從平均數視角看抽屜原理

王友偉

(江蘇省南京市金陵中學 210005)

1 抽屜原理的由來

抽屜原理又叫鴿籠原理,是由德國數學家狄利克雷于19世紀初期首先發現的,亦稱狄利克雷原理．狄利克雷給出的定義是這樣的:“如果有5個鴿子籠,養鴿人養了6只鴿子,那么當鴿子飛回籠中后,有一個籠子中至少裝有2只鴿子．”最早狄利克雷運用抽屜原理去解決數論的問題．

2 從平均數視角再解競賽題

中小學的各類數學競賽輔導書中對抽屜原理有各種不同形式的表述,有的書還細分為第Ⅰ型與第Ⅱ型抽屜原理．其實從平均數的角度可以把抽屜原理解釋得很清楚.平均數具有典型代表意義,可以把平均數作為一個數量標志,用之于尋找具有某種數量特征的事物的存在性[1].簡言之,抽屜原理的本質就是最大數≥平均數≥最小數．

從平均數的角度可以巧妙地解決以下兩個題目．

當t>1時,tn,tn-1,…,t,1中tn最大,增加一個最大數后平均數變大,即

當t=1時,顯然A=B．

綜上,當t>0時,恒有A≤B,當且僅當t=1時等號成立．

當t=1時,顯然A=B．

這兩題都是從平均數的角度對題目進行了重新解讀,充分利用了“最大數≥平均數≥最小數”這一想法,大大簡化了數學運算,使題目的結論有很強的直觀性．

3 抓住本質,歸納抽屜原理的核心表現形式

在不同的問題情境中,使用抽屜原理進行存在性證明的一個難點,就是如何構造“抽屜”．即如何將研究對象的全體劃分為若干個子集,使得這些子集的并集是全集,并且兩兩交集為空集[2]．而在利用抽屜原理解題時,我們更多地將關注點聚焦于構造抽屜的方法[3]．例如,通過分割幾何圖形“構造抽屜”、以討論對象的特殊性“構造抽屜”“分組構造抽屜”等．也可以從思維策略上將其分為:(1)“直接構造抽屜”,如“生日問題”中的“抽屜”就是直接構造的;(2)“剩余類”構造“抽屜”,如把所有整數按照除以某個正整數m的余數分為m類,叫作m的剩余類[4]．

如果我們將目光只局限在構造的方法上,那就會被眼前的問題一葉障目,忽略了抽屜原理的本質．其實在離散的情形中,我們可以將抽屜原理的表現形式分為下列兩種．

第二種:若干個球任意放入n個抽屜．結論:要保證有一個抽屜的球數≥m+1,則總球數≥mn+1;要保證有一個抽屜的球數≤m,則總球 數≤(m+1)n-1．

4 運用抽屜原理,巧解經典題

下面筆者給出幾道用抽屜原理解決的經典題目．

例2(1988年IMO預選題)一張試卷共有4道選擇題,每道選擇題有3個選項A,B,C．一群學生參加考試,閱卷后發現:任意3人都有一道題的選項各不相同．試問參加考試的學生最多有多少人?

題號學生編號①②③④⑤⑥⑦⑧⑨1AAABBBCCC2ABCABCABC3ABCBCACAB4ABCCABBCA

綜上,所求的答案為9．

例3(1987年國家隊選拔賽)給定空間2n個點(n≥2),任意4個點不共面．求證:連接這些點的任意n2+1條邊,必存在兩個有公共邊的三角形．

同上,可得新的子圖:有2k個頂點,有k2+1條邊,由歸納假設,子圖中有兩個有公共邊的三角形．從而原圖中有兩個有公共邊的三角形．

解不妨設|A1|=k,由抽屜原理,只需證A1,A2,…,An中含A1中元素個數總和≥n,等價于平均≥1．

首先,例3運用抽屜原理使歸納證明顯得非常的自然,例4將問題轉化為證明總體平均大于等于1,再轉化為每個局部平均大于等于1,解題過程中不再過多強調抽屜的構造,而是將問題進行有效轉化,解法比標準答案簡潔很多．

此題有較強的幾何背景．一個人在周長為1的圓周上繞圈行走,步長為θ,起點為A,足跡依次為A1,A2,….?ε>0,?q∈Z+,使得Aq與A的距離小于ε．上面的證明是典型的應用抽屜原理后其代數化的證明．

抽屜原理的競賽題變化繁多,命題的形式也異常豐富,被很多“外衣”包裝后,學生很容易被困其中.只有理解了抽屜原理的本質,跳出構造抽屜的形式化束縛,才能以不變應萬變,讓抽屜原理難題迎刃而解．