挖掘圖形結構 探尋解法生成

2021年中考江蘇南通卷第25題是一道以四邊形為背景命制的幾何綜合題，涉及的知識點比較多，綜合性較強、隱蔽性較高、題目難度較大，能夠比較全面地考查學生分析和解決問題的能力. 當學生在解幾何題過程中感覺無從下手時，如果能挖掘圖形結構，添加恰當的輔助線，就能起到化隱為顯、化繁為簡、化難為易的效果，從而探尋解題的方法. 下面以2021年中考江蘇南通卷第25題為例，探索抓住圖形結構、探尋相關解法的過程.

一、試題呈現

題目" 如圖1，正方形ABCD中，點E在邊AD上（不與端點A，D重合），點A關于直線BE的對稱點為F，連接CF，設∠ABE = α.

（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）.

（2）過點C作CG⊥AF，垂足為點[G]，連接DG，判斷DG與CF的位置關系，并說明理由.

（3）將△ABE繞點B順時針旋轉90°得到△BCH，點E的對應點為點H，連接BF，HF. 當△BFH為等腰三角形時，求sin α的值.

二、解法研究

1. 研讀條件，合情猜想

第（1）小題屬于基礎題，方法比較單一，不再贅述. 下面僅對第（2）小題和第（3）小題的解法進行探索.

第（2）小題的結論顯而易見為CF∥DG. 要證明兩直線平行，常規方法就是將其轉化成證明角之間的關系. 通過解決第（1）小題，發現圖形中的角基本都是變化的，如何從變化中探究不變的關系是解決第（2）小題的關鍵. 這就需要學生具備分析問題的直觀想象和合情猜想能力，通過研讀條件、觀察圖形，聯系問與問之間的遞進關系，合情猜想△FCG是等腰直角三角形，求出∠CFG = 45°. 因此，此題的第一個突破口就是根據題目條件求出∠AFC = 135°. 圖1中除了正方形中隱含一些90°的特殊角，其余角的度數都是未知的，那么如何求出這些角的度數呢？此時我們可以看出圖形中存在一個“共頂角頂點的雙等腰三角形”模型，因此可以自然聯想到采用設角求角的方法求出相鄰兩個底角和∠AFC的度數.

求∠AFC度數的方法如下.

方法1：按要求補全圖形，連接BF，如圖2所示. 由對稱的性質可得出∠ABE = ∠FBE = α，則∠AFB = 90° - α，∠FBC = 90° - 2α. 所以在△FBC中可以求出∠BFC = 45° + α. 由∠AFC = ∠AFB + ∠BFC，得出∠AFC = 135°.

如果沒有發現圖形中具有“共頂角頂點的雙等腰三角形”模型，可以根據AB，BF，BC三條線段相等，結合圓的定義進行思考，發現A，F，C三點共圓，從而利用圓中有關性質同樣可以求出∠AFC的度數.

方法2：如圖3，根據對稱可以得出AB = BF = BC，從而得出點A，F，C在以點B為圓心、AB為半徑的圓上，在優弧AC上任取一點H（不與A，C兩點重合），連接AH，CH，利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，求出∠H = 45°，再利用圓的內接四邊形的性質求出∠AFC = 135°.

對于方法2，不僅要求學生能熟練地掌握證明三點共圓的方法，而且要求學生具備一定的抽象能力. 雖然方法2不如設參求角那樣直觀，但運算量較小.

2. 洞察圖形，準確關聯

求出∠AFC = 135°后可以得到△FGC為等腰直角三角形，∠CFG = 45°. 現在要證明FC∥DG，相當于要求出∠DGF為45°. 那么如何求∠DGF呢？突破口在哪里？其實關鍵點還在圖形，要能從復雜圖形中抽象或者構造出基本幾何圖形. 通過認真觀察、挖掘該圖形，補全和隱藏一些線段，可以發現圖形中蘊含著一個如圖4所示的“共頂點的兩個等腰直角三角形”模型（俗稱“手拉手”模型），這個基本圖形在學習全等三角形和相似三角形時均有出現. 因此，解題的入口比較寬.

求∠DGF度數的方法如下.

方法1：如圖5，連接AC，BF，則△ADC為等腰直角三角形. 由已知可得△ADC ∽ △FGC. 所以[CGCF=DCAC]，∠ACF = ∠DCG. 易證得△ACF ∽ △DCG. 從而求出∠DGC = ∠AFC = 135°，所以∠DGF = 45°.

方法2：如圖6，連接BF，過點D作DG的垂線，交AG于點H. 根據∠ADH = ∠CDG，AD = CD，∠DAH = ∠DCG，易證得△ADH ≌ △CDG. 得出DH = DG. 從而求出∠DGF = 45°.

方法3：如圖7，由于∠ADC = ∠AGC = 90°，即圖中存在“共邊的雙垂直”模型，想到A，C，G，D四點共圓，然后利用同弧所對的圓周角相等，得出∠DGF = ∠ACD = 45°.（說明：如果連接BD與AC交于點O，得出OA = OB = OC = OG = OD，則得出A，B，C，G，D五點共圓，也可以求出∠DGF = 45°.）

方法4：如圖8，延長CG交AD的延長線于點H，過點D作DM⊥AG，DN⊥CH，根據AD = CD，∠DAG = ∠DCH，∠AMD = ∠CND，易證得△ADM ≌ △CDN. 得出DM = DN. 從而得出DG是∠AGH的平分線，因此∠DGF = 45°.

不難發現，上述幾種解法均圍繞求角的度數的常規思路解題，利用全等三角形、相似三角形，或者構造圓來解決. 突破的路徑就是相關基本圖形添加適當的輔助線，這就需要教師在每一階段的幾何教學中不斷滲透模型思想，將復雜圖形中無關的線條去掉，培養學生構造基本圖形解決問題的能力.

3. 捕捉圖形，合理轉化

第（3）小題求∠ABE的正弦值，本質就是探究Rt△ABE的三邊關系. 可得如下解題方法.

方法1：如圖9，根據條件“△BFH為等腰三角形”進行分類討論.

當BF = BH時，由BE垂直平分AF，可得AB = BF. 所以BC = BH. 這與直角三角形中斜邊大于直角邊相矛盾，因此此種情況不成立.

當BF = FH時，∠FBH = ∠BHF = 90° - α. 又因為∠BHC = 90° - α，所以∠BHC = ∠BHF，所以H，C，F三點共線. 此時點E與點D重合，這與題目中的條件相矛盾，此種情況也不成立.

當BH = FH時，如圖10，連接EC，EF，可證得△EFC ≌ △HCF. 所以EC = FH. 所以BH = EC. 又因為BE = BH，所以BE = EC. 從而得到Rt△ABE ≌ Rt△DCE. 所以E為AD的中點. 從而求出∠ABE的正弦值為[55].

方法2：如圖11，連接EC，可以發現圖中存在一個全等模型，這樣可以通過證明△BCE ≌ △BFH，將等腰三角形BFH的分類轉化為對△BCE為等腰三角形的分類，其過程明顯會簡單很多.

當BE = BC時，點E與點A重合，與已知條件矛盾，此種情況不成立；

當BC = CE時，點E與點D重合，與已知條件矛盾，此種情況不成立；

當BE = CE時，E為AD的中點，從而求出∠ABE的正弦值為[55].

三、試題評價

此題是一道以正方形為背景，結合圖形的軸對稱和旋轉變換設計的動態幾何壓軸題. 從知識層面來看，主要考查正方形的性質、軸對稱的性質、旋轉的性質、圓的有關知識、三角形的全等及相似等基礎知識；從能力層面來看，重點考查了數形結合、分類討論、轉化思想，注重考查學生的圖形構造、邏輯推理、直觀想象和分析問題能力.

1. 素材源于教材，立意基于能力

教材是教學的根本，是數學教師教學的基本范本，更是學生獲得數學知識和數學思想方法，積累基本活動經驗并形成數學核心素養的載體.“共頂點的手拉手模型”作為一個經典的幾何模型，在人教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊第十二章“全等三角形”、第十三章“軸對稱”，九年級上冊第二十三章“旋轉”中都有出現. 題目很好地體現了“源于教材，高于教材”的命題理念，注重對經典圖形和核心知識的考查，解題入口寬，使學生能結合不同階段學習的知識找到相關的解題思路和方法，體現了中考試題的公平性.

2. 立足學生基礎，難度拾級而上

該題的題干簡潔明了，圖形簡單，三道小題的設置精準到位，起點低、坡度小、落點高，各小題之間層層遞進. 第（1）小題比較簡單，主要考查軸對稱的性質、等腰三角形的性質等知識，只要能用字母表示出相關角的度數，借助“三角形內角和為180°”就能順利表示出∠BCF的度數，同時為解決第（2）小題打下基礎. 第（2）小題的難度有所提升，切入口是證明∠AFC = 135°、△FGC為等腰直角三角形，突破口是把∠AFC轉化成兩個角的和（都要用含α的式子來表示），也可以借助圓的內接四邊形的性質來求，然后通過構造全等三角形或者相似三角形解決相關問題. 對于第（2）小題，要求學生的解題目標明確、思路清晰，抓住已知條件和圖形的特征，從而根據自然生成的想法成功求解. 第（3）小題難度較大，需要學生具有較好的理解能力和分析問題能力，滲透了分類討論思想. 題目中蘊含豐富的基本圖形和數學思想，突出對所學知識本質的考查，較好地考查了學生的抽象能力、幾何直觀、推理能力和分析問題能力.

四、解題感悟

1. 培養學生思考問題的方式

幾何學作為研究“形”的科學，以視覺思維為主導，培養人的觀察能力、空間想象力和洞察力. 解題時，要借助幾何直觀挖掘圖形的結構特征，根據題目的條件開展合理的猜想與推理，建立知識點之間的邏輯關系. 在平時的教學中，教師要利用好教材、理解教材，清楚數學知識及思想方法是螺旋上升的，厘清相關數學知識之間的區別和聯系，以及知識的發生發展過程，掌握知識結構體系. 在解題教學中，教師要讓學生認識到數學學習是思維的訓練，要經歷探究的過程，數學學習不是生搬硬套、機械模仿，要學會用數學的方式觀察、思考問題.

2. 培養學生的構圖能力

如何構造輔助線一直是幾何教學的難點. 如果學生沒有真正理解構圖的本質，只是記憶和模仿，不能從復雜的圖形中抽象出基本圖形，則不會找到解題的突破口. 解決該題第（2）小題的關鍵是要發現無論點E在邊AD上怎么運動，∠AFC始終為135°，從而發現△FGC為等腰直角三角形，這時就可以構造“手拉手”全等、相似模型進行求解. 第（3）小題中，方法2通過構圖把探究△BFH轉化為探究△BCE，是非常簡約的. 因此，教師在日常教學過程中要注重培養學生的識圖能力、構圖能力和推理能力，使學生在面對較復雜的圖形時能從中找到或者分解出基本圖形，從而在面對同一問題時，在不同的知識水平歸納出不同的方法. 教師只有在平時教學中培養學生積累構圖的經驗，才能有效提高學生的識圖與構圖能力，進而培養其幾何直觀.

對一道好的中考數學試題的解題探索過程，其實也是教師學習教解題的過程. 教師只有站得高、看得遠，深度把握知識點之間的聯系、解題的思想與方法，才能帶動學生積極主動地多研究、多思考，從而點燃學生解題的熱情，堅定他們戰勝難題的信心.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］猶廣江. 回歸條件本源" 走出思維定式：一道教師解題能力大賽試題的解法探究［J］. 中學數學教學參考（中旬），2021（6）：43-45.

基金項目：南通市教育科學“十三五”規劃2020年度立項課題——基于問題鏈教學的初中數學深度學習研究（GH2020054）.

作者簡介：潘紅裕（1979— ），男，中小學高級教師，主要從事課堂教學和試題命制研究.