充分聯想，拓展思維，提高解題能力

辛愛群 朱記松

［摘? 要］ 文章通過對2022年嘉興、舟山中考數學壓軸題的剖析，旨在引導學生充分聯想相關知識點、基本圖形，從不同角度進行深度思考，拓展學生思維的路徑，提高學生分析問題、解決問題的能力.

［關鍵詞］ 積累；聯想；拓展思維；核心素養

試題呈現

如圖1所示，在正方形ABCD中，點F，H分別在邊AD，AB上，連接AC，FH相交于點E，已知CF=CH.

（1）線段AC與FH垂直嗎？請說明理由.

（3）如圖3所示，在（2）的條件下，當點K是線段AC的中點時，求.

分析與簡解

1. 問題（1）的分析與簡解

根據已知條件，結合圖形，聯想正方形的性質，不難發現通過證明△DCF≌△BCH可得DF=BH，AF=AH，然后運用“等腰三角形‘三線合一”的性質得到AC⊥FH.

2. 問題（2）的分析與簡解

要證明四條線段成比例，通常聯想“三點定形法——證明四條線段所在的兩個三角形相似”或“平行線分線段成比例定理及其推論”. 因為A，K，C三點在同一條直線上，所以不能直接證明兩個三角形相似. 面對這一問題，常見的策略有三種：第一種，在“平行線分線段成比例定理及其推論”的啟發下添加平行線構造“真A”型圖形（如圖4所示）；第二種，在圖形中尋找或構造一條線段來替換KH，通過三角形相似來證明結論成立（如圖5所示）；第三種，用三角函數表示AC，AK，HC，KH的長度，計算它們的比值證明結論成立. 因篇幅所限，這里僅根據上述三種策略列舉三種方法，其他方法請讀者自己探索.

方法1：如圖4所示，過點K作KG∥AB交CH于點G，所以∠GKH=∠PHA，∠KGH=∠CHB.

因為四邊形AHPF是☉E的內接四邊形，所以∠DFC=∠AHP. 由問題（1）可知∠DFC=∠CHB，所以∠GKH=

3. 問題（3）的分析與簡解

由于K是AC的中點（即為定點），所以圖3中各線段的比值是確定的. 為探個究竟，不妨從下面兩個角度進行思考.

第一，從作圖的角度進行思考. 由問題（2）可知∠PHA=∠CHB，因此不難聯想到構造△CHB關于AB的對稱圖形. 基于這個思路，解答如下：

第二，由中點聯想三角形的中位線. 過點K作KM∥CH交AB于點M.因為K是AC的中點，所以M是AH的中點，AB=3BH，然后運用勾股定理、相似三角形的性質（或三角函數）表示CP，PF的長度，最后計算出它們的比值. 解答如下：

如圖7所示，過點K作KM∥CH交AB于點M，連接KB. 由正方形ABCD的性質以及K是AC的中點，可得AK=KB，∠KAB=∠KBA=45°. 由問題（2）可知∠KMH=∠KHA，從而易證△AKH≌△BKM，于是AH=BM，得AM=BH. 由KM∥CH以及K是AC的中點，可知AM=MH=HB.

結合上述結論，下面給出兩種方法.

解題反思

1. 考查“四基”

該題是該卷的壓軸題，突出考查基本知識、基本技能、基本數學思想、基本解題經驗，難易適中，能夠助力義務教育提質增效. 具體來說，該題以正方形、共頂點的等腰直角三角形為背景，設計三個問題，著力考查正方形、等腰（直角）三角形、全等三角形、三角形中位線定理、相似三角形、勾股定理、銳角三角函數、圓的基本性質、計算與推理能力以及轉化思想等，具有較強的綜合性和靈活性（問題（2）的解法多樣），各小題呈遞進關系，由易到難，層次分明，具有較強的區分度，在確保中考選拔功能的基礎上，能有效考查不同層次學生的數學基礎知識、基本技能和數學思想.

2. 聚焦核心素養

教學啟示

1. 解題需要原始積累

皮亞杰的認知建構理論要求教師在平時教學中，重視學生頭腦中原有知識和經驗的作用，重視學生在學習活動中的主觀能動性. 《義務教育數學課程標準（2022年版）》也強調，數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志. 因此，在平時教學中，教師要引導學生通過作數學筆記、寫數學日記、解題反思、自主復習等行為養成良好的學習習慣，以促進學生積累數學知識、數學思想、解題方法、解題經驗（策略）、基本圖形、基本題型和基本結論，幫助學生完善認知結構，自主構建認知體系.

2. 解題需要充分聯想

聯想是指由于某人或某事物而想起其他相關的人或事物；由于某概念而引起其他相關的概念. 聯想是解題的關鍵，在數學解題中，可以由已知條件聯想到相關的知識點、定義、定理；由結論聯想到相關的基本圖形、基本結論或要得到結論所需要的條件和可能的方法.

3. 解題需要“學科一般觀念”的指導

章建躍博士指出：“學科一般觀念是指對本學科學習和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數學思想方法和基本思維策略方法，是數學研究的方法論，對學生用數學來觀察和分析世界，提出并解決問題具有指路明燈的作用.” 筆者竊以為：數學解題教學，教師應潛移默化地培養學生形成有效的解題思維策略（思維過程如圖8所示），培養學生的審題意識，在認真審題的基礎上，通過充分聯想、類比，喚醒已有的解題經驗，建立條件與結論以及前后小題間的聯系，制定解題方案，優化解題方法，最后總結反思，形成新的經驗，提高解題能力.