“積的乘方”課例教學設計與實踐反思

曾萬強

摘 ?要：“積的乘方”是人教版教材八年級上冊第十四章“整式的乘法與因式分解”的第一節內容，學生在此前已有“整式的加減”作為知識支撐。該課時作為第一節的一個知識點，教師在教學上，習慣將該課時與“同底數冪的乘法”以及“冪的乘方”作為整式乘法的三大基礎運算進行依次處理。作為“整式乘法”的最后一個運算法則，該課時在章節學習中起到了承上啟下的作用，其重要性不言而喻。文章結合了“積的乘方”教學設計和實際的課堂反饋，以及相關文獻，思考更適合發展學生素養的教學方案，以促進教育教學工作的共同進步。

關鍵詞：“積的乘方”；公式逆用；數學核心素養

一、“積的乘方”教學方法分析

數學課堂教學十分強調“過程”二字，教師既要重視學生的參與過程，又要重視知識的再現過程。因此在教授本課時既要強調公式法則，還要關心學生對公式法則探究過程的理解。從長遠來看，學生的探究過程可能比公式法則本身更重要。

教學是為了發展學生的核心素養，就核心素養目標的達成而言，課時教學是組成教學實施的基本單位，每一節課都應該為學生核心素養的形成和發展做出可能的貢獻。

“積的乘方”作為整式乘法基礎運算的三個課時之一，對學生數學運算的核心素養有一定的促進作用。本節教學既要考慮整體的統一，又要注意與其他課時的差異。從素養發展來看，需要學生在課堂和課后體驗到獲得感，以提升在后續運算時的信心和決心。

二、“積的乘方”學習目標

第一，經歷、探索“積的乘方”的活動過程，理解“積的乘方”的意義，并能推導“積的乘方”公式，感受數學知識與數學邏輯的緊密結合。

第二，理解“積的乘方”的運算法則，能夠準確選擇法則的正用和逆用，能夠利用法則，計算和解決一些實際問題。

三、“積的乘方”學習重難點

重點：“積的乘方”法則生成過程及其應用和逆用。

難點：“積的乘方”法則的逆用和靈活運用。

四、“積的乘方”教學過程

（一）情境引入

教師展示PPT，課件上會顯示一個較大的an，教師提出問題：

情境一：教師提問：“同學們，看到屏幕，你們能想到什么？”

設計意圖：本課時作為與冪相關的三大基礎運算之一，需要學生對冪相當熟悉，包含冪的底數、指數和冪本身的意義等。通過此問題與PPT，教師依次呈現并引導學生說出冪的概念、冪的意義、同底數冪的乘法和冪的乘方運算法則，然后學生做一些簡單的運算題。

情境二：試計算以下式子，并說明做法及依據：

（1）a5·a3=________ ? ?（2）（a5）3=________

（3）（5a）3=________=________=________

設計意圖：通過類比發現矛盾的方法，設計了三個小題，前兩個題，可以直接運用“同底數冪的乘法”“冪的乘方”運算法則算出；第三個題，既不是“同底數冪的乘法”，又不是“冪的乘方”，即題型由易到難，這樣學生在學習的過程中，能夠產生認知沖突，會進一步猜測，激發學生的求知欲。為避免學生答得不規范，教師在第三小題上設計了三個空，意在讓學生運用乘方的定義、乘法交換律、結合律以及乘方概念分步完成。然后教師進一步提出下列問題：

“請問（5a）3與（a5）3的底數有何不同？可以叫作什么運算？”

（1）（a5）3的底數a5是冪，叫作_____。

（2）（5a）3的底數是因式5a和的積，可以叫作_____。

設計意圖：前兩個運算是讓學生復習前兩課時學過的“同底數冪乘法”和“冪的乘方運算”，后面是“積的乘方”運算，由此可見無論是名字還是形式，都顯示出“積的乘方”和“冪的乘方”運算具有較強的相似性。為避免混淆，限定在（5a）3與（a5）3這兩個運算中進行對比，旨在促進學生進行類比分析，得到“積的乘方”這個課題，并盡快進入本節概念和公式的推導。在學生回答出“積的乘方”時，教師同步將板書課題寫在黑板上，以提醒本節課的課題。

（二）新知探究

情境三：計算并說明做法、依據：

（1）（ab）3=________ ? ?（2）（mn）5=________

設計意圖：通過兩個相似性極強的例子，引導學生用乘方的定義和乘法定律分別計算，設計時，教師有意將兩個問題并排放在一起，PPT課件呈現時，將結果著重化，旨在學生在算出答案的同時，能依據上述兩個答案聯想并猜測到“積的乘方”的公式。為后面更直接地引出運算法則，教師提出以下問題：

“你能猜想、總結出一般結論嗎？請嘗試將其推導出來。”

一般結論：________________________________。

積的乘方法則：積的乘方，等于_______________。

設計意圖：處理完情境三的例子后，學生會得出一般性結論：（ab）n=anbn（n是正整數）。關于法則的文字敘述，更大程度上是為了部分學生在無法理解并掌握知識的情況下，教師提供的幫助其理解和記憶的方式。在選擇文字定義時，教師有意識地選擇了更簡潔、學生更易接受的北師大教材的文字定義：積的乘方，等于每個因式乘方的積。同時PPT上有意地突出了每個因式，用以強調這是本課時的易錯點之一。然后教師引導提出以下問題：

“該公式對三個因式是否成立？請說明理由。”

這時，由學生推廣并證明三個，以及三個以上式子的“積的乘方”法則：（abc…）n=anbncn…（n是正整數）。這表明學生已經考慮了證明方法，提出了整體思想。

情境四：口算下列各題

（1）（2x）2=________ （2）（-5b）3=________

（3）（2xyz）4=________ （4）（-xy2）2=________

（5）（x3y）n=________ （6）（-2x3）5=________

設計意圖：教師共設計了六個口算題，分別包括含正負兩個字母的偶數次方、含正負兩個字母的奇數次方、含正負號多個字母的奇數和偶數次方等不同類型，題型由易到難，教師現場抽問，學生直接進行口算。學生可能存在問題的是含負號的第（2）（4）（6）小題，如果有學生算錯，教師需要直接點明易錯點；如果無學生出錯，則進入后續的例題解析。在做題時，教師需要觀察做錯題目學生的情況，適時投屏展示并提醒，引導學生自主對易錯點進行分析。

（三）例題探究（公式運用）

例1計算：

（1）（-2x2y3）4 （2）-（-3ma3bn）3

練習1計算：

（1）（2a2b3c4）3 （2）（-2xmyn）3

（3）［3（m+n）5］2 （4）

-x2nyn+1

設計意圖：例1設計的兩個小題均為含負號次數不全為1，且項數多于兩項的“積的乘方”問題，學生相對易錯。作為例題，教師需要重點進行板書書寫和步驟示范。練習1由學生獨立完成，然后教師邀請兩位學生在黑板上展示。展示是為了呈現學生自主學習、與課本對話、合作學習的成果和困惑點，更重要的是，在對話、探究的基礎上，教師通過追問，將學生的“困惑點”轉化為數學的“探究點”，進而引導學生發現知識的易錯點、能夠進一步總結出以下注意事項：第一，負號一開始，就要確定好處理方式；第二，括號內每一個因式都要乘方（尤其是系數）；第三，計算“積的乘方”后，還要計算“冪的乘方”，結果化到最簡。

例2計算：2（a2b2）3-（3a3b3）2

練習2計算：（2a5）2·a2-（-3a3）4+（4a6）2

設計意圖：與例1本質相同，教師引入了整式的加減運算，該題綜合性較強，這是為了避免學生在計算中忘記合并同類項、沒有把整式化到最簡。該過程注重在教師講完知識點后，學生馬上進行鞏固。待這個例題和練習完成時，學生已經基本熟悉了公式法則，并能夠相對熟練地應用。

（四）拓展探究（間接用公式和公式逆用）

例3已知xn=2，yn=3，求（x2y）n的值。

練習3已知x2n=2，求（3x3n）2的值。

設計意圖：此例和對應練習，從所求結論來看，均是在考查“積的乘方”。然而，在計算的過程中，學生單純地利用公式，將無法直接計算出結果，還需要根據已知條件調整化簡的結果，屬于間接求解問題。本題需用到“冪的乘方”運算法則的逆運算，也就是常說的公式逆用。教師設計此例的另一個用意，是希望引入下一個重要拓展——“積的乘方”公式逆用，以此進行銜接，具體如下：

例4計算：

（1）24×54 ? ?（2）（-2）6061×（0.125）2020

練習4計算：

（1）

-

×

（2）［8×（-0.5）］2021×41010×（-0.125）2020

設計意圖：在前面的例題設計中，教師已經提出公式逆用這個基本思路，學生也進行了運用。作為對“積的乘方”運算法則的公式逆用［an·bn=（ab）n］的應用，其涉及了冪的運算的簡便算法。在學習例題之后，學生能夠知道，冪的運算需要滿足的條件是——底數、指數相同，或者能夠將底數、指數簡化成一樣，即學生能夠對冪的運算問題有較系統的理解。在回答第一問時，學生都會認為較容易，但也存在個別學生直接硬算的現象。如果后續抽問中，還有學生直接硬算，教師無須點出，可以引導其計算第二問，這會引發學生的認知沖突，這樣公式逆用會引入得更加自然且記憶深刻。如果一開始學生就回答得較好，教師只需要引導該生說出具體過程采用的思路即可。在這兩問中，第一問較簡單，第二問需要學生先用“冪的乘方”法則的公式逆用，將指數化為相同，在這里，教師可以適當發散學生的思維，著眼于學生解決問題的方式。第二問，教師讓學生自主解決，可以由兩個學生同時在黑板上書寫，其他學生觀察異同。

（五）課堂小結

1. 積的乘方法則：積的乘方，等于每個因數乘方的積。

其公式：（ab）n（n是正整數），推廣：（abc）n=anbncn。

2. “積的乘方”法則公式逆用：anbn=（ab）n（n是正整數）。

推廣：（abc…）n=anbncn…（n是正整數）。

3. 核心素養：數學運算、數據分析。

設計意圖：本環節由學生自行回顧總結，這樣做，一是有利于學生自主梳理出本節的知識——“積的乘方”法則對應公式及推廣的正用和逆用；二是促進了學生在解決問題的過程中，分析出題目中的指數和底數。教師在引導學生總結的過程中，可以順帶引導、回顧本課時主要涉及的核心素養——數學運算和數據分析，并讓學生實實在在地感受到這些要點。

五、教學反思

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。課堂設計的初衷，是讓學生成為課堂的主人，讓學生在課堂上，探究、思考、獲得知識，并學會應用。結合初中生的心理狀態，本堂課的脈絡比較清晰，每個問題的后面，都設計了銜接練習。在幾個不同的班級進行了實踐后，上課效果與預期基本一致，整體很流暢，學生的課后作業完成得較好，整體掌握情況不錯。由此可見，流暢的課堂設計、及時引導學生思考并解決問題，是一個很適合初中生的方式。

本節課的設計也存在一些不足：由于時間的限制，課堂上只是將幾個基礎的點讓學生梳理清晰，并進一步強化，設計問題的高度可能不夠；學生的基礎有差異，在本節課中，基礎較差的學生在完成相應練習和知識掌握上，可能感覺有點吃力，而基礎較好的學生，又可能會認為課堂問題的難度不夠。

在實際操作中，教師需要仔細分析學生的學業水平、學習能力、學習心理和認知特點等，針對不同的學生群體，找到不同的研究坡度、設計不同的問題，做到因材施教。在后續教學設計及課堂教學中，教師還可以針對性地進行更多的嘗試，讓學生在掌握基礎知識的同時，又能夠提升知識深度，給予學生發散思維的空間，引發學生更多的思考。

參考文獻：

［1］黎棟材，王尚志. 平面向量基本定理教學設計［J］. 數學通報，2015，54（01）：29-31+37.

［2］渠東劍. 核心素養：教學的第三條主線［J］. 數學通報，2020，59（03）：20-24.

［3］何繼剛. 談促進學生深度學習的“四步循環”教學——平面向量基本定理的“四步循環”教學與反思［J］. 中學數學月刊，2013（09）：5-7+30.

（責任編輯：鄒宇銘）