追本溯源探本質 思想引領拓思路

摘" 要：結合2021年中考河南卷第23題，引導學生進行分析和探討，經歷“分析表征—識別分離—構造表示—建立方程”等推理、運算過程，感悟解法本質和其中蘊含的數學思想方法，并在數學思想方法的引領下，延伸解題思路，提高學生的思維能力.

關鍵詞：中考試題；解題方法；解題教學

2021年中考河南卷第23題作為整份試卷的壓軸題，問題情境設計貼近學生的學習和生活實際，問題呈現體現了問題探究、優化、抽象、應用、延伸的過程. 試題的任務（3）中涉及許多含有特殊角的三角形，需要綜合運用“數與代數”和“圖形與幾何”領域的知識和方法進行解答. 解題過程中需要用到與角平分線、等腰三角形、軸對稱、解直角三角形等有關的知識，其中蘊含著轉化思想、模型思想、方程思想、函數思想等. 解答過程能夠體現對學生運算能力、推理能力、幾何直觀和模型觀念等素養發展水平的考查. 該題的這些特點決定了可以從多個角度切入求解，可以作為很好的教學資源. 下面以2021年中考河南卷第23題的任務（3）為例，談談筆者個人的一些思考.

一、原題呈現

題目" 下面是某數學興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，請仔細閱讀，并完成相應的任務.

小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC = OD，OE = OF（點C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點為點P，垂足分別為點G，H；（3）作射線OP. 射線OP即為∠AOB的平分線.

簡述理由如下：

由作圖知，∠PGO = ∠PHO = 90°，OG = OH，OP = OP. 所以Rt△PGO ≌ Rt△PHO. 則∠POG = ∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線.

小軍：我認為小明的作圖方法很有創意，但是太麻煩了，可以改進如下. 如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC = OD，OE = OF（點C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點為點P；（3）作射線OP. 射線OP即為∠AOB的平分線.

此題中，若基于“聯想轉化是根本，化為方程是關鍵”的思路，在方程思想的引領下，可以從多個角度建立與幾何圖形相關的等量關系，最容易聯想到的是利用等腰三角形的定義和相似三角形的性質建立等量關系，所以根據題目特征就能自然產生構造等腰三角形和相似三角形的思路，將求線段長度的問題轉化為方程問題，而且方法有很多種. 同樣，等面積法則是在方程思想的引領下，利用面積公式將求線段長度問題轉化為方程問題. 從解決問題的過程來看，以上解法都是將求線段長度問題最終轉化為方程問題，再通過解釋方程解的意義得到線段的長度，整體上體現了數學模型思想.

在方程思想、模型思想等數學思想方法的引領下，此題還可以生成多種解法. 例如，利用中點構造中位線或中線、利用三角形內角平分線的性質、利用正弦定理聯系圓與直角三角形的關系等建立已知量和未知量之間的數量關系，列方程求解.

2. 注意一般觀念的指導，關注數學的學習內容、研究思路和研究方法

求線段長度的方法有很多，能否成功解答此題還與學生對角平分線、軸對稱、等腰三角形、勾股定理、相似三角形、三角函數、解直角三角形、解方程、二次根式的運算等知識的掌握程度密切相關. 為提高學生綜合利用這些知識解決數學問題的能力，教師要正確引導學生從整體上把握相關內容，厘清這些知識之間的基本結構和聯系，掌握解決問題的基本方法，幫助學生積累數學活動經驗，明確和感悟基本方法的思想本質，形成科學的思維習慣.《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出“教學內容是落實教學目標、發展學生核心素養的載體. 在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系”，并要求“通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養”. 章建躍博士曾指出，加強一般觀念的指導，提升教學的整體性和思想性，對于學生掌握數學基本思想和基本活動經驗，提升發現和提出問題的能力都是非常重要的. 因此，在數學教學中，教師應該在一般觀念的指導下設計適當的數學主題探究活動，科學整合相關教學內容，引導學生充分、自主地參與探究，展現思考過程，交流收獲體會，積累活動經驗，從整體上關注數學的學習內容、學習思路和學習方法，體會其中蘊含的數學思想方法，實現從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的進階，從而更好地掌握數學核心知識，學會有邏輯地思考，有條理地表達，進而提高分析和解決問題的能力，進一步理解數學之言、掌握數學之術、欣賞數學之美、感悟數學之道，有效發展數學核心素養，落實數學課程教學目標.

3. 注意關注問題中的特殊對象

幾何圖形中的特殊點、特殊線、特殊角具有重要且優美的特性，這些特性是解決數學問題的基本依據，往往可以作為重要的模型使用. 因此，數學問題中的特殊對象往往具有特殊的地位、特殊的作用和審美價值. 例如，若同時關注本例中的60°和45°兩個特殊角，有利于在相對復雜的題圖中發現并分離出含有兩個特殊角的三角形，從而利用銳角三角函數等知識求出線段OC的長；還可以利用特殊角構造相似三角形求線段OC的長等. 可以看到，上述解決問題的思路和方法都需要在數學思想的引領下，將目光聚焦在問題中的特殊對象身上. 可見，引導學生關注問題中的特殊對象，可以作為審題、構建解題方案、實現有效轉化，以及培養學生解題能力的有效策略之一.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章建躍，鮑建生. 深化課程改革，提高數學教育教學質量：暨“第十一屆初中青年數學教師優秀課展示與培訓活動”總結［J］. 中國數學教育（初中版），2020（4）：2-20.

作者簡介：趙智勇（1963— ），男，中學高級教師，主要從事中學數學教學研究.