深度思考 追根溯源
——以“圓錐曲線中直線過定點”為例

何 云

(浙江省嵊州中學 312400)

2022年10月我校參加了浙江十校聯盟考,本文探究這次數學聯考第21題的來源和解法．

1 試題呈現

(2022年浙江省十校聯盟考數學卷第21題)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,且經過點A(2p,m)(m>0),AF=5．

(1)求p和m的值;(2)點M,N在拋物線C上,且AM⊥AN,過點A作AD⊥MN,D為垂足,證明:存在定點Q,使得DQ為定值．

2 試題特點

本題主要以圓錐曲線中的拋物線為載體考查定點、定值問題,這是高考的一大熱點.對這類題型學生并不陌生,題源主要來自2020年新高考Ⅰ卷理科第22題,題根來自于人教A版選擇性必修第一冊第三章復習參考題3第10題.第(1)問利用拋物線定義求拋物線方程和參數值,較簡單.第(2)問考查直線與拋物線相交過定點問題,根據已知條件“AM⊥AN”轉化為“kAM·kAN=-1”,兩直線的斜率之積為定值,考查等價轉化和數學抽象能力;由題目已知條件判斷直線MN過定點,考查邏輯推理能力;解決本題所求定點、定值問題,考查數學運算能力.

3 解法探究

視角1設直線MN方程(單聯立)

(1)p=2,m=4.

整理得b2-12b-16(k+2)(k-1)=0,即[b-4(k+2)][b+4(k-1)]=0,所以b=4(k+2)或b=-4(k-1).

點評此思路簡單自然,是大部分學生應該掌握的方法,其難點是代數運算的計算量較大,很多學生做到一半就放棄了,要完成解答,對運算素養有較高要求.一定要用韋達定理嗎?為了打破學生的慣性思維和簡化運算,需優化解法.

視角2設直線AM,AN的方程(雙聯立)

點評設兩條直線方程,用斜率k表示M,N的坐標,進而得到直線MN的參數方程,若利用直線方程的兩點式求直線MN方程,尋找定點,這種方法比第一種方法的計算量還大.于是,為了剖析運算合理性,提升運算效率,筆者就利用“點M,N均在直線MN上”這一同構點達到優化數學運算的效果.

視角3齊次化

點評由題目條件可知“直線MN不經過點A”,設直線MN為“s(x-4)+t(y-4)=1”,這樣避開直線過已知定點的問題,然后利用曲線方程進行齊次化處理,構造直線AM與AN斜率滿足的方程,找直線方程中參數s與t的一次關系.此法的缺陷是學生對直線MN的設法不熟悉,潛意識里習慣性設直線的斜截式.算法的優化直接關乎運算核心素養的水平,在落實核心素養的過程中,追求深度學習,不搞題海戰術.

視角4先特殊后一般

點評從特殊情況入手,通過特殊值求直線所過定點,先尋找使結論成立的必要條件,再利用“kPM-kPN=0”證明問題的充分性.

4 歸本溯源

4.1 課本尋根

(人教A版選擇性必修第一冊第三章復習參考題3第10題)已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點D,點D的坐標為(2,1),求p的值.

4.2 高考尋源

4.3 知識背景

已知點A(x0,y0)在圓錐曲線C上,直線l交曲線C于P,Q兩點,記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2.經探究,有如下相關結論成立[1-2]:

結論2 若k1+k2=0,則直線l的斜率為定值.

若點P是不在圓錐曲線上的任意一點,過點P引兩條斜率分別為k1,k2的割線依次交圓錐曲線于A,B,C,D四點,線段AB,CD的中點分別為M,N．經過探究得出以下結論:

結論5 若k1+k2=0,則直線MN的斜率為定值.

結論6 若k1+k2=λ(λ≠0),則直線MN恒過定點.

5 解題反思

現今大多數學生的狀況是:會做的題目的情境、設問方式等稍作改變,他們就不會.這是什么原因呢?解題也是為將來解決同類問題乃至其他新問題積累經驗的過程,應探索實現學生的高路遷移“情境、原理和方法”的策略和方法,促進解題經驗的有效遷移和思維的靈活轉換,內化、積累數學問題解決的策略,發展數學思維能力.

5.1 究竟是什么阻擋了學生解題的步伐

一是不會運算.不會算有兩層含義:①對于算什么目標不清晰;②有目標但方法不佳.解析幾何題本身計算量大,運算是不少學生的“弱項”,因此在課堂上教師要重視算法和算理的分析.二是運算速度慢.解決策略是平時注重掌握一些常見簡化運算策略,重視運算方法分析,優化策略、提升運算速度.三是不善于提煉數學思想方法.主要成因在于學生平時不善于研題,解法單一,因此課堂上應多開展一題多解或多題一解研討和研究.四是學生心理素質欠佳.學生遇到計算量大的題目產生恐慌心理,影響解題速度.解決對策是教學中多展示運算過程.五是對陌生的問題情境缺乏判斷方向.教師在教學中多展示題目的分析過程,明確運算方向.六是忽視解析幾何中的幾何特點.教師在教學中要重視數形結合思想的滲透.

5.2 教學中“多”一定與教學效果成正比嗎

數學題做得“多”一定能考得高嗎?不一定.盲目刷題,缺乏數學思想方法的提煉,只會事倍功半.數學解題是經驗不斷積累和生長的過程,應注重積累經典問題的處理方式、熟悉常見問題的解題策略.教師講得“多”教學效果一定好嗎?最典型的“滿堂灌”課堂已經遠遠不能適應當前的高考模式,課堂上的適度探究有助于促進學生的數學核心素養與數學關鍵能力的提升,實現教學相長.上課上得“多”教學效果一定好嗎?上多少不重要,重在如何設計、怎么教.

5.3 究竟怎樣利用教材提高學生的解題能力

高三復習階段中,大部分學生盲目地做試卷,脫離教材,認為教材上的內容太簡單,導致這一現象的部分原因是教師沒有帶著學生充分利用好教材.高考人才選拔重在對考生能力的考查,高考真題源于教材又高于教材,教師帶著學生在教材上尋根,在往年真題上尋源,通過深度變式探究、深挖知識背景、解法探討、情境轉換等方式看透問題本質.在教學中,教師充分用好教材素材、真題素材、拓展研究、豐富解法手段是很重要的.通過變化講透思想方法的本質,深刻理解不同方法的適用范圍,這就是立足課堂的創新教學.