依托整體法高效解答高中數學難題

黃小鋼

【摘要】數學屬于高中課程體系中一門難度較大的學科，不僅知識難度有所提升，還與初中數學知識之間的跨度較大，試題難度系數在整體上也有所增大，學生遇到難度的幾率較高，這時僅僅依靠常規方法很難舒暢、快速的完成解題，教師可引入整體法這一解題方法，使其基于整體視角切入，減少分析與運算對象，助推他們高效解答數學難題.基于此，本文針針對如何依托整體法高效解答高中數學難題作探討，并羅列一系列解題案例.

【關鍵詞】整體法;高效解答;高中數學;難題

整體法是從局部到全局的思維過程，是系統論中整體原理的運用，屬于一種基于整體思路、快速運算的數學方法，能夠有效提升學生的計算速度與處理各類數學試題的能力，廣泛適用于各個教育階段的數學解題之中，提高他們解題的準確度.在高中數學解題訓練中，當遇到一些比較特殊的題目時，教師可指導學生與整體法為基本依托重新分析題干內容，使其找準整體法的切入點，將部分式子、圖形視為一個整體，從而讓他們高效解答數學難題.

1 依托整體代入法，高效解答數學難題

針對高中數學解題訓練來說，整體代入法比較常用，主要用來解答一些代數類試題，通常是將一些具有關聯性的算式視作成一個整體，通過適當變化之后代入到別的公式中，以此將無法確定的變量求解過程進行簡單化處理，降低試題難度的同時減少解題步驟.整體代入法在高中數學解題中應用，難度不是特別大，學生可以用來解答多種類型的代數式試題［1］.

例1 已知函數f（x）=ax3+bsinx+2，f（－1）=10，求f（1）的值.

分析 本題主要考查學生將復雜問題變得簡單化的能力，當很難從題干中已知條件中找到所求未知量時，難以確定條件和題設的聯系，依托整體代入法能將題目中的未知量通過別的含有未知量的式子進行代替，由此實現消元求解的效果，他們可先找準整體部分，再根據函數知識完成解題.

解 可設函數φ（x）=ax3+bsinx，那么f（x）=φ（x）+2，

結合題意可知函數φ（x）是一個奇函數，

因為f（－1）=10

所以f（－1）=φ（－1）+2=10，

所以φ（－1）=8，φ（1）=－8，

所以f（1）=φ（1）+2=－8+2=－6，

所以說f（1）的值f（1）=－6.

在這一整體代入法中，是將“φ（x）=ax3+bsinx”視作一個整體，再結合整體是奇函數的特性解答難題.

2 依托整體換元法，高效解答數學難題

整體換元法是數學解題中極為常用的一種解題方法，具體到高中數學解題中而言，很多難度系數較大的題目都可使用這一方法，教師應要求學生先認真閱讀題目內容與分析題干中的關鍵條件，找出涉及到的數學法則，結合解題需求設出未知數，即為整體換元，代表題目中部分公式值，由此減少一些不必要的解題步驟，算難度運降低，讓他們求得正確結果.舉例略.

3 依托整體運算法，高效解答數學難題

在高中數學解題教學中，部分題目中出現的式子較為復雜，有的則結構較長，顯得難度很大，假如逐個進行分析和運算的話，不僅解題步驟較多，過程也很是復雜，教師應引導學生依托整體運算法展開解題，使其將試題中提供的已知條件同所求結論相結合，運用整體法解題，從而減少解題中的運算量，讓他們實現快速、便捷的解題目的，并降低出錯幾率［2］.

例2 已知數列an的通項公式an=（2n－1）xn（x≠1），請問數列an的前n項和Sn的值是什么？

分析 解答本道試題時，可以先在數列的前n項和Sn公式左右兩邊同時乘以x，再利用錯位相減的方式，即可求出Sn的表達式，然后依托整體法將代數式作變形處理，使之具有一的規律可循，最后同本公告整體運算求得結果，真正達到減少運算量的效果.

解 根據題意可知數列an的n項和Sn=x+3x2+5x3+…+（2n－1）xn①，

把式子①兩邊同乘以x，

整體變形之后可以得到xSn=x2+3x3+5x4+…+（2n－1）xn+1②，

②－①錯位相減后可以得到（1－x）Sn=1+2x×1－xn-11－x－（2n－1）xn，

所以

Sn=（2n－1）xn+1－（2n+1）xn+（1+x）（1－x）2.

4 依托整體設元法，高效解答數學難題

整體設元就是根據題干中提供的已知信息和題設所求目標，設立出新“元”，據此找到解題的切入點.對于高中數學解題教學而言，部分題目中給出的信息較少，很難便利使用，顯得難度較大，教師可指引學生依托整體設元法來解題，結合具體解題情況與需求基于整體視角進行思考，通過設立新“元”建立新等式、不等式、方程等，讓他們順暢破解難題.

例3 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

分析 本題題干可謂是相當簡單，給出信息較少，假如直接計算難以下手，不過可依托整體設元法，根據題意設出新的方程，然后利用正弦的二倍角公式將非特殊角的三角函數變化為特殊角的三角函數，最終破解難題.

解 設A=sin10°sin30°sin50°sin70°，

B=cos10°cos30°cos50°cos70°，

A×B=12sin20°×12sin60°

×12sin100°×12sin140°

=116sin20°×sin60°×sin100°×sin140°

=116cos10°×cos30°×cos50°×cos70°

=116B

因為B≠0，所以A=116.

5 依托整體構造法，高效解答數學難題

整體構造指的是以認真閱讀題干內容為前提，仔細分析題中條件的特征和結構，通過整體構造法轉變成新式子或者新問題進行求解，降低題目難度.在高中數學解題教學訓練中，教師可指導學生依托整體構造法處理部分難題，使其深入分析題目中出現的所有條件，研究各個條件之間的聯系，以及同已學知識的關系等，讓他們在整體構造法下順暢解答難題［3］.

例4 已知cos（α+β）=14，cos（α－β）=16，請問tanα×tanβ的值是什么？

分析 處理這道題目時，可從三角函數的相關公式進行整體性思考，把題干中給出的兩個已知條件當作整體展開構造與運算，有助于正確結果的獲得，既能夠減少運算步驟，還可以降低試題難度，可謂是最佳解題方案.

解 根據題意可得cosαcosβ－sinαsinβ=14①，

cosαcosβ+sinαsinβ=16②，

將兩個式子聯立起來能夠得到一個方程組，

將coaαcosβ、sinαsinβ分別構造為一個整體，

所以coaαcosβ=512，sinαsinβ=－112，

將這兩個式子相除即可得到

tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=－15.

6 結語

總而言之，在高中數學解題教學實踐中，教師要格外留意一些難度系數較高的題目，平常做好理論知識的講授工作，讓學生解題時擁有雄厚、穩固的理論知識做鋪墊，使其根據實際題目內容靈活運用整體法，通過整體代入、換元、運算、設元、構造等方法順利突破難題困境，快速、準確的求得結果，提高他們的解題效率，繼而增強解答數學難題的自信心.

參考文獻：

［1］楊櫟莘.數學思想方法在高中數學解題中的應用研究［J］.數學之友，2022，36（05）：70-72.

［2］楊效先.例談整體思維在高中數學解題中的應用［J］.數理化學習（教研版），2021（12）：9-11.

［3］黎正再.利用整體法，突破數學難題［J］.試題與研究，2020（26）：21-22.