，教師可以從數學文化的角度幫助學生理解數學知識的發生發展過程. 數學文化內涵豐富，包含數學知識、數學史、數學思想、數學方法等. 為了更好地引導學生理解配方法，本文以數學史作為數學文化的一個切入點，利用歷史相似性原理讓學生經歷配方法的發現過程，探究數學的本源，在探究過程中發展學生的數學核心素養. 對此，本文基于求解一元二次方程的歷史發展脈絡，設計用配方法解一元二次方程的教學案例，引導學生從歷史的角度去探尋配方法的奧妙之處，感悟其中蘊含的數學思想方法.

一、求解一元二次方程的歷史

在一元二次方程的發展史上，最早出現的一元二次方程是[x2=A A≥0]. 并且，[x2=A A≥0]來源于“已知正方形的面積，求邊長”. 歷史上，數學家們常用正方形來輔助一元二次方程的求解. 像長方形、平行四邊形等圖形的面積可以基于正方形的面積展開研究. 因此，數學家們也常將這些圖形轉化成正方形面積的形式. 例如，古埃及人、古巴比倫人在求解長方形的長和寬時，多采用“割補”的方法將長方形轉化為正方形，進而利用開方法求解長方形的長和寬.

[b22→ax+b22=b2+4ac4]. 最后，海倫將化簡后的完全平方式開方求解. 由于當時數學家們尚未發現負數，海倫只給出了一元二次方程的正根. 在求解一元二次方程的過程中，海倫是將原方程兩邊同時乘a后運用配方法求解的. 這種方法主要是為了簡化運算，避免分數的出現. 在尋找一元二次方程解法的歷史上，配方法是在幾何法的基礎上發展而來的. 一元二次方程的幾何解法主要采用了補形成方的辦法，借助幾何圖形，配方法也可以看作為了達到補形的效果.

二、教學設計

數學教材的編寫與學生的學習過程一般遵循數學知識的歷史發展過程，教師在教學過程中應當引導學生經歷知識的發生發展過程，在過程中完善學生的數學知識結構體系，培養學生數學思考的能力，提升學生的數學核心素養. 為了讓學生真正感悟數學知識的來龍去脈，很多教師在課堂引入數學文化時存在誤區，在課堂中堆砌數學故事、數學史內容，而非真正地循著數學知識的發展過程幫助學生理解數學. 本文遵循一元二次方程解法的歷史發展脈絡，采用重構式設計一元二次方程配方法的教學，從設計結構和教學過程兩個維度展開分析.

1. 設計結構

本節課的教學設計結構如圖1所示，主要采用的運用數學史的方法為重構式，即借鑒或重構知識的發生發展歷史.

2. 教學過程

（1）化數為形引新知.

例1" 一桶油漆可刷的面積為1 500 dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體盒子的全部外表面，你能計算出盒子的棱長嗎？

根據問題情境，設盒子的棱長為x dm，學生很容易給出該問題所對應的一元二次方程為[10×6x2=1 500]. 在這之前，學生已掌握了平方根的相關知識，能夠通過開平方的方式求得盒子的棱長. 由此可以自然地引入一元二次方程的解法之一——開平方法.

問題1：運用開平方法，你認為應該怎樣解方程[x+32=5]？對比兩個方程解的個數，說說解方程需要注意什么.

問題2：根據例1整理得到的方程為[x2=25]，該一元二次方程的幾何意義是什么？

以開平方法求解[x2=25]后，引導學生解釋該式的幾何意義，將代數語言轉化為幾何語言. 在例1的問題情境之下，學生較容易將該式看作正方形的面積公式，求出邊長就求出了未知數[x].

【設計意圖】幾何學與代數學是緊密聯系的. 首先，從代數角度解方程[x2=25]，后續運用解[x2=25]的方法求解方程[x+32=5]，鞏固了學生對開平方法的認識. 其次，通過對比兩個方程解的個數，引導學生注意在有具體情境的情況下，要考慮所得結果是否符合實際意義. 最后，引導學生從幾何角度解釋[x2=][25]，培養學生的數形結合思想. 上述過程是從古人最早發現的[x2=A A≥0]這種形式的方程入手來探究一元二次方程的幾何解法，這種借鑒知識發展歷程的方式符合學生的認知發展順序，較容易被學生接受，也為后續學習配方法的幾何解法作鋪墊.

（2）補形成方探解法.

例2" 在求解一元二次方程的歷史中，阿拉伯數學家花拉子米作出了巨大貢獻. 花拉子米在其所著的《代數學》一書中提出了類似的如下問題：一個平方和十個這個平方的根等于三十九個迪拉姆，求根.

教師向學生介紹阿拉伯人將“未知數”稱為“根”，將“未知數的平方”稱為“平方”，“迪拉姆”是當時的貨幣單位.

問題3：試列出例2的方程，并對比[x2=25]與[x+32=5]，找出三者的相同與不同之處.

【設計意圖】引導學生列出一元二次方程[x2+][10x=39]，通過對比發現該方程無法用開平方法解決，該方程對應的也不是正方形的面積公式. 為溝通已知與新知之間的橋梁，通過設置有關數學史的情境，學生發現該情境對應的一元二次方程在歷史上早已得到解決，而學生現有的知識無法求解該方程，從而引發學生的認知沖突和探究興趣.

問題4：是否可以將一元二次方程[x2+10x=39]在幾何圖形中表示出來？

根據方程結構，引導學生探索發現方程的左邊可以轉化為邊長為[x]的正方形面積與長和寬分別為[x]和10的長方形面積之和，可以用如圖2所示的幾何圖形來表示.

追問：將方程轉化為正方形的面積可以求解方程，但此處只能將其轉化為長方形，也就無法直接開平方來求解. 那我們能把長方形轉化為正方形嗎？同學們動手畫一畫，看是否能把它變成正方形.（方法并非一種，鼓勵學生提出不同的想法.）

在小學數學學習中，學生已經學會用割補法來轉化圖形. 因此，教師可以引導學生用割補法來補形成方. 如圖3，將[x2+10x=39]轉化為[x+52=64]. 通過補形成方的方式，將學生不熟悉的問題轉化為學生已掌握的簡單問題，體現了化歸和類比思想.

【設計意圖】在該一元二次方程幾何解法的探索過程中，學生先嘗試用幾何圖形來表示，探究發現把方程轉化為長方形面積的方式不能解決問題. 再類比例1的解法，回顧學過的割補法，實現補形成方. 這種動手操作的方式可以鍛煉學生的思維，提升學生的探究意識，體會補形成方的理念. 同時，在探究過程中不限制學生的思維，鼓勵一題多解，有助于學生思維的發展.

（3）以形輔數究本源.

問題5：觀察一元二次方程[x2+10x=39]的幾何解法的圖形變化過程，你有什么發現？能否用代數符號來表述該方程的幾何求解過程？

教師總結補形成方的完整過程，引導學生寫出每個幾何圖形所對應的一元二次方程，師生探索發現每個一元二次方程之間的關系及其變化.

追問：思考梳理一元二次方程[x2+10x=39]的求解過程，未知數[x]只有3這一個解嗎？

【設計意圖】由于用幾何法來解一元二次方程，未知數[x]不存在負數的可能. 用代數法來解方程時，除了情境的限制外，不需要考慮未知數[x]不能為負數的情況. 因此，要引導學生注意從幾何法轉化到代數法時，不能遺忘負數的存在，這也強調了知識的完整性.

方法歸納：總結從幾何法到代數法的研究過程，引導學生理解加上一次項系數一半的平方的原因，并給出配方法的完整定義：像這樣，把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式，右邊為一個非負常數，然后用開平方法求解的方法，稱為配方法.

問題6：你能歸納用配方法解一元二次方程的步驟嗎？

步驟歸納：一移，即將常數項移至等號的右邊；二配，即配成完全平方式；三開，即用開平方法求得方程的解.

【設計意圖】雖然歷史上數學家們先是從幾何的角度來解一元二次方程的，但主要是因為那時的數學符號語言尚不完善，而現在學生已經能夠用符號語言來解決問題. 因此，幾何法可以作為學生理解配方法的工具，最終的目的還是要讓學生掌握配方法. 一元二次方程的幾何解法最終要回歸到代數上來.

例3" 前面我們已經解決二次項系數為1的一元二次方程，但如果二次項系數不為1，我們又該怎么處理呢？仿照上述過程，用配方法解一元二次方程[2x2+][5x=7].

教師引導學生利用化歸的思想，將該一元二次方程的二次項系數轉化為1，這樣得到的新方程就可以使用配方法進行求解.

問題7：出現二次項系數不為1的方程后，我們之前總結的配方法的步驟還需要補充嗎？

步驟歸納：一化，即將二次項系數化為1；二移，即將常數項移至等號的右邊；三配，即配成完全平方式；四開，即用開平方法求得方程的解.

【設計意圖】從一元二次方程求解的歷史可以發現，數學家們通常從二次項系數為1的一元二次方程出發，再來求解二次項系數不為1的方程. 歷史相似性原理指出，學生對數學知識的認知過程和歷史上該知識的發展過程存在一定的相似性. 因此，從方程[x2+10x=39]到方程[2x2+5x=7]的過程遵循了歷史的發展脈絡，這種從易到難的過程符合學生的認知規律，更易于學生接受.

（4）強化練習固新知.

練習1：在下列公式中填入適當的數字，要求等式兩邊成立.

（5）抽象升華促提升.

問題8：根據配方法，可以將一元二次方程[2x2+][5x=7]轉化為[x+542=72+2516]，再進行開平方運算. 為了避免在計算過程中出現分數，降低計算難度，有沒有什么巧妙的方法來求解這個一元二次方程呢？

教師先引導學生自主探究，再向學生介紹海倫的思想，即在方程兩邊同乘一個數，使得方程不出現分數，進而簡化運算.

【設計意圖】引導學生探索更多解一元二次方程的方法，鍛煉和拓展學生的思維. 這一過程符合歷史上一元二次方程求解的發展歷史，即由簡單的二次項系數化為1的方法到把方程乘某個數再求解的巧法.

（6）歸納總結促深化.

教師與學生共同進行歸納，總結用幾何法和配方法解一元二次方程的聯系，以及化歸思想在教學過程中的滲透.

三、案例分析

本案例中，首先，從問題情境引入新知，引導學生探究將代數轉化為幾何來求解特殊的一元二次方程，再通過探究補形成方的方法求解一般的一元二次方程；其次，借助幾何法引入配方法，引導學生從幾何的角度理解配方法的意義，由幾何回歸代數；最后，引導學生探究解方程的巧法，拓展學生的思維. 根據上述案例，得出以下三點啟示.

1. 再現知識的發展過程，在過程中使核心素養落地

在新知的學習過程中，教師應當向學生展示知識本身的歷史發展脈絡. 學生可以通過自主探究發現新知，形成對完整知識體系的理解，做到“知其然，知其所以然”，而不是簡單地操作訓練、死記硬背. 在求解一元二次方程一課中，教材一般直接通過問題、練習等引入配方法及其操作步驟，并未解釋其內在含義，學生缺乏對知識的深刻理解. 本節課遵循知識發生發展的脈絡，從簡單的一元二次方程入手，借助正方形的面積幫助學生發現并理解配方法. 先從幾何的角度來呈現知識，探究知識的本源，學生更容易接受，也為配方法的學習提供橋梁，再從幾何回歸代數，使學生能夠充分認識到“配方”的內涵. 并且，本節課的教學遵循從二次項系數為1的一元二次方程過渡到二次項系數不為1的一元二次方程，符合學生的認知發展規律. 這一過程不僅考查了學生的數學運算素養，還滲透了數形結合、轉化與化歸思想等，在探究方程幾何解法的過程中培養了學生的動手操作能力.

2. 融入數學文化是手段，切忌滿堂灌

數學文化的引入既有利于數學教學的開展，也有利于學生對知識的理解. 但它只是一種手段，是為了輔助學生的學習，而數學文化的過度運用則會使學生的學習本末倒置. 由于當時的數學家們還未進入符號代數時期，因此他們大多數從幾何的角度來求解方程. 而學生現在已經掌握并理解了代數符號，也了解了幾何法與配方法的歷史，可以借助幾何法理解配方法. 同時，幾何法也存在著缺點，用幾何法只能求得方程的正根，而去掉了負根. 并且，過度運用幾何法也不利于培養學生的抽象思維. 因此，本節課引入一元二次方程的幾何解法只是為了讓學生更好地理解配方法，培養學生的數形結合思想，幾何解法最終還要回歸配方法.

3. 重視解題巧法，拓展學生思維

許多數學問題都有著解題的一般方法和巧法. 教師在教學中應該注重兩者的結合，在一般方法的基礎上讓學生探究巧法. 巧法的探究既可以拓寬學生思維的廣闊性，又可以鍛煉學生思維的靈活性. 而對于一元二次方程的求解，數學家們也給出了多種解法，海倫等人給出了二次項系數不為1的一元二次方程的解題巧法. 因此，本節課先讓學生掌握將二次項系數化為1的解題方法后，再讓學生探究求解二次項系數不為1的方程的巧法. 這種循序漸進的教學方式，既易于學生接受，也有助于思維訓練，提升了思維品質，培養了理性精神. 但是，在求解一元二次方程時，不可以過度強調巧法，巧法應當作為一般方法的拓展.

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作者簡介：徐夢倩（1995— ），女，二級教師，主要從事數學課程與教學研究；

朱哲（1979— ），男，副教授，博士，主要從事數學課程與教學論研究. 朱哲系本文通訊作者.