以簡馭繁，初中數學幾何模型教學的探索

李嘉敏

【摘要】幾何教學是初中數學教學的重點和難點，在幾何教學中逐步歸納出來的幾何模型是幫助學生解決幾何難題的有效工具.從復雜的圖形中抽離出簡潔的幾何模型，便能直觀形象地得到圖形性質，從而解決問題.文章中，筆者結合一道廣州中考原題，針對其隱含的幾何模型進行了分析和梳理，并提出幾點反思意見，旨在為廣大教育工作者提供教學參考.

【關鍵詞】幾何模型教學；數學建模；核心素養

數學教育的目標可分為顯性目標與隱性目標兩種，顯性目標一般指具體的數學知識內容，《義務教育數學課程標準（2022年版）》中的數學學科核心素養屬于隱性目標.數學教學除了傳授知識外，還要促使學生的理性思維得到良好發展.教師在教學中要引導學生在復雜的幾何圖形中抓住解題的關鍵要素，抓住問題的主要特征，忽略次要因素，找出清晰簡潔的解題模型，化繁為簡、以簡馭繁.以下是筆者對一道廣州中考原題隱含的幾何模型的分析，以及利用該題進行專題復習的教學設計.

一、對“共頂點、等線段”旋轉模型的分析

“共頂點、等線段”旋轉模型（也稱“手拉手模型”）是指已知條件中出現兩條線段有公共端點，且它們的長度相等，此時用圖形變換的眼光去看，可以理解為其中一條線段繞著它們的公共端點旋轉可以得到另一條線段.那么如果把其中的一條線段放在一個封閉圖形（如三角形）中考慮，可看作把該線段所在封閉圖形繞著線段的公共端點旋轉得到另一個與之全等的封閉圖形，通過旋轉，既可改變線段之間相對的位置關系，也可得到新的圖形性質.

二、基于“共頂點、等線段”旋轉模型的教學設計

（一）題目呈現

（3）若點M，N分別在線段CA，CB上運動（不含端點），經過探究發現，點D運動到每一個確定的位置，△DMN的周長有最小值t，隨著點D的運動，t的值會發生變化，求所有t值中的最大值.

（二）教學分析

1.考題來源

考題的基本圖形源于人教版九年級上冊教材90頁第14題，原題如下：如圖2，A，P，B，C是☉O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°，判斷△ABC的形狀，并證明你的結論.

對比分析可知，中考題的第（1）問把教材中題目的題設和結論調換了位置，把已知“角平分線”得出“等邊三角形”，改成了已知“等邊三角形”求證“角平分線”，考查層次并未明顯加深.

2.考點和學情分析

本題考查了圓周角定理、等邊三角形性質、圓內接四邊形性質、旋轉的應用、軸對稱的應用、解直角三角形等知識，是一道對數學綜合能力要求較高的題目.

初三的學生已經系統完成了初中階段所有新課學習，掌握了初中平面幾何中常用的圖形定義、性質和判定知識，也對常見模型有一定了解，但對幾何模型的應用還不夠靈活，遇到綜合題時不能迅速地根據條件聯想構建幾何模型來解決問題.

（三）教學過程

1.問題展示，揭示課題

課件展示本文“題目呈現”中的題目.

設計意圖：讓學生關注中考考題動向，并認識到幾何模型在解題中的作用.

2.合作探究，解決問題

思維流程圖（如圖4、圖5）：

解法分析：從題目條件分析，條件中給出等邊三角形ABC，則有等邊三角形的三條邊相等，所以有“共頂點、等線段”條件出現，例如線段CB和線段CA就有公共端點C，且它們長度相等，可以認為線段CB能由線段CA繞點C逆時針旋轉60°得到，這給解題提供了相對明顯的提示，通過構造旋轉模型來轉換目標線段DA與DB的相對位置，從而在新圖形中得到更多的幾何關系來解決問題.

如解法1，將△ADC繞點C逆時針旋轉60°，得到△BHC.由圓內接四邊形ADBC可得∠DAC與∠DBC互補，再由旋轉前后圖形全等可得∠HBC與∠DBC互補，證得D，B，H三點共線，進而得出等邊三角形DCH，最后通過線段間的等量代換得出結論.解法2～4的解題思路與解法1大致相同，但值得注意的是，解法3和解法4中圖形旋轉后點D的對應點在線段DC上，需要推理證明.

從另一個角度分析，本題還有一個重要條件是“DC是∠ADB的平分線”，可聯想構造角平分線模型來解決.解法5中，易證得△DPC≌△DQC和Rt△APC≌Rt△BQC，DA+DB=DP+DQ=2DP，再通過含30°角的Rt△DPC可得斜邊DC=2DP=DA+DB.

本題還可從結論入手分析.題目要求先猜想線段長度關系再求證結論，通過有目的性地測量可以猜想本題目標是求證“DA+DB=DC”，此外顯然指向了截長補短模型，解法6的四種構造方法，均是解決線段和差關系的常用方法.

設計意圖：啟發學生突破解題難點，合理猜想，構造幾何模型形成解題思路，通過師生合作探究，讓學生學會辨析條件與結論.與此同時，利用問題1為解決中考原題做好鋪墊.

3.回歸考題，突破難點

問題2 問題1中，四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數嗎？如果是，求出函數解析式；如果不是，請說明理由.

思維流程圖（見圖11）：

與問題1的分析角度類似，本題也可利用DC是角平分線作為解題切入點，構造角平分線模型（如圖10），將四邊形ADBC的面積轉換成兩個全等的含30°角的直角三角形的面積和.

設計意圖：在問題1的基礎上進一步引發思考，回歸中考原題，引導學生從不同角度思考條件和結論，利用一題多解讓學生明白題目背后隱藏的深層次問題和結論，培養學生從復雜圖形中分離不同幾何模型的能力，提升學生邏輯推理、數學建模、直觀想象等核心素養.

4.變式應用，突破自我

結合上述問題解析過程中的幾何模型，改變題目條件和結論，引導學生對比分析題目異同，幫助學生靈活應用.

設計意圖：緊扣中考熱點壓軸題，從45°和直徑聯想到等腰直角三角形，再聯想到旋轉模型，進行拓展訓練，培養學生的審題能力，讓其辨析題目中的條件和結論的特點，從而找出對應的幾何模型，解決問題.

5.模型總結，能力提高

梳理本節課重點應用的模型以及涉及的模型（見表1）：

三、初中幾何模型教學反思

（一）要注重基本幾何圖形的積累，運用幾何模型化繁為簡

圖形是最直觀的了解知識點之間聯系的中介，教師在教學過程中通過畫草圖、逐步分解，可以強化數學視覺意象之間的關聯性.學生掌握幾何模型越熟練，他們在解決幾何問題時就越容易快速篩選關鍵信息.對于幾何難題，教師在教學過程中可把抽離出的模型單獨板書呈現，要注意從復雜圖形中抽離出基礎幾何模型，逐個擊破.

（二）要關注幾何模型內在數學邏輯，以簡馭繁

幾何模型可在一定程度上幫助學生便捷地構造出關鍵圖形來解決問題，但教師在教學過程中不能簡單地套用模型，必須揭示幾何模型中蘊含的圖形關系，以及解決數學問題的思維過程.教師可利用幾何模型串聯起多道難題，實現一“解”多題，統整知識網絡，以簡馭繁.另外，教師還可以通過變式教學來加強知識之間的滲透和遷移，激發學生的發散性思維，培養學生的思維靈活度.

（三）幾何教學要開放探究，培養多角度幾何模型思維

在問題情境不變的條件下，幾何模型的思維定式能幫助學生應用已掌握的方法迅速解決問題，但在情境發生變化時，這種定式反而會妨礙學生尋找新的方法解決問題.要想消除思維定式的負面影響，教師在教學中就要注重發散學生思維，放大學生的想象空間，利用不同幾何模型對題目進行剖析，培養學生多角度的幾何模型思維.

（四）提高學生畫圖、用圖的能力

“數形結合”是數學解題中重要的思想之一，圖形可以給予人們豐富的信息，對于解題往往可以起到事半功倍的效果.引導學生用圖形展示解題思路，能把解題過程中復雜而繁多的條件直觀地表示成已知條件和待求解結論，還能加深學生對幾何模型的認識，培養學生的直觀想象能力.

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