模型觀念立意下的概念課教學設計

摘" 要：數學建模活動不僅可以作為一種拓展在課后開展，還可以作為教學方式應用在概念教學過程中. 以“一次函數的概念”一課為例，以模型觀念為立意，選擇兩個典型的現實情境引入，先借助代數運算發現規律，進而抽象出變量之間的關系式，再分析兩個情境中變量的變化規律，歸納出共性，在此基礎上抽象出一次函數的概念. 之后，結合現實情境闡釋參數的意義，深化學生對一次函數概念的理解，進一步發展學生的模型觀念．

關鍵詞：模型觀念；一次函數的概念；概念課教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出模型觀念是數學核心素養在初中階段的主要表現之一. 模型觀念的培養要落實在日常教學中. 例如，可以在模型觀念立意之下，實施“函數”主題下的概念課教學，讓學生在函數、一次函數、二次函數、反比例函數等概念的形成過程中經歷數學建模活動，了解數學模型，感悟模型觀念. 一次函數是刻畫現實世界中具有勻速變化規律的數學模型，一次函數概念的學習過程是培養學生模型觀念的載體，為此進行如下“一次函數的概念”教學設計.

一、“一次函數的概念”教學設計

（一）內容和內容解析

1. 內容

“一次函數的概念”一課選自北師大版《義務教育教科書·數學》八年級上冊第四章“一次函數”.

2. 內容解析

一次函數可以用來刻畫日常生活、自然界、生產實踐活動中具有勻速變化規律的現象. 現實世界中存在大量的具有這種變化規律的現象. 本節課選擇兩個現實情境，利用代數方法對其進行探究，引導學生觀察和發現其中的規律，抽象出函數表達式，建立數學模型.

需要說明的是，教學過程中給出的第一個情境與學生常見的應用題不同. 應用題所給情境通常是優化了的、理想化的，而此情境選取的是現實中的真實數據，是非良構問題情境，需要學生先將數據進行處理，再進一步發現規律. 通過兩個不同的情境，引導學生發現其中的變化規律是因變量隨著自變量的變化而勻速變化，通過歸納共性，抽象出一次函數概念. 為了深化學生對所建立模型的理解，在抽象出一次函數的概念后，結合兩個實際情境，解釋一次函數表達式中參數k，b的實際意義，進一步發展學生的模型觀念．

因此，確定本節課的教學重點是從現實情境中抽象出相應的函數表達式．

（二）目標和目標解析

1. 目標

（1）經歷從現實情境中抽象出一次函數概念的過程，發展模型觀念，鞏固符號意識．

（2）能根據所給條件寫出正比例函數和簡單的一次函數表達式，并能結合實際問題體會一次函數表達式y = kx + b中k和b的實際意義，進一步發展學生的模型觀念．

2. 目標解析

達成目標（1）的標志是：能夠根據教師提供的現實情境，用代數的方法發現其中的變化規律，并用符號表示規律；完成對兩個實際情境中數學規律的探究之后，進一步歸納共性，抽象出本質屬性，得到一次函數的定義，初步體會一次函數模型的特點．

達成目標（2）的標志是：在歸納出一次函數的表達形式后，給出簡單的現實情境問題，要求學生能根據所給條件寫出函數表達式，并會判斷是否為正比例函數和一次函數；能說出一次函數表達式y = kx + b中k和b的實際意義．

（三）教學問題診斷分析

學生在小學階段學習過正比例關系，知道具有正比例關系的兩個量中，一個量隨著另一個量的增大而增大. 前一節課，學生經歷了抽象函數概念的過程．因此，學生已經具備了一定的從現實問題中抽象出變量之間關系的經驗．

在生活中，學生也積累了一個量隨著另一個量的變化而均勻變化的體驗，如勻速運動的列車運行的路程隨著時間的變化而變化，產品單價固定時總價隨著產品數量的變化而變化．

但是本節課所選的實例需要學生對現實問題中的數據具有敏銳的觀察力，用數學的眼光觀察現實世界，并能借助減法運算、近似看待數值等方法發現其中的規律，即用數學的思維分析現實世界，最后用關系式表達規律，并基于對兩個實例獲得的關系式進一步抽象得到一次函數的概念. 對于學生來說，這種數學建模活動的經驗是比較欠缺的．

基于以上分析，確定本節課的教學難點是：分析實際問題中的變量關系，抽象出函數模型；基于函數表達式的共性，抽象出一次函數的本質特征．

（四）教學過程設計

環節1：創設情境，提出問題.

情境１：隨著中國經濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式．由于旅游人數不斷增加，A地景區自2001年起采取了提高景區門票價格的應對措施，表1給出了A地景區2001年至2015年的游客人次.（先不給出“變化規律”一列的數據.）

問題1：觀察A地景區2001年至2015年游客人次的變化情況，你發現了怎樣的變化規律？

師生活動：引導學生先用減法算一算每年的變化規律，得到表1中“變化規律”一列的數據，之后學生通過觀察發現規律，教師幫助其準確表達，并進一步抽象出函數模型．

對于問題1，師生總結：從2002年開始，A地景區的游客人次每年都比上一年有所增加，增加量分別為9萬次、11萬次、11萬次……近似地，可以說年增加量大致相等，約為10萬次．

追問1：如果我們把A地景區的年增加量近似看作10萬次，2001年游客人次是600萬，那么如何用2001年游客人次及年增加量描述該景區游客人次的變化規律呢？填寫表2中的第2列.（只給出表2中的第1行和第1列.）

師生活動：學生認真審題后獨立填表，對有困難的地方通過小組交流解決．

追問2：如果設從2001年起，經過x年后的游客人次為y萬次，又該如何表示A地景區游客人次的變化規律呢？試完成表2的第3列．

追問3：試寫出y與x的關系式，并判斷y是否為x的函數？

師生活動：學生依據表格發現規律，寫出關系式y = 600 + 10x，x = 1，2，3，… ①，依據函數定義判斷，得出y是x的函數．

追問4：如何檢驗寫出的函數表達式是否正確？

追問5：對于①式，y是如何隨x的變化而變化的？你能用文字語言描述嗎？

師生活動：學生結合填好的表格觀察①式，用文字語言表達其變化規律.

學生通過觀察得出：x每增加1，y都增加10；x增加幾，則y增加幾個10. 最后教師對這種變化規律進行概括，即y隨x的增大而勻速增大．

【設計意圖】通過設計真實的、非良構問題情境引導學生經歷“觀察現實世界—發現問題—提出問題—構建模型描述規律—檢驗模型—提煉模型特點”的過程，為后續抽象出一次函數的概念作鋪墊．

情境2：某登山隊大本營所在地的氣溫為5 ℃，海拔每升高1 km氣溫下降約6 ℃. 登山隊員由大本營向上登高x km時，他們所在位置的氣溫是y ℃．

問題2：類比表2填寫表3，并思考隨著x的變化，y是如何變化的.

師生活動：學生類比表2，由特殊到一般地獨立填寫表3，發現其中蘊含的規律，寫出關系式y = 5 - 6x（x ≥ 0）②.

追問1：y是x的函數嗎？為什么？

追問2：如何檢驗寫出的函數表達式是否正確？

追問3：隨著x的變化，y是如何變化的？你能用文字語言描述嗎？

師生活動：學生結合表3觀察②式，發現x每增加1，y都減少6；x增加幾，則y就減少幾個6；y隨x的增大而勻速減小．

【設計意圖】鞏固已有的研究方法，引導學生再次經歷情境1的研究過程，進一步發展學生的模型觀念．

環節2：合作探究，形成概念.

問題3：情境1和情境2中的兩個現實問題的變化規律有什么共同點？情境1和情境2中得到的兩個函數表達式有什么共同點？你能試著用一個函數表達式描述這類變化過程中兩個變量間的關系嗎？

師生活動：學生回顧前面的研究過程，并進行總結，教師予以補充和完善.

學生發現兩個情境中的變化規律具有如下共同點：因變量y隨著自變量x的增加而勻速變化；兩個函數表達式都是用自變量的一次整式表示因變量的，都具有結構“總體 = 固有部分 + 勻速變化部分”．

兩個函數表達式的共同點為：x，y是變量，固有部分和勻速變化的“速度”是常量，如果用兩個字母分別表示這兩個常量，可以統一用y = kx + b來表示①和②這兩個關系式．

教師通過追問引導學生注意到還應補充條件k ≠ 0. 于是得到了一次函數的定義：若兩個變量x，y間的對應關系可以表示成y = kx + b（k，b為常數，k ≠ 0）的形式，則稱y是x的一次函數．特別地，當b = 0時，稱y是x的正比例函數．

【設計意圖】環節2中，再次抽象形成一次函數的概念. 在一次函數概念的抽象過程中，希望學生能從實際情境與數學表征轉化的過程中感悟一次函數模型的意義，欣賞一次函數表達式的簡潔與優美，逐步養成用數學語言表達與交流的習慣．

環節3：初步辨析，理解概念.

例" 寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數？是否為正比例函數？

（1）汽車以60 km / h的速度勻速行駛，行駛路程y（km）與行駛時間x（h）之間的關系；

（2）圓的面積y（cm2）與它的半徑x（cm）之間的關系；

（3）某水池有水15 m3，現打開進水管進水，進水速度為5 m3 / h，x小時后這個水池內有水y m3；

（4）如圖1，甲、乙兩地相距100 km，現有一列火車從乙地出發，以80 km / h的速度向丙地行駛. 設x（h）表示火車行駛的時間，y（km）表示火車與甲地的距離．

師生活動：學生先獨立完成例題，之后全班交流．

【設計意圖】在簡單的應用中，引導學生經歷建立函數模型刻畫現實世界中變化規律的過程，進一步培養學生的模型觀念，幫助學生進一步掌握一次函數的表達式的特征．

環節4：結合情境，體會參數的意義.

問題4：結合以上實際情境，說說這些函數表達式中參數k與b的實際意義．

師生活動：學生先小組交流，然后師生交流，得到每個函數表達式中的參數k，b的實際意義．

【設計意圖】體會一次函數表達式y = kx + b中參數k，b的實際意義，深化學生對一次函數模型的理解，感受數學的抽象性．

問題5：你能舉出一個一次函數的實例，并表示它嗎？你能結合情境說出你寫的一次函數表達式中k，b的實際意義嗎？

師生活動：學生先獨立完成，之后小組交流，整理后在全班進行分享．

【設計意圖】旨在引導學生用數學的眼光觀察現實世界，尋找現實生活中蘊含的一次函數的實例，通過對參數意義的闡釋，進一步深化學生對一次函數模型的理解.

環節5：課堂小結.

回顧本節課的研究過程，回答下列問題．

問題6：對于一次函數的概念，我們經歷了怎樣的研究過程？

問題7：一次函數刻畫的現實世界的現象有怎樣的變化規律？對應于一次函數的表達式，有怎樣的特點？

【設計意圖】問題6引導學生回顧數學建模的過程；問題7引導學生從一次函數表達式的特點、參數的意義等角度進行梳理，進一步發展學生的模型觀念．

環節6：教學目標檢測.

略．

環節7：布置作業.

尋找生活中的一次函數，并用合適的方式表示出來，同時說出參數的實際意義.

【設計意圖】旨在讓學生主動地用數學的眼光觀察現實世界，發現生活中存在著大量的勻速變化現象，切實感悟到一次函數模型體現了數學與現實世界的交流方式及一次函數模型應用的廣泛性.

二、教學設計說明

（一）將數學建模活動作為教學方式應用在概念形成過程中

素養不是教出來的，而是學生在“做數學”的活動中逐步形成和發展的. 形成模型觀念的必由途徑是讓學生親身經歷數學建模的基本過程，而且要反復實踐，多次經歷. 數學建模活動不僅可以作為一種拓展在課后開展，還可以作為教學方式應用在課堂上，特別是應用在概念的形成過程中.

在上述設計中，一次函數概念的形成過程就是教師引領學生經歷數學建模活動的過程，即觀察現實世界現象、發現問題、提出問題、構建模型描述規律（從文字語言到符號語言）、檢驗模型、提煉模型特點、形成一次函數的概念. 之后，引導學生結合實際情境解釋一次函數表達式y = kx + b中k和b的實際意義. 通過這樣的設計，使學生能在一次函數概念的抽象過程中發現一類事物中與數量關系有關的一般規律，并通過適當的數學語言將這種規律表示出來，形成一般模型.

類似地，在學習二次函數的概念、反比例函數的概念時，可以緊扣它們描述的變化規律的特點選擇典型的素材，開展數學建模活動，發展學生的模型觀念.

（二）模型觀念立意下概念課的實施路徑

下面以“一次函數的概念”一課為例進行闡釋.

1. 把握一次函數知識的本質，創設真實、恰當的情境

依據一次函數刻畫的變量間的變化規律的特征，選擇恰當的素材，這是培養模型觀念的基礎. 例如，本節課的設計中選擇了兩個現實情境：A地景區人數變化情境中因變量隨自變量的增大而增大，是一個非良構問題，需要先把增量近似看作10再進一步研究；氣溫隨著海拔高度變化情境中因變量隨自變量的增大而減小. 這兩個情境從兩個方面描述了具有勻速變化規律的現象，具有典型性和代表性.

2. 模型觀念指導下，經歷兩次抽象形成概念

針對現實情境中的數量關系，先發揮代數運算的作用，發現規律，進行第一次抽象. 從感性到理性，從直觀到符號表示，通過問題引導學生算增量、填表格，找到變量的變化規律和關系式的表達規律，初步感知變量y隨x的增大而“勻速變化”，實現從現實情境到數學關系的抽象．

之后，歸納關系式的共性，抽象出一次函數的概念. 針對從兩個情境中得到的關系式，從形式上歸納共性，再次抽象，形成概念. 分析兩個情境中蘊含著相同數量關系：總體 = 固有部分 + 勻速變化部分. 進一步引導學生理解一次函數刻畫的現實世界的規律，完成數學建模.

3. 緊扣教學目標，通過有針對性的練習和實踐作業理解概念

本節課中，形成一次函數的概念之后，教師分三步引導學生理解模型. 第一步是辨析，引導學生進一步理解一次函數模型的特點；第二步是應用，結合現實情境體會一次函數表達式中參數的實際意義，引導學生體會在現實世界中有著豐富的模型背景，理解模型是數學表達現實世界的語言；第三步是布置實踐作業——尋找生活中的一次函數，引導學生用數學的眼光觀察現實世界，發現生活中存在著大量的勻速運動現象，能用數學的思維分析某種現象可以用一次函數刻畫. 通過這三步，學生能切身感悟到一次函數模型廣泛的應用性，同時深化對一次函數模型的理解，進一步發展模型觀念.

事實上，在不同領域、不同主題下，不同內容的學習都可以開展數學建模活動，在數學建模活動中發展學生的模型觀念. 探索將數學建模作為一種教學方式，而不僅僅是數學綜合實踐活動方式，有助于將模型觀念的培養常態化.

參考文獻：

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［3］鮑建生，章建躍. 數學核心素養在初中階段的主要表現之七：模型觀念［J］. 中國數學教育（初中版），2022（12）：3-8.

［4］孫曉天，沈杰. 義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀：初中數學［M］. 北京：教育科學出版社，2022.

基金項目：2022年中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——模型觀念的行為表現及其教學案例研究（22ZS041412ZB）.

作者簡介：李毅宏（1973— ），女，高級教師，主要從事初中數學教育教學研究.