巧用畫(huà)圖策略 提升“幾何直觀”能力

蔡婷婷

精確地使用圖形描述、解構(gòu)并分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，是幾何直觀能力的表現(xiàn)。具體涵括以下兩部分內(nèi)容：一是賦予直觀圖形以代數(shù)意義，即以數(shù)代形；二是以形助數(shù)賦予直觀圖形抽象數(shù)學(xué)的意義。為了讓學(xué)生深切地體驗(yàn)到自主探索、真實(shí)體驗(yàn)和領(lǐng)略數(shù)學(xué)真實(shí)意義的過(guò)程，借助圖形帶來(lái)的直觀、明確的啟迪思路，是不可或缺的。

畫(huà)圖策略是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中核心且基礎(chǔ)的策略。通過(guò)畫(huà)圖可以呈現(xiàn)問(wèn)題中的主要數(shù)學(xué)信息，促進(jìn)相關(guān)信息之間的聯(lián)結(jié)、綜合、分析思路的順利展開(kāi)，是學(xué)生對(duì)解題方法反復(fù)進(jìn)行感悟、抽象、優(yōu)化與概括，不斷積攢、消化、總結(jié)與自我升華數(shù)學(xué)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程。在學(xué)生不斷自我迭代的這些過(guò)程中，幫助學(xué)生形成和迭代幾何直觀能力。正因?yàn)槿绱耍ㄟ^(guò)“畫(huà)圖策略”訓(xùn)練學(xué)生的圖形語(yǔ)言功底，筑基幾何直觀感覺(jué)，培育幾何直觀素養(yǎng)就有著非同尋常的意義。

一、提升“讀圖”能力，扎實(shí)“畫(huà)圖”的基礎(chǔ)

讀圖是畫(huà)圖的基礎(chǔ)，沒(méi)有先培養(yǎng)好讀圖能力，后續(xù)借助畫(huà)圖解決問(wèn)題就難有成效，所以教師在教學(xué)中應(yīng)重視對(duì)讀圖的引導(dǎo)與滲透。

1.注重觀察圖的能力培養(yǎng)

觀察能力是小學(xué)生學(xué)習(xí)能力的最核心的基本功。在教學(xué)過(guò)程中，教師要懂得訓(xùn)練學(xué)生基于一定的目的性，根據(jù)一定的順序去洞察畫(huà)面，培養(yǎng)學(xué)生懂得如何從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)洞察畫(huà)面，去除雜亂信息，選取有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息尋找問(wèn)題、剖析問(wèn)題、解決問(wèn)題、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。如在“除法”中的“分蘋(píng)果”案例里，有“18 個(gè)蘋(píng)果”“每盤(pán)放6 個(gè)”“平均分給2 個(gè)人”三個(gè)數(shù)學(xué)信息，教師就可指導(dǎo)學(xué)生先整體觀察畫(huà)面，然后讓學(xué)生完整并有條理地闡述出整幅插圖所代表的含義。教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，鼓勵(lì)學(xué)生圍繞“圖上有幾個(gè)箭號(hào)？箭號(hào)從哪個(gè)數(shù)出發(fā)？從圖上你能看出是怎樣放蘋(píng)果的？”等問(wèn)題進(jìn)行交流。

在實(shí)踐中，以讀題帶動(dòng)理解，能幫助學(xué)生充分并高效地理解數(shù)形結(jié)合所帶來(lái)的價(jià)值，有效訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力，也讓學(xué)生更直觀深刻地明白減法、平均分和除法的聯(lián)系。

2.引導(dǎo)讀懂圖的數(shù)學(xué)語(yǔ)言

教材展示了許多有趣的插圖和不同的情境，它們蘊(yùn)含著各種各樣的數(shù)學(xué)信息。學(xué)生如果可以在圖中捕捉到足夠的信息，就能在讀圖的過(guò)程中訓(xùn)練并理解“圖”的語(yǔ)言，并感受“圖意”所帶來(lái)的簡(jiǎn)潔美。

讀圖的過(guò)程中，教師要訓(xùn)練學(xué)生捕捉符號(hào)里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)邏輯語(yǔ)言，要對(duì)一些基本的圖示有著快速的條件反射。如用“…”表示“一一對(duì)應(yīng)”是解決相差數(shù)和倍數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，用“虛線的圈”和“斜線”代表刪除的含義。在“1～5的認(rèn)識(shí)和加減法”的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)插圖信息捕捉到小丑人物手中原來(lái)有4個(gè)氣球，不小心放跑了1 個(gè)，圖中使用虛線重點(diǎn)標(biāo)注了一個(gè)圓點(diǎn)信息，學(xué)生就能理解到這是代表減少的含義。

二、激發(fā)“畫(huà)圖”意識(shí)，體驗(yàn)“幾何直觀”的優(yōu)越性

在教學(xué)過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生作圖意識(shí)，直觀感知到畫(huà)圖能力所帶來(lái)的價(jià)值和優(yōu)勢(shì)，學(xué)生就會(huì)在學(xué)習(xí)、犯錯(cuò)、反思、自我調(diào)整的過(guò)程中逐漸培養(yǎng)自己用畫(huà)圖策略去處理數(shù)學(xué)問(wèn)題、處理生活問(wèn)題。

1.化隱性為顯性

數(shù)學(xué)情境中經(jīng)常有很多隱性信息，而小學(xué)生思維比較簡(jiǎn)單，對(duì)抽象的數(shù)量關(guān)系或條件較為復(fù)雜的題目理解起來(lái)有一定困難。低年級(jí)學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題經(jīng)常存在理解誤區(qū)，如“查理前有6 人后有6 人，那么這一行總計(jì)多少人呢？”不少學(xué)生會(huì)不假思索地輸出6+6=12的結(jié)果，能正確思考并解答的學(xué)生占比不高。可如果畫(huà)一下圖，學(xué)生一定會(huì)將正確答案脫口而出。

通過(guò)多種方法的運(yùn)用，學(xué)生能明顯感受到畫(huà)圖策略利用幾何直觀的優(yōu)勢(shì)。這時(shí)，教師就可順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圓圈、三角形、線段圖、其他符號(hào)等形式表現(xiàn)人或事物，從而理清數(shù)量關(guān)系，解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.化抽象為直觀

在數(shù)學(xué)計(jì)算能力的訓(xùn)練過(guò)程中，學(xué)生雖然可以較為輕易地掌握基礎(chǔ)算法，卻不太容易清晰洞察算理算法的內(nèi)在關(guān)系。因此，教學(xué)時(shí)，教師可以用圖示的手段呈現(xiàn)，借助幾何直觀將計(jì)算中的思維路徑表現(xiàn)出來(lái)。這樣既可以幫助學(xué)生理解算理，又可以將計(jì)算中的思考方法化為知識(shí)的外在表現(xiàn)形式，夯實(shí)了教學(xué)中的過(guò)程性里程碑，又充分拔高了學(xué)生的學(xué)習(xí)力。

3.化特殊為一般

畫(huà)圖在協(xié)助學(xué)生梳理數(shù)學(xué)信息中的數(shù)量關(guān)系的同時(shí)，也推動(dòng)他們掌握解決同類(lèi)問(wèn)題的規(guī)律和方法。如淘氣剪了8 朵窗花，笑笑剪了14 朵，笑笑拿幾朵給淘氣，他們就能一樣多？根據(jù)題意畫(huà)出一一對(duì)應(yīng)圖。從圖中可以很清楚地看到笑笑多出了一部分，將多出的那部分再平均分，兩人就一樣多了。由此可以得出這類(lèi)問(wèn)題的一般規(guī)律：多余部分平均分兩份，將其中一份給予較少的人就一樣多。

三、掌握“畫(huà)圖”方法，提供“幾何直觀”的保障

“畫(huà)圖”的方法不是與生俱來(lái)的，幾何直觀教學(xué)必然是一個(gè)持續(xù)的過(guò)程。應(yīng)該畫(huà)些什么，怎樣畫(huà)？學(xué)生起初不了解數(shù)學(xué)中的畫(huà)圖概念和美術(shù)中的畫(huà)圖概念之不同，此時(shí)就需要教師來(lái)引導(dǎo)。以二年級(jí)下冊(cè)“租船”情境圖為例。“我們有22 人”“每條船限坐4人”是這個(gè)題目中的兩個(gè)數(shù)學(xué)信息，學(xué)生如果想要解決“至少要租幾條船？”這一問(wèn)題，就需要將小朋友“坐船”這些信息圖形化，他們會(huì)想到畫(huà)小圓圈或三角形表示人，大圓圈或長(zhǎng)線條表示船等，如下圖。這是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)化的過(guò)程，教師在教學(xué)中要多注重畫(huà)圖技巧訓(xùn)練，這樣學(xué)生就能逐步掌握畫(huà)圖的基本技能。

1.從條件出發(fā)來(lái)畫(huà)圖

教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合情境中的數(shù)學(xué)信息，如“白羊有145 頭，黑羊比白羊多48 頭，一共有多少頭羊？”讓學(xué)生根據(jù)條件信息，有序畫(huà)出數(shù)量關(guān)系與問(wèn)題。圖形和文字互相輔助，可以更加直觀且清晰地呈現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)信息，降低解題難度，更快地得出問(wèn)題的答案。

2.從問(wèn)題出發(fā)來(lái)畫(huà)圖

對(duì)于有些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較難且復(fù)雜的情況，教師可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題出發(fā)思考如何將問(wèn)題圖形化，從下到上，以終為始，找到問(wèn)題解答的關(guān)鍵所在。學(xué)生將問(wèn)題圖形化，這一過(guò)程正是梳理并且將這些信息重組加工的過(guò)程，因此，可以嘗試從不同的角度將題目的數(shù)量關(guān)系、邏輯關(guān)系梳理清楚。如在解決“淘氣果園里果農(nóng)在盤(pán)點(diǎn)他們的果實(shí)，果園里有桃樹(shù)40棵，果農(nóng)數(shù)了一下，桃樹(shù)比梨樹(shù)多15棵，梨樹(shù)比蘋(píng)果樹(shù)多10棵，那么請(qǐng)幫果農(nóng)想想，蘋(píng)果樹(shù)有多少棵？”這一問(wèn)題時(shí)，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)號(hào)出發(fā)——先畫(huà)出蘋(píng)果樹(shù)有多少棵，以終為始再引導(dǎo)學(xué)生去思考：要算蘋(píng)果樹(shù)有多少棵，那先要知道梨樹(shù)的數(shù)量。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，了解“蘋(píng)果樹(shù)有多少棵，先要知道梨樹(shù)有多少棵”，再最終得出“蘋(píng)果樹(shù)有多少棵”。

學(xué)生愛(ài)“畫(huà)圖”還要善“畫(huà)圖”。教師要多讓學(xué)生自己從畫(huà)圖中找到解決問(wèn)題的樂(lè)趣與熱情，鼓勵(lì)學(xué)生以不同的方式、從個(gè)性化角度用圖形解決問(wèn)題，讓學(xué)生從解決問(wèn)題的成就感中充分了解問(wèn)題圖形化的積極意義以及趣味性。

提升學(xué)生“畫(huà)圖”興趣的方式多種多樣，教師可以要求學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)盡可能多地繪制圖片，以便學(xué)生養(yǎng)成使用“畫(huà)圖”策略解決問(wèn)題的習(xí)慣。如讓學(xué)生在黑板上施展手藝，教師和學(xué)生一起賞析，看看哪個(gè)學(xué)生的畫(huà)作較好，優(yōu)勢(shì)在哪里，是否存在問(wèn)題等。通過(guò)將問(wèn)題圖形化，不僅可以讓數(shù)學(xué)過(guò)程更加直觀，而且學(xué)生的思維也可以更好地發(fā)散，使問(wèn)題的解決更容易，還可以解決學(xué)生個(gè)體的思維困局，提高群體解決問(wèn)題的效率。

總之，畫(huà)圖策略確實(shí)蘊(yùn)含了探索數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻奧秘，繪圖策略與幾何直覺(jué)密切相關(guān)。通過(guò)畫(huà)圖教學(xué)，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)和能力，并最終提高其幾何直觀素養(yǎng)。