利用數學活動發展學生的核心素養

摘" 要：數學活動是以實踐操作為主要形式的教學活動，既是引發深度學習的重要載體，也是提高學生數學核心素養的一種有效途徑. 以數學活動“折紙與證明”為例，從激發學習興趣、發展推理能力、培養幾何直觀和空間觀念、發展抽象能力等方面展開討論，分析如何利用數學活動提高學生的數學核心素養．

關鍵詞：數學活動；數學核心素養；折紙與證明

折紙是利用已有知識進行的折疊活動，目的是讓學生在活動過程中鞏固所學知識并提高相關能力，為證明一個命題提供思維基礎，同時為構造輔助線提供思路和方法，在應用中強化幾何直觀與邏輯推理的聯系，發展學生的推理能力、幾何直觀和抽象能力等數學核心素養．

一、以發展核心素養為目標設計數學活動

以蘇科版《義務教育教科書·數學》八年級上冊第2章“軸對稱圖形”部分的數學活動“折紙與證明”為例，基于發展學生數學核心素養的視角設計如下數學活動．

操作1：折線段的垂直平分線，并闡述理由．

操作2：折角的平分線，并闡述理由．

【設計意圖】先從基本的折線段的垂直平分線和折角的平分線入手，以低起點切入，起到“熱身”的效果，并以其連貫性和明顯的邏輯關系為后面的操作作鋪墊. 通過這些簡單的操作活動，可以搭建起溝通現實與數學的橋梁，促進學生幾何直觀素養的發展.

探究活動1：如圖1，在△ABC中，AB gt; AC，怎樣證明∠C gt; ∠B呢？

【設計意圖】設計讓學生折紙進行證明的思維活動，使學生在操作中聯想，感受圖形的變換過程，得到作輔助線解決問題的思路，即通過作角平分線完成證明. 如圖2，通過證明△ACD ≌ △AC′D，得到∠C = ∠AC′D. 再利用三角形外角證明∠AC′D gt; ∠B，從而得出∠C gt; ∠B. 這樣就實現了從感性操作到理性認識的轉變，從而提升了學生的幾何直觀和推理能力.

為了加深學生對上述活動的理解，需要提高任務難度，再添加一條角平分線，于是給出探究活動2.

探究活動2：如圖3，在△ABC中，∠BAC = 60°，∠ACB = 40°，點P，Q分別在邊BC，CA上，并且AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線. 你能發現圖3中哪些線段之間的等量關系？

【設計意圖】有角平分線的情況下，除了可以考慮作“雙垂直”外，還可以通過翻折或截取相等線段構造全等三角形. 如圖4，在AC上截取AB′ = AB，則可以由“SAS”證明△ABP ≌ △AB′P. 則可以得到BP = B′P，∠ABP = ∠AB′P = 80°. 再利用三角形外角求出∠B′PC = ∠AB′P - ∠C = 40° = ∠C. 所以B′C = B′P = BP，也就是將AB + BP轉化為AB′ + B′C，所以AB + BP = AC. 同樣也可以利用等腰三角形的性質將BQ + AQ轉化為CQ + AQ，從而發現BQ + AQ = AB + BP = AC. 這是由折紙活動帶來的作輔助線的靈感. 對折紙活動的再應用，可以提高學生對知識的遷移能力.

操作3：用如圖5所示的正方形紙片折等邊三角形，并證明.

教學活動中，教師要引導學生分析如何操作才能構成等邊三角形. 依據直觀想象尋求等邊三角形與正方形的關聯是解決問題的關鍵，這樣能夠有效培養學生的推理能力. 要得到等邊三角形，可以考慮三邊相等，也可以考慮兩個角是60°. 如圖6，先將正方形紙片對折得到折痕EF，再通過折疊使邊AB上的點A落到折痕EF上. 因為折痕EF垂直平分線段BC，所以A′C = A′B = AB = BC. 也可以從構造60°角的角度思考，由對折可知BF =[12]BC，且A′B = AB = BC. 則在Rt△A′BF中，BF =[12]A′B. 所以∠A′BF = 60°. 再由A′C = A′B，可知△A′BC為等邊三角形．

【設計意圖】用正方形紙片折等邊三角形，相對于由已知條件出發證明△A′BC是等邊三角形，是一種逆向思維. 學生需要在掌握等邊三角形的性質和判定的基礎上探究折疊操作步驟；需要尋找依據，進行邏輯推理，從而使折紙成為一種創造性思維活動. 這種操作與思維相融合的體驗式學習活動，有利于發展學生的幾何直觀、空間觀念和推理能力．

操作4：思考上述折紙過程中蘊含的數學原理，嘗試用如圖7所示的長方形紙片折等邊三角形，并證明.

將從用正方形紙片折等邊三角形活動中獲得的數學活動經驗進一步提煉、總結，形成基本思想，才有推廣和應用的價值. 如圖8，對折長方形紙片，得到折痕EF，再通過折疊使邊AB上的點A落到折痕EF上，此時也可以通過BE =[12]AB =[12]A′B來證明∠A′BE = 60°，并進一步證得∠GBH = ∠BHG = 60°. 教師要鼓勵學生用多種方法證明△BGH為等邊三角形，從而培養學生的發散思維. 教學中，建議采用小組合作學習的方式讓學生自主交流并闡述觀點，理解折紙過程中蘊含的數學原理，了解其應用價值，發展學生的抽象能力．

【設計意圖】通過以上折紙活動，學生經歷了由簡單到復雜的探究過程，發展了動手實踐能力、幾何直觀及推理能力，同時也提高了數學應用意識，加深了對等邊三角形性質的理解與認識，體會到了“做數學”的重要性．

操作5：用長方形紙條折一個正五邊形．

把紙條按如圖9所示的方式打結，再拉緊壓平，則打結部分的五邊形ABCDE為正五邊形（如圖10）. 教師也可以將不同的折紙方式做成微視頻讓學生欣賞.

【設計意圖】前面的折紙活動主要利用對稱性進行折疊，然而折紙方法具有多樣性，有必要讓學生了解多種折紙方法，感受折紙的魅力，通過多元化的學習方式讓學生理解操作與思維過程的相輔相成. 同時，折正五邊形的操作比較簡單，但證明過程卻較為復雜，學生難以獨立完成. 因此，可以將該操作的證明作為課后思考讓學生嘗試探究，也可以隨著后續學習的深入再進行推理證明．

二、反思折紙原理

折紙操作和尺規作圖一樣都蘊含著基本的數學原理，它們有相似之處卻也存在諸多差異. 例如，尺規作圖不能將任意角三等分，通過折紙卻能做到. 曾有數學家對折紙操作展開過深入研究，并提出了關于折紙的6條幾何公理.

反思折紙活動，涉及的基本數學原理就是軸對稱，利用由折疊產生的垂直平分線、角平分線及全等三角形，再結合線段與角的相互轉化，可以演變出豐富多彩的折紙操作. 羅伯特·朗就是一位將折紙理論應用于現實生活的折紙大師，他曾幫助德國一家安全氣囊生產公司設計折疊模型，用昆蟲足部折疊的方法減少了安全氣囊所占的空間.

在數學教學過程中，我們要通過多種方式培養學生用數學的眼光觀察現實世界的能力，鼓勵學生利用數學原理解決實際生活問題. 回歸到現階段的初中數學教學，對于像折紙這樣的數學應用類問題的考查，也必然會更加頻繁地出現在我們的視野. 因此，開展數學活動探究，無論是對于學生數學核心素養的培養，還是對于數學教育育人價值的開發，都能展示出其特有的作用與魅力.

三、教學反思

1. 激發學習興趣是發展數學核心素養的前提

折紙可以用于證明命題，會使學生產生好奇心和探究的欲望. 學生產生了學習動機，就會主動學習，進而激發學習潛能. 有的學生說：“折紙活動讓我們非常輕松地學到了很多知識；小組活動讓我們體驗了合作交流的樂趣和價值，拉近了同學關系、師生關系，為培養我們的實踐能力和創新精神提供了良好的學習載體.” 有的學生希望之后的數學課上也要多安排一些動手操作環節，以提高數學學習的趣味性，進一步體現數學知識的實用價值. 學生普遍認為動手操作有利于加深對數學知識的理解. 由此可見，教師應該為學生提供充分經歷動手實踐的機會. 學生只有深入參與探究過程，才有可能進行深度學習，進而深化思維過程，發展數學核心素養．

2. 找準活動與思維的契合點，發展推理能力

數學活動能夠引發學生思考，為解決問題提供實踐思路. 因此，教師要找準活動與思維的契合點. 例如，在探究活動1中要證明∠C gt; ∠B，學生容易想到的方法是“三角形的外角大于和它不相鄰的內角”. 為此，需要重構∠C和∠B的位置關系，從操作層面思考能夠使學生感悟作輔助線的動因. 要重構∠C與∠B的位置關系，需要進行圖形的變換. 學生已經學習過平移、翻折（全等），而且有折紙操作的經驗，容易想到將邊AC翻折到邊AB上，翻折后直觀發現∠C和∠B的大小關系. 折紙操作為學生的思維活動提供了的動力，變換角的位置關系等思維活動為學生的具體操作指明了方向，揭示了問題的本質. 反思折紙過程，實際上有些探索角或邊的問題，常常需要利用角平分線構造全等三角形，變換角或線段的位置，進而解決問題. 這樣就加深了學生對數學問題的思考和理解，強調從感性認知到理性思考的轉變，形成一定的數學觀念，促進數學思想和數學能力的整體提高. 因此，對于數學活動課，教師要找準活動與學生思維的契合點，使活動成為學生思維發展的源泉，突出從感性到理性的提升過程．

3. 通過折紙操作培養學生的幾何直觀和空間觀念

折紙是以操作為載體的多種感官的協調活動，在實踐中促進學生對知識產生更深入的理解. 學生已經學習過等邊三角形的判定，遷移運用知識才能發展學生的能力. 怎樣通過折紙構造等邊三角形？需要分析等邊三角形的性質和判定條件，需要在頭腦中構思操作過程. 操作、觀察和思維獲得要相輔相成，這樣的學習才是深度學習，才能發展學生的幾何直觀、空間觀念和推理能力. 教師要引導學生反思折紙的原理. 等邊三角形是軸對稱圖形，可以以對稱軸作為突破口，為此需要把正方形或長方形紙片對折，這樣就構造出了垂直平分線，從三條邊相等或兩個角為60°兩個角度出發，再通過折疊使正方形或長方形的一個頂點落到第一條折痕上，從而折出等邊三角形. 教學中，教師要尊重和信任學生，鼓勵學生自主思考、猜想，并嘗試動手操作，引導學生以多樣化的學習方式自主或合作建構知識、積累經驗，通過反思和評價促進學生深度理解知識. 重視實踐、重視應用，才能使深度學習真正發生. 教師要引導學生學會運用已有經驗解決問題，培養學生的應用意識，鼓勵學生勇于自主向新問題發起挑戰，從更宏觀的角度認識并掌握知識．

4. 探尋一般規律發展抽象能力

折紙活動不僅有動手操作的直觀，更需要理解原理，才能洞悉全貌. 在折紙活動中，若要折出相等的線段，不僅可以通過折角平分線或者線段的垂直平分線等方式得到，也可以利用全等三角形得到，這些都是折紙的基本原理. 學生如果能在活動中總結并主動發現這些規律，就能有足夠的信心和能力去應對更具難度的折紙挑戰. 對折紙步驟的確定，需要學生具備一定的逆向思維能力. 這不僅需要學生具備一定的活動經驗與動手操作能力，更需要具備對一般數學規律的深度思考和認識，從而指導實踐. 例如，要折等邊三角形，可以先構思折出的等邊三角形在紙片的什么位置，然后再考慮怎么折出相等的邊. 當然，也有些折紙操作簡單但說理比較困難，對其進行驗證則需要學生具備對折紙一般規律的認識. 在這樣的活動過程中，教師要引導學生將相關幾何知識進一步系統化、結構化，使學生對圖形的對稱性有深刻認識，從而使學生的抽象能力得以提升．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］喻平. 發展學生數學核心素養的教學與評價研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.

基金項目：2020年江蘇省基礎教育前瞻性教學改革實驗培育項目——初中“數學活動”育人的教學實踐（2020JSQZ0149）；

江蘇省教育科學“十四五”規劃課題——初中“數學活動”育人路徑的研究（C-c/2021/02/172）.

作者簡介：帥建卓（1984— ），男，一級教師，主要從事初中數學活動課程研究；

顧廣林（1964— ），男，高級教師，江蘇省特級教師，主要從事中學數學教學的有效性研究.