關于北京高考數學考查數學建模與數學探究的思考

北京市朝陽區教育科學研究院 張 浩

在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中，數學建模活動與數學探究活動是數學課程的一個主題。在高考評價體系中，數學應用、數學探索是數學學科考查的兩個學科素養，數學建模能力、創新能力是其中兩項關鍵能力；生活實踐情境、數學探索創新情境是其中兩類試題情境，它們與數學建模、數學探究的關系尤為密切。

北京高考數學試題堅持以立德樹人為中心，以數學素養和創新能力為兩個著力點，通過生活實踐情境考查數學建模和數學應用，通過探索創新情境考查數學探究和理性思維，體現綜合性、應用性和創新性。

一、對數學建模與數學探究的考查

（一）生活實踐情境與數學建模的考查

生活實踐試題情境需要考生將問題情境與學科知識、方法建立聯系，應用學科工具解決問題。它關注與其他學科和社會實踐的關聯，是考查學生數學應用素養、理性思維素養和數學文化素養的重要載體。數學建模能力是能在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，能對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型，最終解決實際問題。

北京高考數學中的生活實踐情境緊密結合時代特點，聯系社會生活，從真實問題出發，關注跨學科素材，融入數學建模，呈現出選材應用性、信息多樣性、視角靈活性等特征，彰顯數學學科的文化價值、應用價值。

（二）探索創新情境與數學探究的考查

數學探索創新試題情境包括推演數學命題、數學探究、數據分析、數學實驗等問題情境，關注與未來學習的關聯和數學學科內部的更深入的探索，是考查數學抽象的重要載體，指向了考查學生的理性思維和數學探究素養。數學探究能力表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方法，通過自主探索、合作研究論證數學結論。

北京高考數學中的探索創新情境基于核心概念，關注學科本質，再現學習過程，體現基本思想方法，考查數學探究能力，呈現出背景有內涵、形式有新意、設問有層次等特征，彰顯數學學科的科學價值。

二、數學建模與數學探究試題例析

（一）數學建模試題舉例

例1（2020年北京卷第15題）為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改。設企業的污水排放量W與時間t的關系為W＝f（t），用的大小評價在［a，b］這段時間內企業污水治理能力的強弱。已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖1所示。

圖1

給出下列四個結論：

①在［t1，t2］這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

②在t2時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

③在t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標；

④甲企業在［0，t1］，［t1，t2］，［t2，t3］這三段時間中，在［0，t1］的污水治理能力最強。

其中所有正確結論的序號是______。

例題分析見表1。

表1 2020年北京卷第15題分析

例2（2021年北京卷第8題）某一時段內，從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：mm）。24h降雨量的等級劃分如表2。

表2 24h降雨量等級

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm、高為300mm的圓錐形雨量器。若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖2所示），則這24h降雨量的等級是（ ）。

圖2

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

例題分析見表3。

表3 2021年北京卷第8題分析

（二）數學探究試題舉例

例3（2019年北京卷理科第8題）數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋｜x｜y就是其中之一（如圖3），給出下列三個結論：

圖3

①曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；

③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3。

其中，所有正確結論的序號是（ ）。

A．① B．② C．①② D．①②③

例題分析見表4。

好產品也需要好服務，不僅要針對農村、農業和農民生產好的產品，還要與時俱進轉變銷售方式和模式，做好售后服務。比如，農村電商平臺利用互聯網將傳統的趕集搬到網上，通過線下的實體體驗，在線上完成交易，讓農民坐在家里上網趕集就可以買到貨真價實的好產品，較好地解決了農村物品價高貨次的問題，既降低了商品的流通成本，又節約了社會資源，交易的商品得到了農民的認可和贊許，發展前景十分令人看好。

表4 2019年北京卷理科第8題分析

例4（2019年北京卷理科第12題）已知l，m是平面α外的兩條不同直線。給出下列三個論斷：

①l⊥m； ②m／／α； ③l⊥α。

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：___。

例題分析見表5。

表5 2019年北京卷理科第12題分析

例5（2021年北京卷第21題）設p為實數。若無窮數列{an}滿足如下三個性質，則稱{an}為Rp數列：

①a1＋p≥0，且a2＋p＝0；

②a4n－1＜a4n（n＝1，2，…）；

③am＋n∈｛am＋an＋p，am＋an＋p＋1｝（m＝1，2，…；n＝1，2，…）。

（Ⅰ）如果數列{an}的前四項為2，－2，－2，－1，那么{an} 是否可能為R2數列？說明理由；

（Ⅱ）若數列｛an｝是R0數列，求a5；

（Ⅲ）設數列{an}的前n項和為Sn。是否存在Rp數列{an}，使得Sn＞S10恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由。

例題分析見表6。

表6 2021年北京卷第21題分析

三、對試題的思考

情境性試題通過提供一定的情境型材料，要求學生置身于具體的情境中，在充分理解材料的基礎上，回憶、再現、關聯、應用已有的知識和方法，尋求解決問題的途徑，它是關鍵能力考查的重要載體。

（一）生活實踐情境要取材真實情境，體現育人價值

生活實踐情境打通課程知識與現實問題、跨學科內容的藩籬，結合數學文化與中華優秀傳統文化，體現時代特征，展示科學技術、人文社科等領域中的數學元素，幫助學生了解數學與其他學科及生產生活之間的聯系，知曉如何用數學解決實際問題，體悟建模思想。情境中不一定直接呈現出模型，而是通過數學抽象建構數學模型；材料中用多種形式（圖、表、數據、符號語言等）呈現信息，加強對學生在信息時代應具備的閱讀理解、信息整理再加工等能力的考查。

比如，2018年理科第4題給出“十二平均律”，關注音樂中的數學；2021年第18題以核酸檢測方法為背景，體現數學模型在解決現實問題時的優化作用；2022年第7題選取氣體狀態與溫度、壓強的聯系為情境，體現數學是刻畫自然規律的科學語言和工具。北京市各區縣自主命題中也非常關注生活實踐情境，見表7。

表7 近年北京各區自主命題中的部分生活實踐情境

解答此類問題是分析和解決問題能力的高層次表現，同時這些素材也具有教育意義，能潛移默化地引導學生了解生活中的數學模型，自覺從數學角度理解科學前沿、時代發展等的深刻內涵，感受數學的文化價值、應用價值和科學價值。

（二）探索創新情境要突出理性思維，發揮選拔功能

探索創新情境，挖掘有意義的真實研究過程，關注概念和知識的形成過程，創設多元化設問形式（如繪圖、舉例、選擇、判斷、求證、說明等），使學生在情境中通過操作試驗、方案選擇或猜想推理，將相關方法遷移和應用來嘗試證明，考查學生的研究探索能力、獨立思考能力、嚴謹表達能力，培養學生善于思考、敢于質疑、勇于探索的科學精神。設置開放性試題、結構不良試題、綜合創新試題，有利于選拔理性思維能力較強的學生。

比如，2018年理科第13題是解答不唯一的填空題，以函數的單調性為載體，引導學生開放思考構造出函數反例，具有發散性、探索性和創新性，考查嚴謹求實的理性思維和批判質疑的意識。2019年理科第17題第三問是開放性問題，從不同角度基于數據分析可以得出不同結論。2020年起創設結構不良試題，其探索性強，思維過程開放，對思維要求的層次高，有助于考查發散思維、創新思維和批判性思維。

再如，綜合創新題（第21題）具有很強的挑戰性，承載著高考數學學科的選拔功能，通過引入新概念或新定義，設置指向探究的層級化任務，逐步考查對陌生的情境和知識的理解。此類試題通常以數列、集合、向量等為載體，選材往往有深刻背景，如2018年源于2元域上線性空間的內積概念，2019年基于遞增子列設計問題。北京市各區縣自主命題也不乏類似的背景，如2023年西城區一模與2元域上線性空間的內積定義有關，2023年東城區期末出現子列的概念。此外，各區也在探索使用更多背景命制試題，如2022年朝陽區一模的新定義源自加性組合學中的和集，2022年房山區一模引入無界數列的概念等。這些內容取自真實數學情境，學生在感知、體驗、探索的過程中，深刻理解其本質，綜合運用邏輯推理、合情推理能力以及學科思想創造性地分析和解決問題，并按照邏輯用數學符號和語言有條理、有層次地論證，整個過程可視作數學研究的縮影。

這些情境引導學生多角度、多層次認識問題，鼓勵學生主動思考、積極探究，為學生搭建了施展才華的舞臺，為學生的智慧發展預留了充足的空間。

四、結語

當學習者面對生活實踐情境或學習探索問題時，能夠在正確的思想價值觀念的指導下，合理運用科學思維方式與方法，認識問題、分析問題進而解決問題的綜合品質就是素養的體現。評價中的生活實踐試題情境和探索創新試題情境與教學中的數學建模活動及數學探究活動是一脈相通的，要“以數學建模與數學探究活動為引子，融合不同知識模塊的內容進行綜合性考查”，既要關注橫向的學科內外知識和經驗的聯系，也要關注縱向的學科思維方式的整合。高考數學中的這些情境能更好地考查學科素養和關鍵能力，發揮考試的區分選拔功能，同時還能引導教師教學中重視價值引領，展示學生的理性思維、應用能力、創新能力以及批判質疑、勇于探究等綜合品質，體現數學學科的育人功能。