數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的主要行為表現(xiàn)的探索

摘" 要：結(jié)合具體案例分析說(shuō)明初中階段數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的主要行為表現(xiàn)，明晰數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的主要行為表現(xiàn)對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義．

關(guān)鍵詞：應(yīng)用意識(shí)；創(chuàng)新意識(shí)；行為表現(xiàn)

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的內(nèi)涵界定，我們給出數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)行為表現(xiàn)一級(jí)指標(biāo)，如圖1和圖2所示.

下面通過(guò)具體案例對(duì)上述行為指標(biāo)進(jìn)行解析，并提出一些具體的細(xì)化主要行為表現(xiàn)的想法.

一、初中生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的主要行為表現(xiàn)

《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的行為表現(xiàn)概括為：“能夠感悟現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，可以用數(shù)學(xué)的方法予以解決；初步了解數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語(yǔ)言在其他學(xué)科中的應(yīng)用，通過(guò)跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)建立不同學(xué)科之間的聯(lián)系.”對(duì)此，我們結(jié)合具體案例從以下三個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的主要行為表現(xiàn)進(jìn)行分析.

1. 通過(guò)數(shù)學(xué)對(duì)象的發(fā)生發(fā)展過(guò)程感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系

下面結(jié)合案例1，說(shuō)明數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的行為表現(xiàn)可以通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的應(yīng)用背景，揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的應(yīng)用.

案例1：用數(shù)學(xué)的眼光審視A4紙的長(zhǎng)與寬.

在七年級(jí)學(xué)習(xí)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的內(nèi)容后，安排數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——發(fā)現(xiàn)生活中的無(wú)理數(shù). 通過(guò)讓學(xué)生觀察、比較、猜想、操作、探究、歸納和驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)[2]在生活中的運(yùn)用. 教學(xué)片斷如下.

問(wèn)題1：觀察A4紙，試估計(jì)其長(zhǎng)與寬的比值.

生1：通過(guò)觀察，我估計(jì)A4紙長(zhǎng)與寬的比值為1.5.

教師沒(méi)有否定學(xué)生的回答，而是追問(wèn)：估計(jì)A4紙長(zhǎng)與寬的比值時(shí)，能否采用度量操作的方法？

生2：可以用尺子測(cè)量A4紙的長(zhǎng)和寬，再通過(guò)計(jì)算求出這個(gè)比值.

師：大家量一量，再算一算.

生3：我測(cè)量出A4紙的長(zhǎng)為29.8 cm，寬為21.2 cm，求得長(zhǎng)與寬的比值約等于1.41.

師：由此，可以提出怎樣的猜想？

生4：A4紙長(zhǎng)與寬的比值是[√2].

這里，教師引導(dǎo)學(xué)生看一看、猜一猜、量一量、算一算，建立了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)A4紙長(zhǎng)與寬的比值近似于1.41. 由此提出猜想：A4紙長(zhǎng)與寬的比值是[√2].

問(wèn)題2：能否用折紙的方法說(shuō)明A4紙長(zhǎng)與寬的比值是[√2].

生5：將A4紙按如圖3所示的方法折疊，發(fā)現(xiàn)折出的正方形的對(duì)角線與A4紙的長(zhǎng)邊長(zhǎng)度相等，而正方形對(duì)角線和邊長(zhǎng)（即A4紙的寬度）的比值是[√２]，可見(jiàn)A4紙長(zhǎng)與寬的比值是[√2].

案例1中，教師先讓學(xué)生估計(jì)A4紙的長(zhǎng)與寬的比值，再通過(guò)動(dòng)手操作證明猜想，體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)的眼光審視實(shí)數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生感悟現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問(wèn)題.

事實(shí)上，我們可以把通過(guò)數(shù)學(xué)對(duì)象的發(fā)生發(fā)展過(guò)程感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系進(jìn)一步具體化為：能在現(xiàn)實(shí)背景中發(fā)現(xiàn)與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題（包括生產(chǎn)實(shí)踐的需求，生活與自然界中廣泛存在的數(shù)量關(guān)系和空間形式及同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的多種現(xiàn)實(shí)背景等）；能從數(shù)學(xué)的角度對(duì)現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)問(wèn)題情境中的數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用背景進(jìn)行分析、解釋和說(shuō)明；能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言完整、規(guī)范地表述現(xiàn)實(shí)背景中與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化.

2. 通過(guò)真實(shí)、有意義的問(wèn)題解決過(guò)程感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性

下面結(jié)合案例2，說(shuō)明對(duì)現(xiàn)實(shí)情境中的研究對(duì)象可以從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行構(gòu)造和運(yùn)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用.

案例2：巧用對(duì)稱(chēng)圖形，實(shí)現(xiàn)等積分界.

如圖4，有一塊長(zhǎng)方形田地，田地內(nèi)有一口井，現(xiàn)將這塊土地平均分給兩家農(nóng)戶(hù)，要求兩家合用這口井澆地，試問(wèn)應(yīng)如何分？在圖中畫(huà)出分界線.

這是一個(gè)真實(shí)且有意義的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，要求學(xué)生能夠聯(lián)想到矩形和圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，由經(jīng)過(guò)兩個(gè)基本圖形中心的直線確定分界線，從而解決問(wèn)題. 這里利用圖形的中心對(duì)稱(chēng)性解決問(wèn)題，把對(duì)幾何圖形對(duì)稱(chēng)性的理解應(yīng)用到了實(shí)際情境中.

事實(shí)上，關(guān)于通過(guò)真實(shí)、有意義的問(wèn)題解決過(guò)程感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，可以進(jìn)一步具體化為：能將數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則等還原到現(xiàn)實(shí)情境中，能給出相應(yīng)的實(shí)例；能對(duì)現(xiàn)實(shí)情境中的研究對(duì)象從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行推理或簡(jiǎn)化運(yùn)用或構(gòu)造相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)用，得出所要表達(dá)的數(shù)學(xué)結(jié)論或者計(jì)算出結(jié)果，并用于描述、理解和說(shuō)明有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；能在解決問(wèn)題的過(guò)程中形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決問(wèn)題的一般性策略，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用.

3. 通過(guò)跨學(xué)科的綜合實(shí)踐活動(dòng)感悟數(shù)學(xué)語(yǔ)言的優(yōu)越性

下面結(jié)合案例3，說(shuō)明跨學(xué)科情境中數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)其他學(xué)科中簡(jiǎn)單事物的規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)的通用性，以及數(shù)學(xué)對(duì)于其他學(xué)科的意義.

案例3：借助數(shù)學(xué)技術(shù)，解決跨學(xué)科問(wèn)題.

雷達(dá)可以用于飛機(jī)導(dǎo)航，也可以用來(lái)監(jiān)測(cè)飛機(jī)的飛行. 假設(shè)某時(shí)刻雷達(dá)向飛機(jī)發(fā)射電磁波，電磁波遇到飛機(jī)后反射，又被雷達(dá)接收，兩個(gè)過(guò)程共用了0.000 052 4秒. 已知電磁波的傳播速度為[3.0×108]米 / 秒，求該時(shí)刻飛機(jī)與雷達(dá)站的距離.（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示.）

這是一個(gè)跨學(xué)科的物理情境問(wèn)題，涉及的物理量關(guān)系是：路程 = 速度 × 時(shí)間. 該實(shí)際情境中，電磁波傳播的路程等于電磁波的傳播速度乘以電磁波傳播時(shí)間，由于電磁波傳播了一個(gè)來(lái)回，因此要除以2，故[ 3. 0×108×0.000 052 4÷2=7 860]（米）. 因?yàn)橐獙⒔Y(jié)果用科學(xué)記數(shù)法來(lái)表示，所以該時(shí)刻飛機(jī)與雷達(dá)站的距離是[7.86×103]米. 本案例涉及物理中的電磁波傳播問(wèn)題，并將結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示. 學(xué)生要能通過(guò)對(duì)物理學(xué)科中的雷達(dá)導(dǎo)航問(wèn)題情境的分析，發(fā)現(xiàn)有理數(shù)的相關(guān)知識(shí)（乘法運(yùn)算、科學(xué)記數(shù)法）與物理學(xué)科的聯(lián)系，能在跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)中用與有理數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)其他學(xué)科中簡(jiǎn)單事物的規(guī)律，形成主動(dòng)應(yīng)用有理數(shù)相關(guān)知識(shí)解決跨學(xué)科問(wèn)題的意識(shí).

事實(shí)上，關(guān)于通過(guò)跨學(xué)科的綜合實(shí)踐活動(dòng)感悟數(shù)學(xué)語(yǔ)言的優(yōu)越性，我們可以進(jìn)一步具體化為：能主動(dòng)感悟跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)中數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，通過(guò)分析跨學(xué)科情境，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他跨學(xué)科知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)；能運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)思想方法研究跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)中問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式；能在跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)中用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)其他學(xué)科中簡(jiǎn)單事物的規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)的通用性、簡(jiǎn)潔性和嚴(yán)謹(jǐn)性，感悟數(shù)學(xué)對(duì)于其他學(xué)科的意義，形成主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決跨學(xué)科問(wèn)題的意識(shí).

二、初中生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的主要行為表現(xiàn)

對(duì)于《標(biāo)準(zhǔn)》中給出的創(chuàng)新意識(shí)的內(nèi)涵，可以從兩個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行解釋. 一方面，主觀上積極嘗試從日常生活中、自然現(xiàn)象中或科學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的元素，主動(dòng)地用數(shù)學(xué)的眼光審視現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題；另一方面，從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)初步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出有價(jià)值、有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 對(duì)這樣的解釋我們可以將其細(xì)化為以下三個(gè)方面．

1. 通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的觀察，發(fā)現(xiàn)與提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題

下面結(jié)合案例4，說(shuō)明通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，提出自己對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思考，形成相關(guān)的概念，發(fā)現(xiàn)相關(guān)的性質(zhì)，生成研究相關(guān)問(wèn)題的路徑.

案例4：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象，形成研究策略.

在相似三角形起始課的教學(xué)中，教師先給出一個(gè)籃球場(chǎng)的平面示意圖，提問(wèn)學(xué)生它與實(shí)際籃球場(chǎng)的形狀、大小有什么關(guān)系. 教學(xué)片斷如下.

生1：這個(gè)籃球場(chǎng)的平面示意圖是按籃球場(chǎng)的實(shí)際面積縮小的，與實(shí)際場(chǎng)地形狀一樣.

追問(wèn)1：按什么原則縮小？“形狀一樣”是什么意思？

生1：長(zhǎng)和寬分別按相同比例縮小.“形狀一樣”就是兩者很像.

追問(wèn)2：對(duì)，籃球場(chǎng)平面示意圖上標(biāo)注的比例尺表明了示意圖的大小和實(shí)際場(chǎng)地大小的關(guān)系. 你能再列舉一些實(shí)例嗎？

師：現(xiàn)實(shí)生活中形狀相同的事物是普遍存在的. 數(shù)學(xué)中，把形狀相同的圖形叫做“相似形”. 兩個(gè)圖形相似是圖形之間的一種特殊關(guān)系. 根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為我們可以按怎樣的路徑研究相似圖形？

在學(xué)生思考、發(fā)言后，師生共同總結(jié)出對(duì)相似圖形的研究路徑：定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用.

師：我們先從最簡(jiǎn)單的平面圖形——三角形的相似開(kāi)始研究. 你認(rèn)為應(yīng)該如何用數(shù)學(xué)的方式定義“兩個(gè)三角形形狀相同”？

追問(wèn)3：從相似的角度看全等，你認(rèn)為全等與相似是什么關(guān)系？從全等三角形的研究中，你能獲得什么啟發(fā)？

追問(wèn)4：在全等三角形的研究中，我們將“能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形”進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角都相等，那么它們?nèi)取保⒃诖嘶A(chǔ)上展開(kāi)進(jìn)一步研究. 受此啟發(fā)，你覺(jué)得可以從什么角度來(lái)刻畫(huà)“兩個(gè)三角形形狀相同”？

……

這里學(xué)生能認(rèn)識(shí)到籃球場(chǎng)的平面示意圖與籃球場(chǎng)的實(shí)際形狀和大小的關(guān)系，在研究過(guò)程中能夠主動(dòng)表達(dá)自己對(duì)圖形相似的理解，并在教師的引導(dǎo)下自主思考并提出問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)圖形相似的概念，形成研究圖形相似問(wèn)題的路徑，通過(guò)類(lèi)比的思維方式發(fā)現(xiàn)圖形相似的性質(zhì)（再創(chuàng)造），在思考圖形相似問(wèn)題的過(guò)程中形成了一定的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力.

關(guān)于通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的觀察，發(fā)現(xiàn)與提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們進(jìn)一步梳理為：能認(rèn)識(shí)到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們身邊，在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中主動(dòng)表達(dá)自己的思想，提出自己的理解、思考和問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)有意義的猜想和概念等（再發(fā)現(xiàn)）；能在具體情境中運(yùn)用歸納、類(lèi)比等思維方式發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究對(duì)象之間的關(guān)系或規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題、模型或猜想，并尋求驗(yàn)證（再創(chuàng)造）；能在研究數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程中主動(dòng)簡(jiǎn)化或優(yōu)化自己的思考過(guò)程與結(jié)果，形成科學(xué)、規(guī)范的表達(dá)，在思考現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中形成一定的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力.

2. 通過(guò)多角度、全方位地審視問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)與提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題

下面結(jié)合案例5，說(shuō)明針對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠進(jìn)行全局和多角度的思考，探求一題多解，形成創(chuàng)造性解決問(wèn)題的思路和能力.

案例5：聯(lián)想基本圖形，多法創(chuàng)新解題.

如圖5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為[0，2]，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段AC．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為[m，3]，則m的值為（" " ）.

解決此題的思考路徑有多種. 例如，引入變量尋求突破，巧用勾股定理建立方程；構(gòu)造“8”字形相似圖形，巧用線段之間的比例關(guān)系求解；利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，巧用“K”形相似求線段的比值；構(gòu)造直角三角形，巧用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解；構(gòu)造兩個(gè)等邊結(jié)構(gòu)，巧用旋轉(zhuǎn)中的全等關(guān)系求解；利用特殊位置確定直線，巧用函數(shù)關(guān)系求值；等等. 對(duì)解題方法進(jìn)行積極嘗試、反復(fù)思考和不斷完善，從多維度、多視角對(duì)所研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行全方位的思考，必然會(huì)帶來(lái)方法的多樣、思維的碰撞和智慧的生成. 在基于創(chuàng)新意識(shí)素養(yǎng)行為培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性，使之不斷生成新的思路、新的方法和新的解題策略，使學(xué)生自然形成創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力.

關(guān)于通過(guò)多角度、全方位地審視問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)與提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以進(jìn)一步梳理為：能主動(dòng)地把所要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題置身于數(shù)學(xué)系統(tǒng)中研究，具有全局觀念，能夠自主梳理數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及的知識(shí)點(diǎn)及其關(guān)聯(lián)要素；能自主尋求解決問(wèn)題的路徑，運(yùn)用比較、分析、綜合、歸納、演繹推理等方法，形成解決問(wèn)題的策略和路徑；能從多維度、多視角對(duì)所研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行全方位的思考，積極探索一題多解、一法多用，在探求一題多解或多題一解的過(guò)程中形成一定的創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力.

3. 通過(guò)開(kāi)放性的、非常規(guī)的問(wèn)題解決，養(yǎng)成勇于探索、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度

下面結(jié)合案例6，說(shuō)明如何對(duì)非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行創(chuàng)新思考，積極探索可能的解決問(wèn)題的路徑，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.

案例6：勇于探索問(wèn)題，尋求思維突破.

如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，B是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，C為弦AB的中點(diǎn)，直線y =[34]x - 3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D，E，則△CDE面積的最小值為_(kāi)______．

該題是一個(gè)非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于初中生而言有一定的難度. 先讓學(xué)生小組討論，學(xué)生通過(guò)討論會(huì)發(fā)現(xiàn)直線y =[34]x - 3與x軸、y軸交點(diǎn)D，E的坐標(biāo)是確定的，則△CDE面積的變化取決于點(diǎn)C到直線DE的距離，而點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)B是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)瓜豆原理，點(diǎn)C也在一個(gè)小圓上運(yùn)動(dòng)，取特殊位置分析，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C在以線段OA為直徑的隱圓上運(yùn)動(dòng)，于是可以找到隱圓的圓心[P1，0]，如圖7所示，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥DE，由△DQP ∽ △DOE，可以求出PQ =[95]，于是得到點(diǎn)C到直線DE的距離最小為[45]，所以△CDE面積的最小值為2. 這里教師給予學(xué)生足夠的思考時(shí)間，從而使學(xué)生能夠意識(shí)到⊙P的存在，進(jìn)而構(gòu)造出經(jīng)過(guò)圓心的垂線段最短的基本圖形.

在學(xué)生解決問(wèn)題后，教師可以提出追問(wèn)：對(duì)于該題，還可以提出什么問(wèn)題？

有學(xué)生提出：△CDE面積的最大值是多少？

對(duì)此，有學(xué)生回答：延長(zhǎng)QP，其與⊙P相交的點(diǎn)C使得CQ取最大值[14／5]，所以△CDE面積的最大值為7.

至此，學(xué)生不但解決了這個(gè)非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且能夠基于自己的思考提出新的問(wèn)題，并利用變通思想解決新問(wèn)題，培養(yǎng)和發(fā)展了勇于探索、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度和追求真理、不屈不撓的精神.

關(guān)于通過(guò)開(kāi)放性的、非常規(guī)的問(wèn)題解決，養(yǎng)成勇于探索、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度，可以進(jìn)一步梳理為：能對(duì)開(kāi)放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行獨(dú)立思考和全面梳理，為條件開(kāi)放或結(jié)論開(kāi)放的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供一個(gè)條件或至少給出一個(gè)結(jié)論，進(jìn)而提供全部充分條件或所有可能的結(jié)論；能對(duì)條件或結(jié)論開(kāi)放的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)變式，創(chuàng)設(shè)題目的開(kāi)放情境，勇敢地提出與眾不同的想法，大膽地提出自己不能解決甚至不能完全理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題或結(jié)論；能基于基本經(jīng)驗(yàn)探索并解決一些非常規(guī)的問(wèn)題，在探究過(guò)程中形成創(chuàng)新性思維，形成勇于探索、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度和追求真理、不屈不撓的精神．

限于篇幅，本文僅列舉6個(gè)教學(xué)案例來(lái)說(shuō)明初中階段數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的主要行為表現(xiàn). 我們堅(jiān)信，明晰數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的主要行為表現(xiàn)會(huì)為開(kāi)展基于發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供有力抓手和借鑒，這對(duì)于現(xiàn)實(shí)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義．

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：2022年中國(guó)教育學(xué)會(huì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究（初中）專(zhuān)項(xiàng)課題——初中數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)素養(yǎng)行為表現(xiàn)及其教學(xué)案例研究（22ZS101411ZB）.

作者簡(jiǎn)介：任宏章（1966— ），男，中小學(xué)正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為方式研究；

吳鍔（1962— ），男，中小學(xué)正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和命題研究.