整體觀念下類比與歸納在方程教學中的運用

摘" 要：整體觀念下的類比與歸納需要站在系統角度思考，類比教學手段有利于學生歸納. 研究者在執教“分式方程（1）”一課時，將分式方程與整式方程進行類比，尋找相同點，剝離差異點，借助知識的傳承、關聯和生長，通過剖析概念要素、研究解法算理、優化思維導圖、搭建學習導圖組織教學.

關鍵詞：類比與歸納；方程教學；分式方程

在浙教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）中，學生會學習不同類型的方程（組）和不等式，依次為：一元一次方程（教材七年級上冊），二元一次方程組（教材七年級下冊），分式方程（教材七年級下冊），一元一次不等式（教材八年級上冊），一元二次方程（教材八年級下冊）. 這些內容不僅在研究內容（概念、解法和應用）上相近，而且研究內容的要素具有類比性. 從概念要素的構成視角來看，以“整式 + 方程”構成整式方程，以“分式（或分式和整式） + 方程”構成分式方程等；從解法依據的原理視角來看，整式（帶數字分母）方程與分式方程的解法具有類似性，一元二次方程與一元一次方程的解法具有進階性；從實際問題解決的方法視角來看，學生經歷了波利亞“怎樣解題”的解題過程，即“弄清題意（明確題意）—擬定計劃（解題計劃）—實現計劃（解題計劃）—回顧（審核所得的解）”的過程，在不同的實例中運用這些過程，不斷提升問題解決能力，具有相同性和進階性.

基于上述分析，對于這類課，教師可以開展類比教學，并在類比中突出區別要素（重點和難點），在直觀中讓學生學會歸納，在歸納中培養學生的代數抽象能力. 本節課將分式方程的概念、解法和應用與一元一次方程進行類比，剝離出要素，突出重點、突破難點，并在類比的基礎上進行歸納，最后讓學生把新知融入方程體系，取得了較好的教學效果，供大家參考.

一、教學內容及目標設定

學生學習分式方程要經歷概念、解法及應用的過程，這個過程是學生在學習了一元一次方程、二元一次方程（組）后的再一次經歷，其內容不僅是基礎知識的學習，更是方程內容學習的延續和演變過程. 筆者在設計中融入了類比和歸納的教學方法. 本節課的教學目標為：了解分式方程的概念；會解可化為一元一次方程的分式方程；了解增根的概念，會對分式方程進行根的檢驗，在解決問題中感受類比學習，體會分式方程的模型思想，并進一步感悟化歸思想.

二、教學過程

1. 類比方程演變體系，引出課題

在教材七年級上冊學習了“4.4 整式”，通過等號把整式與整式連接，出現了“5.1 一元一次方程”，這是數學知識第一次從式到方程的升級過程；在教材七年級下冊學習了“5.1 分式”，接下來分式會如何升級？（等號連接）升級到何處？（分式方程）對研究對象（教材內容）的比較有利于學生建立研究數學體系內在知識的聯系.

三、教學感悟

本文的整體觀念是指在研究某一個領域的內容時能從該領域的統一性和完整性的角度去思考，形成高視角的教學觀念. 每個領域由相似的知識模塊組成，它們在知識結構和研究方法等方面高度相似，內容之間相互關聯、相互迭代. 此時，教師采用類比與歸納的方法進行每個模塊的教學是合理的策略. 例如，課例中，教師將本節課學習的分式方程與整式方程進行類比與歸納，根據先行組織者策略，從“整體出發，逐漸分化”，即從方程研究的宏觀角度出發，引導學生從微觀視角比較方程之間的差異，在差異中尋找方向（概念的得出），在相同中尋找解法的邏輯基礎，將研究的問題具體化，進而構建整體研究思路，然后按照知識的邏輯順序逐步展開學習. 章建躍博士說過，幾何教類比，代數教歸納. 在方程教學中，一般根據“定義—解法—應用”的流程進行新課教學，無論是教學流程還是知識結構，方程之間都有很強的類比性，通過類比就能很好地進行歸納，實現代數重在教歸納的過程. 通過類比，我們可以根據不同事物的屬性用同樣的推測方法去發現新事物的屬性，從而對屬性進行歸納，有利于概念的自然生成. 也可以用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質，從而容易發現其解法，也有利于歸納生成. 這兩個角度都是從特殊到特殊的類比推理，從而實現從特殊到一般的歸納. 雖然歸納的結論正確與否是不確定的，但是初中階段代數的“不完全歸納”應該是學生需要掌握的一種思維能力，是邏輯推理不可或缺的組成部分.

1. 剖析概念要素，尋找異同點，明晰概念歸納

在進行概念類比教學的設計時，教師首先要剖析新概念的要素，再尋找與之相近的已學概念. 對比新、舊概念的要素，是概念的同化還是概念的異化，進而采取適當的類比教學. 在本案例中，分式方程的概念要素是：分式或分式和整式；分母中含有未知數的方程. 一元一次方程的概念要素是：整式；只含一個未知數，并且未知數的指數最高是一次的方程. 對比發現：在“型”的結構上，分式方程的概念要素和一元一次方程的概念要素都是從式到方程，對未知數的特征進一步解釋. 由此，教學從式出發，兩兩組合成方程，對兩類方程進行對比，凸顯分式方程在“型”的特征和未知數的特征方面的屬性歸納. 用同樣的推測方法類比發現不同事物的屬性，實現概念歸納.

2. 研究解法算理，尋找進階點，凸顯要點歸納

在進行分式方程解法類比教學時，需要明晰解法的依據，思考解法與已學知識中的哪個知識相近，進一步分析解法中哪些是舊知識，哪些是關鍵之處. 在本案例中，發現分式方程[x+32x-3=27]與[x+32=2x-37]相似，解法相近，對例題的數據進行改編，使它們整理后的方程都是[7x+3=22x-3]，引導學生的觀察視角為解法的發現和去分母的要點，使類比教學更加徹底. 又如，[x+32=2x-37-2]和[2-xx-3=][13-x-2]凸顯去分母的漏乘類比，讓學生能順利地用已有經驗去解決新知識，通過用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質的類比手段，實現步驟歸納. 再如，抓住整式（含分數）與分式方程去分母的困難點，需要對此進行類比強化，從而使學生感悟解分式方程的重要步驟. 本案例選擇[2x-3x+6=13]，[x2x+4=][16x+4]，[2x-2=][4xx2-4]這三種不同形式的方程進行填空式的類比強化，實現解分式方程的進階性學習策略，助推學生歸納和熟悉解分式方程的要點，讓學習輕松進行.

3. 優化思維導圖，尋找通性通法，有利于解法歸納

容易發現，方程類的實際問題解決符合波利亞的解題四步驟，即弄清題意、擬定計劃、實現計劃、回顧. 由此進一步細化可操作的步驟為審題、設元、列方程（組）、求解、結論等. 教師需要搭建有利于解題的思維路徑幫助學生快速解決這類問題，所有用方程思想和建模思想解決的實際問題都需要尋找和確定等量關系. 由此，可以成為所有方程類問題解決的通性通法，即找到等量關系（1 ～ 3條），根據實際問題確定1條為列方程的等量關系，用其余的等量關系表示出相關量. 本案例中就是利用這樣的通性通法引導學生思考的，歸納列方程解實際問題的思維導圖，如圖3所示.

對于“想一想”中的實際問題，學生容易找到3條等量關系：原收費標準下每分鐘收費 × （1 - 25%） = 新收費標準下每分鐘收費（每分鐘費用降低了25％）；原通話時間 + 5 = 新通話時間（在新收費標準下可多通話5分鐘）；[時間=總費用每分鐘費用]（隱藏的等量關系）. 根據所求問題，容易設原收費標準下每分鐘收費為x元. 因此，確定“原通話時間 + 5 = 新通話時間”為主要等量關系，用其余等量關系可以求出相關量（用含x的代數式表示），容易建立方程. 學生若選擇“原收費標準下每分鐘收費 × （1 - 25%） = 新收費標準下每分鐘收費”為主要等量關系，也可以列出方程，但是思維路徑比較曲折.

4. 搭建學習導圖，尋找學習方法，實現學有所悟

學習方程需要構建整體觀念下的學習導圖，即建立“式—方程”的橫向學習路徑，也應構建“概念—解法—應用”的縱向研究路徑，更應讓學生感受到所有方程類學習的途徑是類似的，是可以類比的. 本案例中的引入環節設計從知識系統的視角引出學習分式方程的可能，在學習分式方程的過程中始終圍繞“概念—解法—應用”的研究路徑進行學習，學生在經歷這樣的學習過程中習得方程學習的一般方法，在小結和板書上對學習導圖和學習方法進行圖解式回顧，通過學習導圖讓學生學會歸納，學有所悟.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章建躍. 從數學整體觀看“同底數冪的乘法”的教學［J］. 中國數學教育（初中版），2013（7 / 8）：14-16.

作者簡介：鄭海山（1976— ），男，正高級教師，主要從事初中數學教學研究；

潘小梅（1970— ），女，正高級教師，浙江省特級教師，主要從事初中數學教育教學研究.